这样就得到了（xn)的一个子列(xm)，满足：lim Xm = lim(Xm -ak)+ lim ax =A ,k-8k→8k→8即证得A也是(x的一个聚点，所以AEE.同理可证AEE定义2有界数列(x,的最大聚点A与最小聚点A分别称为(x，的上、下极限,记为A= lim xn, A= lim Xnon→0n→8后页返回前页
前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 { }, 满足: nk x lim lim ( ) lim , n n k k k k k k k x x a a A → → → = − + = A E. 同理可证 A E. 定义 2 有界数列 { } xn 的最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { }n x 的上、下极限, 记为 lim , lim . n n n n A x A x → → = = 即证得 { } , A x 也是 的一个聚点 所以 n
注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的：但是有界数列的上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质提供了一个新的平台前页后页返回
前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个
例1考察以下两个数列的上、下极限：=0 (= lim -);limimn-nn-onn→nnnlim (-1)"lim(-1)11n+1n+1n-8n→8从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系．详细讨论请见下文后页返回前页
前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: lim ( 1) 1, lim ( 1) 1. 1 1 n n n n n n → n n → − = − = − + + 1 1 1 lim lim 0 ( lim ); n n → → n n n n→ = = = 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文
二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列(x，l，有lim , ≤ lim Xn(1)n→8n→8下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.有界数列x，存在极限的充要条件是：定理7.6lim x, = lim xn(2)n→8n→0后页返回前页
前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 { }, xn 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 { }n x 存在极限的充要条件是: lim lim . n n n n x x → → (1) lim lim . n n n n x x → → = (2)
证 设 lim x,= A. 对于任意正数 ε, 在 U(A; ε)n→0之外x，只有有限项.这样，对任意的B±A.若LB-_AI>0, 那么在 U(B;80)内(此时必取 6 = 12在U(A;ε)之外）(x，}只有有限项.这就是说，B不是x的聚点，故x仅有一个聚点A，从而lim x, = lim xnn-→0n-→8反之，若上式成立，则(x,的聚点惟一（设为A)，前页后页返回
前页 后页 返回 lim lim . n n n n x x → → = 证 设 lim . n n x A → = 对于任意正数 , 在 U A( ; ) 之外 {xn } 只有有限项. 这样, 对任意的 B A , 若 0 在 之外 U A( ; ) ) {xn } 只有有限项. 这就是说, B 不是 {xn } 的聚点, 故 {xn } 仅有一个聚点 A, 从而 0 那么在 内( 此时必 | | 0, 2 B A − = 0 取 U B( ; ) 反之, 若上式成立, 则 {xn } 的聚点惟一 (设为 A)