i)若λ=0,方程的通解为:X(x)=Ax+B 由边界条件可得到:A=B=0→X(x)=0(平庸解,略去) ⅲ)若>0,方程的通解为:X(x)=CSyx+ Bsinvix A=0 由边界条件可得到:sm1=0 若B=0,则又得到平庸解,所以要得到非零解,有: sinl=0=√ n=1,2,3 →λ2=()n=土1±2 (8) 相应的本征函数:n(x)=Bsin nN n=12.3 (n只取正整数的原因?)
(ii) 若λ = 0，方程的通解为：Χ( ) x Ax B = + 由边界条件可得到： AB x = = ⇒Χ = 0 () 0 (平庸解，略去) (iii) 若 ，方程的通解为：Χ= + ( ) cos sin x A xB x λ λ 由边界条件可得到： 0 sin 0 A B l λ = = 若 B=0，则又得到平庸解，所以要得到非零解，有： sin 0 n l l π λ λ =⇒ = n=1,2,3… 2 ( ) n nlπ ⇒ = λ n =± ± 1, 2........ (8) 相应的本征函数： n=1,2,3…. (9) （n 只取正整数的原因？） λ > 0 l n x Xn x Bn π ( ) = sin
3.求解关于T(t)的常微分方程 将4=()代入(6,得到: na 7"(t)+(x)T(1)=0 na nia 通解为:(0=c0+2.mnc..任意常数(1 由此得到(x,t)的特解 n/x u, (, t =(C, coS-t+D sin-t)sin (n=12.3.)(11) 4.利用叠加原理,将特解进行叠加,得到通解 般说来,un(x,)不可能满足初始条件,但特解的线性叠加 仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加,得到通解: x)(x02=∑(C09x1+D,sin"1+z>(2)
3. 求解关于 T(t)的常微分方程 将 2 ( ) n nlπ λ = 代入(6)，得到： 2 () ( ) () 0 n a T t Tt lπ ′′ + = 通解为： ( ) cos sin nn n na na Tt C t D t l l π π = + , C Dn n 任意常数 （10） 由此得到 u（x，t）的特解： ( , ) ( cos sin )sin nn n na na nx u xt C t D t l ll π ππ = + （n=1,2,3…）（11） 4. 利用叠加原理，将特解进行叠加,得到通解 一般说来, 不可能满足初始条件，但特解的线性叠加 仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解： 1 1 ( , ) ( , ) ( cos sin )sin nn n n n na na nx uxt u xt C t D t l ll π ππ ∞ ∞ = = == + ∑ ∑ （12） u (x,t) n
5由初始条件确定傅立叶系数Cn,D 将(12代入初始条件: (x)=(x.0=∑Gsin nIx (13) v(x)=(x)=∑D sIn 利用正弦函数的正交性,得到 Ch=Lo(r)sin-dx nIX v(x)sin--dx 6.解的物理意义 ()特解的物理意义 引入新的常数En9n代替Cn,D2 令Cn= E, sinO D=E1C091即令En=VCn+D2=m
5.由初始条件确定傅立叶系数 , C Dn n 将(12)代入初始条件： 1 ( ) ( ,0) sin n n n x x ux C l π ϕ ∞ = = = ∑ (13) 1 ( ) ( ,0) sin t n n na nx x ux D l l π π ψ ∞ = = = ∑ (14) 利用正弦函数的正交性，得到： 0 0 2 ( )sin 2 ( )sin l n l n n x C x dx l l n x D x dx na l π ϕ π ψ π = = ∫ ∫ 6. 解的物理意义 (i) 特解的物理意义 引入新的常数 , En n ϕ 代替 , C Dn n ： sin 令C E nn n = ϕ cos D E nn n = ϕ 2 2 即令E CD n nn = + 1 tan n n n D C ϕ − =
则有:n1(x1)=E1Cosr-.)sm1"a 可见u(x,)代表一个注波,对弦上一点x,给出一个简谐振动, 其振幅为15,角频率为a=1m,初相位9 波节(振幅的零点)的位置为: nx sin 0即x=0 nn 波腹(振幅为最大值的点)的位置为: nIx 2n sin 0即 2n 对角频率n,=1:n=1的项(x)为基波,1的项(为 次谐波 i)解的物理意义 各种不同频率、不同振幅、不同初位相的驻波的叠加
则有： 可见 (,) n u xt 代表一个注波，对弦上一点 x，给出一个简谐振动， 其振幅为 ( ) sin n n n x Nx E lπ = ，角频率为 ，初相位 波节（振幅的零点）的位置为： 2 1 sin 0 0, , ,..........., nx l l n x l l nn n π − = = 即 波腹（振幅为最大值的点）的位置为： 3 21 sin 0 , ,..........., 22 2 nx l l n x l l nn n π − = = 即 对角频率 ：n=1 的项 为基波，n>1 的项 为 n 次谐波 (ii) 解的物理意义 各种不同频率、不同振幅、不同初位相的驻波的叠加。 l n x u x t E t n n n n π ( , ) = cos(ω −ϕ )sin l n a n π ω = ϕn l n a n π ω = ( , ) 1 u x t u (x,t) n
7.(12)式与达朗贝尔解的关系 引入n次谐波的波数:kn=2丌/n=27/(2)=2/ 又:On=k,a(a:相速度) (12)=u(r,t)=2(C cos k,at +D sin k a)sin k x 2ICnIsink, (x+at)+sin k (x-a )1+Dn[cos k, (x-at)-cos k,(x+a)1) Tat ∑Csmk(+m)+C,sn(x-a)+,∑ D, m sink,s 将(13)、(14)代入: tat l(x,)=-0(x+a)+(x-an)+ 达朗贝尔公式
7. (12)式与达朗贝尔解的关系 引入 n 次谐波的波数： 又： (a：相速度) 1 1 1 1 (12) ( , ) ( cos sin )sin 1 { [sin ( ) sin ( )] [cos ( ) cos ( )]} 2 1 1 [ sin ( ) sin ( )] sin 2 2 n n nn n n nn n n n n n x at n n n n nn n x at n n u x t C k at D k at k x C k x at k x at D k x at k x at C k x at C k x at k D k sds ∞ = ∞ = ∞ ∞ + − = = ⇒= + = ++ − + −− + = ++ − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ 将(13)、(14)代入： 1 1 ( , ) [ ( ) ( )] ( ) 2 2 x at x at u x t x at x at s ds a ϕϕ ψ +− = ++ − + ∫ ——达朗贝尔公式 k l n l n n = 2π / λ = 2π /(2 / ) = 2π / k a ωn = n