(5)若∑cc0x,=2+50c053zx nIX 求Cn=? 0并且(n≠=0, 2.分离变量法的基本思想 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解,然后由 叠加原理作出这些解的线性组合,最后由其余的定解条件确定叠 加系数。 (1)叠加原理:几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不 同原因单独产生的效果的累加。(物理上) 这种因果规律如果用数学关系式来描述(代数式、微分方程、 积分方程等),那么所得的关系式是线性的。叠加原理对于用线性 方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学上)
（5）若 0 3 cos 2 50cos n n nx x c l l π π ∞ = ∑ = + ，求 n c = ? 0 3 2 50 0 ( 0,3) n c c c n = = = ≠ 并且 2. 分离变量法的基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由 叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠 加系数。 (1) 叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不 同原因单独产生的效果的累加。(物理上) 这种因果规律如果用数学关系式来描述（代数式、微分方程、 积分方程等），那么所得的关系式是线性的。叠加原理对于用线性 方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学上)
2)驻波的形成:两列反向行进的同频率的波的叠加 u,=Acos(@t-kt) u,=Acos(@+kt) l=1+l2=2Acos2ocos2k←时间变量与空间变量分离 驻波的一般表示:(x,1)=X(x)7() 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分 方程,如果得到了方程的解,再由解的唯一性就可以保证尝试 解的正确性。 (3)分离变量法的特点: a物理上由叠加原理作保证,数学上由解的唯一性作保证; b把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题简单化。 (4)分离变量法的适用范围: 波动问题、输运问题、稳定场问题等(比行波法适用的范围要广)
(2) 驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。 1 2 1 2 cos( ) cos( ) 2 cos 2 cos 2 u A t kt u A t kt u u u A t kx ω ω ω = − = + =+ = ←时间变量与空间变量分离 驻波的一般表示： 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分 方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试 解的正确性。 (3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 (4) 分离变量法的适用范围： 波动问题、输运问题、稳定场问题等(比行波法适用的范围要广) u(x,t) = X (x)T (t)
81直角坐标系中的分离变量法 例:求两端固定的弦自由振动的规律 解:定解问题 -afu=o <X< (0,1)=0(1,1)=0 l(x,0)=0(x)u,(x,0)=v(x) 1.分离变量 令 l(x,1)=X(x)T() 将(4)代入泛定方程(1),得到:X(x)T()-axX"x()=0 X"(x)T"() 常数(与x,t均无关) X(x)aT(t)
8.1 直角坐标系中的分离变量法 例：求两端固定的弦自由振动的规律 解：定解问题 2 0 tt xx u au − = 0 < <x l t>0 (1) u t (0, ) 0 = ult (,) 0 = (2) (3) 1. 分离变量 令 (4) 将(4)代入泛定方程(1)，得到： 2 Χ −Χ = ( ) () ( ) () 0 xT t a xT t ′′ ′′ 2 ( ) () ( ) () x Tt x t x aTt Χ′′ ′′ ⇒= = Χ 常数（与 ， 均无关） u(x,0) = ϕ(x) u (x,0) (x) t =ψ u(x,t) = X (x)T(t)
设常数为-1,得到两个常微分方程 X(x)+x(x)=0(5) T"(t)+aT(t)=0 说明:在分离变量过程中引入的参数的取值要由边界条件来确定。 将(4)代入边界条件—边界条件分离变量 l(0,1)=0X(0)0()=0 (1)=0→X()7()=0 这有两种可能 (1)()=0则硎x)=0弦保持静止 l(x1)=0是平庸解,略去 2)7()≠0,则得到Xx)的边界条件 X()=0
设常数为−λ ，得到两个常微分方程 Χ +Χ = ′′() () 0 x x λ (5) 2 T t aTt ′′() () 0 + = λ (6) 说明：在分离变量过程中引入的参数的取值要由边界条件来确定。 将(4)代入边界条件——边界条件分离变量 (0, ) 0 (,) 0 u t ult = = ⇒ (0) ( ) 0 () () 0 T t lTt Χ = Χ = 这有两种可能 (1) T(t)=0 则 u(x,t)=0——弦保持静止 u(x,t)=0 是平庸解，略去 (2) ，则得到 X(x)的边界条件 () 0 () 0 x l Χ = Χ = (7) T(t) ≠ 0
2.求解本征值问题 (5)及(7式构成了常微分方程的边值问题 X"(x)+X(x)=0 X(x)=0 X()=0 即求=?和X(x)=? 以后发现:只有取某些特殊值,方程才有满足边界条件的非 平庸解。这些λ值称为本征值,相对应的解X(x)称为本征函数。 求解与X(x)的问题称为本征值问题。 对于,分三种情况讨论: (若<0,方程的通解为:X(x)=Aekx+Bex A+B=0 由边界条件可得到 因此,A=0,B=0,X(x)=0(平庸解,略去)
2. 求解本征值问题 (5)及(7)式构成了常微分方程的边值问题 Χ +Χ = ′′() () 0 x x λ () 0 () 0 x l Χ = Χ = 即求 ＝？和 ？ λ Χ = ( ) x 以后发现： 只有取某些特殊值，方程才有满足边界条件的非 平庸解。这些 值称为本征值，相对应的解 称为本征函数。 求解 与 的问题称为本征值问题。 对于 ，分三种情况讨论： (i)若 ，方程的通解为： 由边界条件可得到： 0 0 L L A B Ae Be − −− λ λ + = + = 因此，A=0，B=0，X(x)=0 (平庸解，略去) λ λ X (x) λ λ X (x) λ λ λ < 0 x x X x Ae Be −λ − −λ ( ) = +