log Is(x)i= Jog 1/()1+> log R(z-6, v E1 R2-b, R( 这样便可得到(111)式 1.1.2.推论 系1.在定理11条件下,若f(5在l≤R上没有零点和 极点,则对于任意点:,||=r≤R,有 kg(21=11(Re") R2-2 Arcos(0-p)+,(15) 这就是 Poisson公式 系2.在定理1.1条件下若f(0)≠0,∞,则 R R g =1 1br (116)称为 Jensen公式 当f(0)=0时,记其重级为n(0,f=0);当f(0)=∞时, 记其重级为n(D,f=∞0.(当f(0)≠0时,则n(0,f=0)=0 同样当f(0)≠∞时,则n(0,f=∞)=0.)若令v=n(0, f=0)一n(0,f=∞),则无论那种情况在原点邻域内总有展式 (>( ≠0, g()
g()在|引≤R上亚纯,且g(0)≠0,∞,对g()应用 Jensen 公式(1,16),并计及g(Re)一f(Re),则得 「cr!+τlogR logf(Re甲)d R R 8 即 log Ic |+n(0, /=0)logR=i[ log If(Re)ldp R R og o? n(o,t=oo)logR c<<k 0<》l<R 这是 Jensen公式的普遍形式 s1,2.特征函数与第一基本定理 121.特征函数 为了将 Jensen公式变形和定义亚纯函数的特征函数,我们先 引1进正对数 定义11.对于x≥0,定义 (log x, 0) (1.21) L 4 容易看出,对于任意正数x有 lo g x 于是对于|z<R内亚纯的函数f(x)与0<r<R有 f cre)ide logfI Greis) de iA(res) dp
另一方面,记fx)在|x≤r上的极点数为n(,f),重级极 点按其重数计算.以n(0,表示f(x)在原点处极点的重级(当 f(0)≠∞时,则n(0,f=0).fz)在0<|2|≤r的极点 记为b1,b2,…,b,每个b出现的次数等于f(z)在b极点 的重级.这时 分部积分后即有 同样若记()在|1≤上的零点数为n(,,()在原 点处的零点重级为n(0,},记fx)在0<|a!≤r的零点为 a1;a2,…·,4M,每个4出现的次数等于其零点的重级,则 于是 Jensen公式可以写为 log [crI 1 Lo f已 ()-(,) °g tog*if(rei)ldp+['n(s D-no, 1 de t n(o, fl 基于这样的形式, Nevanlinna'2曾引进以下几个函数 定义1.2
log+isro)lde (122) (,)也记为m(r;f=0)或 ),是!f(z)|的正对数 在1-上的平均值;m(1)也记为m(,/=或 定义13 2(,1)-n(D,D)d dt r (12.3) 这里n(t, 表示x|≤t上fx)-a的零点个数,重级 零点按其重数计算,n(t, 也记为n(t,f=a)或n(t,a) 则表示f(x)-a在原点的重级,它也记为n(0,f a)或n(0,a).N(r,f)有时记为N(r,f=∞)或N(r,∞),是 (x)极点的密指量 有时记为N(r,f=a)或N( a),是f(x)的a值点的密值量 定义14.T(r,f)=m(r;1)+N(r,f) (124) T(,f)称为f(x)的特征函数.显然它是非负函数 于是 Jensen公式可以写为 log Ie,I +T T(r,f. (12.5)
(125)有时也称为 Jensen- Nevanlinna公式. 1,22.函数的积与和的特征函数、例 为了讨论有限个亚纯函数的乘积与和的特征函数,我们先注 意正对数的几个性质 设a(=1,2,……p)为任意p个有穷复数,则 lo max(1,]a|) max log imax (1, awD))=>log ga,g 以及 ( ax]ay)}≤∑log+1a,+logp. 据此,若f(x)(v=1,2,…,p为p个于|z}<R内亚纯的 函数,则对于0<r<R有 (r, f,)+ log 此外对于0<<R显然有 )≤∑