、解的物理意义 1.只有初始位移时,即w(x)=0 l(x,)=-[(x+a)+(x-a) 假设初始位移是在区间x1x]上的等腰三角形,从t0开始画出 每经过M=弦的相继位置。可见 2%(x-代表以速度a沿x轴正向传播的波 2%(x+c代表以速度a沿x轴负向传播的波 2.只有初始速度时:0x)=0 l(x,1)= y(s)ds 2aJx-at 假使初始速度在区间x,x]上是常数%,而在此区间外恒等于0 →l(x,1)=(x+a)-(x-an)
一、解的物理意义 1. 只有初始位移时，即ψ () 0 x = [ ( ) ( )] 21 u(x,t) = ϕ x + at +ϕ x − at 假设初始位移是在区间 1 2 [, ] x x 上的等腰三角形，从 t=0 开始画出 每经过 2 1 8 x x t a− Δ = 弦的相继位置。可见： 1 ( ) 2ϕ x at − 代表以速度 a 沿 x 轴正向传播的波 1 ( ) 2ϕ x at + 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波 2. 只有初始速度时： 1 (,) () 2 x at x at u x t s ds a ψ +− = ∫ 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于 0 ⇒ =Ψ + −Ψ − u x t x at x at (,) ( ) ( ) ϕ(x) = 0 [ , ] 1 2 x x ψ 0
其中 Y(x) y(s)as=0 1(x-x)Vx≤x≤x2 (x,-xy x> 则(x)和-甲(x)的图形分别为 从t=0开始,画出每经过4=x2=x 的波与其差的相继位置 →弦振动传播情况(见图) 结论:达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加
其中 0 1 () () 0 2 xx x s ds a Ψ= = ψ∫ 1 x x ≤ 1 0 1 ( ) 2 x x a = − ψ 1 2 x xx ≤ ≤ 2 10 1 ( ) 2 x x a = − ψ 2 x x ≥ 则 Ψ( ) x 和-Ψ( ) x 的图形分别为： 从 t=0 开始，画出每经过 2 1 8 x x t a− Δ = 的波与其差的相继位置 弦振动传播情况(见图) 结论：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波的叠加。 ⇒
第三章分离变量法 补充:三角函数的正交性 (1) cOS mx.n2g=?(m≠m及mm cosa cos B=lcos(a+B)+cos(a-B) 2Jolcos(m+n)Ix (m-n)Ix +cOS m-n 时 2n丌 cos--x+l)dx m1≠n 时 (m +n)Ix(m-n)Tx cOS +coS (m+nIx I.(m-n)rx sIn 2(m+n)I 1(m-n)丌
第三章 分离变量法 1. 补充：三角函数的正交性 （ 1 ） 0 cos cos ? l mx nx I dx l l π π = = ∫ (m n ≠ 及m=n ) 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ = ++ − 0 1 () () [cos cos ] 2 l mn x mn x I dx l l + − π π = + ∫ m = n 时： 0 1 2 (cos 1) 2 2 l n l I x dx l π = += ∫ 时： 0 0 1 () () [cos cos ] 2 1 () () [ sin sin ] 2( ) ( ) 0 l l mn x mn x I dx l l l mn x l mn x mn l mn l π π π π π π + − = + + − = + + − = ∫ m ≠ n
mIx nIX COS COS dx=-6 n丌r.nx (2)I= sin sinasin B=--[cos(a+B)-cos(a-B) S(m+n)兀x m-n)丌x m-n h丌x m≠n (m+n)丌x (m-n)丌x sIn sIn 2(m+n)T (m-n)I mix. nIx sin sin -dx=-=s
, 0 cos cos 2 l m n mx nx l dx l l π π ∴ = δ ∫ （2） 0 sin sin ? l mx nx I dx l l π π = = ∫ 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ =− + − − 0 1 () () [cos cos ] 2 l mn x mn x I dx l l + − π π =− − ∫ m=n: 2 0 sin 2 l mx l I dx l π = = ∫ m n ≠ : 0 1 () () [ sin sin ] 2( ) ( ) 0 l l mn x l mn x I mn l mn l π π π π + − =− − + − = , 0 sin sin 2 l m n mx nx l dx l l π π ∴ = δ ∫
若0()2,sm nIX 求Cn=? mIX 两边乘以sin后,对x由0到积分 0( xsin (m=1,2,3 即 SPlx)sin" ar (n=1. 2.3 (4若(x=> noX 1,求Cn=? yohe小-∑25,2 ntX V(x)cos-dx
(3)若 1 ( ) sin n n n x x c lπ ϕ ∞= = ∑ ，求 n c =？ 两边乘以 sin m x lπ 后，对 x 由 0 到 l 积分 , 0 0 1 1 ( )sin sin sin 2 2 l l n n mn m n n mx mx nx l l x dx c dx c c l ll π ππ ϕ δ ∞ ∞ = = ∫ ∫ = == ∑ ∑ 0 2 ( )sin l m m x c x dx l lπ ∴ = ϕ∫ （m=1,2,3….） 即 0 2 ( )sin l n n x c x dx l lπ = φ∫ (n=1,2,3……) (4)若 0 ( ) cos n n n x x c lπ ψ ∞= = ∑ ，求 n c =？ , 0 0 0 0 ( )cos cos cos 2 2 l l n n mn m n n mx mx nx l l x dx c dx c c l ll π ππ ψ δ ∞ ∞ = = ∫ ∫ = == ∑ ∑ 0 2 ( )cos l n n x c x dx l lπ ∴ = ψ∫