于是 (n,1)≤∑r(,) (126) ≤ (r,)+logp.(1.27) 例 这时m(r,f)=log+|c,N(r,f=0.于是T(r,f)=log+{c1 4p-1z-1 bq≠0 当r充分大时 n(,n)=(-)lkgr+01)p>9 O(1) P N 于是 T(,,t=max(P, logr+ O(1) 这时 m(,f)=1 rcos 64e N(r,f)=0 因此T(r,f=2 123.第一苍本定理特征函数的性质 现在我们证明 Nevanlinna第一基本定理 定理12.设八x)于!z|<R(≤∞)内亚纯.若a为任 有穷复数则对于0<r<R有
T(r,f)+ log c;|+ε(a,r),(1.2.8) 其中c;为 在原点的 Taylor展式中第一个非零系数/而 f(a) e(a,r)|≤log|a|+log2 (129) 事实上,对于f(x)一a应用 Jensen公式(125)有 (r, f-a)+ log|ctI 再由 T(,f-a)≤T(r,f)+lgt|a」+log2, 与 T(r,f=T(,,t-a+asT(r,1-a) t loglan+ log 2 便立即有定理结论 为了以后的应用,我们来讨论特征函数的两个性质 1)设f(x)在|x|<R内亚纯,又没g(x)=十P,其中a, ,y,是常数,且a8-py÷0,则 T(r,g)=r(r,)+O(1),0<r≤R.(1,2.10) 由于找z)也可以表为 f(=) 8g+ rg 因此我们仅须正明 T(r,g)≤7(r,f)+0(1),0<r<R.(12.11) 事实上, ≤lo 千 2,(1.2,12)
而 =T(r,f+b)+0(1)≤T(r,力 千+8 + logr}+log+]l+log2+0(1).(1213) 将(1213)代人(1212),即得(1.2,11). 2)设fx)在|x!≤R上全纯,则对于0≤r<R有 m(r,1)≤log+M(r,f)≤ R T (R,f.(12.1 R 当f(x)全纯时,7(r,=m(r,f),于是由m(rf)的定 义,(1,2.14)的第一个不等式是明显的 至于(1214)的第二个不等式,当M(r,1)≤1时显然成立 若M(r,f)>1,设|(zo)|=M(r,f,其中x=rc,应用 Poisson-Jensen公式,计及(2=a2 R2-4 logM(r,D= log If(zo) log f (reip)I R d R-2Rrcos(8-)+ R If (reo)ide R十 R R 124. Cartan恒等式,级 为了获得特征函数的其他性质,我们需要H, Cartan1的一 个恒等式.为此先证明 引理1,1.设a为任一有穷复数,则 [a. 2z Je 当a=0时,(1,2,15)成立是显然的.所以我们可假定a 0.当a|>1时,则4一z在!x<1内既无零点又无极点,于 是由 Jensen公式得 log|a」 log k
当J4≤1时,a一x在」!<1内有一个零点a而无极点,因此 于是无论在哪种情况都有(1.215) 定理1.3.设代(x)在】<R内亚纯则对于0<<R有 T(r,f) 1 N(r,j=e)d8+logt!f(0)}.(L2.16) 证,对于f(z)一c应用 Jensen公式有 g0)-1-1l)-elp o-N(r, 再对θ积分,并交换右端首项的积分次序则 1 e {1 log f(reo) 2 de( do+N(r, D) 应用引理1.,上式左端为log*(0)},右端第一项为 1 logt|(re)如q,即m(r,f) 三是可得(12.6) (1,216)称为 Cartan恒等式,从 Cartan恒等式,我们有 系1.7(r,f是r的非减函数 系2.T(r,f)是lg”的凸函数 事实上, dT(r,f=1 r d log 而n(r,f=c°)对于每个6(0≤6<2m)都是r的非减函数, 于是T(r,f)是logr的凸函数 最后我们引入级的定义 定义15.设S()是在(2∞)定义的实函数,其中r0≥0 12
若S(r)在该区间内非负且非减,则它的级廴和下级分别定义为 loy 由定义15显然有0≤a≤≤∞ 设fx)于开平面亚纯,则T(r,f)是(0,∞)内确定的实 函数,且在此区间上非负与非减,于是按照定义15,T(r:1)有级 与下级 定义16.设f(x)于开平面亚纯,f(x)的级λ与下级分别 定义为T(r;f)的级与下级、即 Tim log*T(r,2 t s lim lugT(r, o 应用定理12,N(r, 的级不得超过f(x)的级.但是 (r)≤ N2r log 2 于是我们有下述结论 设函数(x)于开平面亚纯,则对于任意复数a,n(, 的级不得超过f(x)的级. 深刻的事实是除去至多可能有两个例外的复数, 的级恰巧等于f(x)的级.为了证明这个事实,我们 进入下一节关于 Nevanlinna第二基本定理的讨论 §1.3.第二基本定理 1.31.第二基本定理的商单形式 在证明R. Nevanlinna第二基本定理之前,我们先注意一简 13