华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第三章 傅里叶变换 §3.5 傅里叶变换的性质 Properties of Fourier Transform

(一)f)是实函数 F()=f(t)coso td-jf(t)sino idi 偶函数 奇函数 R(@) jXo R(@)=R(-0) Xm=-X可 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数， 而虚部为奇函数 6

6 (一)、f(t)是实函数       F()  f (t)cos tdt  j f (t)sin tdt R() 偶函数 jX() 奇函数 实函数的傅立叶变换的实部为偶函数， 而虚部为奇函数 R() R()

f(-t)的频谱 T=-l FILf(-t】=」f-t)edh=rf(r)eord-r) =f(t)e dr=F(-0) F(-o)=R(-0)+X(-0) =R(0)-X(0)=F(0) 实部为偶函数，虚部为奇函数 FT[f(-t)]=F(-0) F(-)-F(@) FT[f(-t)]=F*(o) 7

7 f(-t)的频谱 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t j t j j FT f t f t e dt f e d f e d F                                实部为偶函数，虚部为奇函数 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F R jX R jX F               [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) *   FT f t F FT f t F      ( ) ( ) * F  F 

F(@)=VR2(o)+X2(@) p(@)=arctg [X(o) R(@). F(@)=F(-@) p(0)=-p(-0) 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数 8

8 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数 F()  F() () ()          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2        R X arctg F R X

若ft)是实偶函数，则f(t)sin ot是t的奇函 数，X(o)=0因此 F(o)=R(@)=["f(t)cosoidt =2 f(t)cosoidt 频谱函数F(o))的实偶函数。 若f(t)是实奇函数，则f(t)sin ot是t的偶函 数，R(0)=0,因此 F(o)=jX(o)=-j["f(t)sin@tdt =-j2 f(t)sin otdt 频谱函数F(o)是O的虚奇函数。 9

9 若 是实偶函数，则 是t的奇函 数， ，因此 频谱函数 是 的实偶函数。 若 是实奇函数，则 是t的偶函 数， ，因此 频谱函数 是 的虚奇函数。 X ()  0 f(t) f (t)sint F R f t tdt    ()  ()  ( ) cos f t tdt    0 2 ( ) cos F  f(t) f (t)sint R()  0 F jX j f t tdt    ()  ()   ( )sin j f t tdt     0 2 ( )sin F 

(二)、f()=jg()是虚函数 F(@)=g(t)sino tdt+jg(t)cos@idt 奇函数 R) 偶函数 个 jXo R(@)=-R(-0) X可=X-可 F(@)=F(-@) p(0)=-0(-0) F(-0)=-F(o)

10 (二)、f(t) = jg(t)是虚函数       F()  g(t)sin tdt  j g(t)cos tdt jX() 偶函数 R() 奇函数 R() R() ( ) ( ) * F  F  F()  F() () ()