第十六章偏导数与全微分 §1偏导数与全徽分概念 这部分要掌握的 1、连续、偏导数、可微三个概念的定义; 2、连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切 勿混淆。考虑函数f(x,y)在(x,y)点的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:lmnf(x,y)=f(x0,y) y→y0 f(x,y)在点(x0,y)存在偏导数定义为 f(o,yo)=lin f(x, yo)-f(xo, yo2 ok f(ro, yo)= lim /(xo+Ar, yo)-f(ro, yo) f, (ro,yo)=lin f(xo, y)-/o, o pk /, (xo, yo)=lim /(o, yo+Ay)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可徽定义为 f(xo+Ax,yo +Ay)-f(xo, yo)-f(xo, yo )Ax-f(o, yo )Ay 因此,要讨论f(x,y)点(x,y)的可微性,首先要求∫(x0,y0),f∫(x0,y)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点) ∫连续 f,,J连续 f∫可微 ∫x,J,存在 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论 0 例1:f(x,y) 0 0 这是教材中的典型例题,x(00)=J,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(0,0)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0,0)点不连续
1 第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分概念 这部分要掌握的 1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义； 2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系； 二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切 勿混淆。考虑函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 点的情形，则它们分别为： f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → 或 x f x x y f x y f x y x x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → 或 y f x y y f x y f x y y y y + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微定义为： 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = + + + − − − → → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 f (x, y) 点 ( , ) 0 0 x y 的可微性，首先要求 ( , ) 0 0 f x y x ， ( , ) 0 0 f x y y 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 ( , ) 0 0 x y 点） 3 1 2 4 在上述关系中，反方向均不成立。下面以 ( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4 2 ，4 3 例 1： + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在 (0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续。 x f ， y f 连续 f 可微 f 连续 x f ， y f 存在
3>4,32例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, f(x,y)=0=f(00) f(x,0)-f(0,0)√x2|x xx-1-1,x<0 故f2(00)不存在。由x,y的对称性,f,(00)不存在。从而,f(x,y)在(0,0)点不可微(否则, f1(00),f,(00)均存在)。 x2+y2≠0 2→1例3:f(x,y)= x 0.0)=lmn1(x0-0)=mx2=0 由x,y的对称性,f,(00)=0 f(x,y)-f(040)-f2(00)x-f,(0.0)y y sin 0( →0 故∫(x,y)在(00)点可微。且d(00)=f2(0,0)dx+J,(000h=0 2xsin cos ,x+y-≠0 f(x,y) 0 取点列P(xn,yn),xn= 2n’n=0,显然P,(xn,yn)→(0,0n→>∞) f(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2n→>-∞(n→>∞) 故mJx(x,y)不存在,从而f(x,y)在(00)点不连续。由x,y的对称性,J(x,y)在(0,0)点 也不连续 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分可导。但对二元函数,可微与偏导存在 并不等价,即:可徽→偏导存在,反之未必。应特别引起注意
2 3 4 ，3 2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在 (0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但 − = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 (0,0) x f 不存在。由 x, y 的对称性， (0,0) y f 不存在。从而， f (x, y) 在 (0,0) 点不可微（否则， (0,0) x f ， (0,0) y f 均存在）。 2 1 例 3： + = + + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ 0 0 → → y x ） 故 f (x, y) 在 (0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0 + = + + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 取点列 ( , ) n n n P x y ， n xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 P (x , y ) → (0,0)(n → ) n n n f (x , y ) = −2 2n cos2n → −(n → ) x n n 故 lim ( , ) 0 0 f x y x y x → → 不存在，从而 f (x, y) x 在 (0,0) 点不连续。由 x, y 的对称性， f (x, y) y 在 (0,0) 点 也不连续。 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微 可导。但对二元函数，可微与偏导存在 并不等价，即：可微 偏导存在，反之未必。应特别引起注意
§2复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用 链式法则。 例1设v=-g(--)c为常数,函数g二阶可导,r +x2,证明 a2y av a2v 1av 证变量之间的关系为v 注意这里g是某变量l的一元函数,而u=1 因为 av ay ar 2ya2,Or、2ova2r 2va2Or、2,vara2va 由x,y,z的对称性得 ()2 ay Or x a2r /sr Or 而 由x,y,=的对称性得 ar y ar r-y ar z a2v av av a2 于是 ax2 ay2 az ar2 ax ar ax- ay a2, 又因为 =g(-5)-1g(-) a2y 2 8(--)+-28(t--)+-2g"(
3 §2 复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用 链式法则。 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v = + + 证 变量之间的关系为 t z y x r v 注意这里 g 是某变量 u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v = ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v + = 由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v + = ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v + = 而 r x x r = ， 2 2 2 r x r r x x r − = 3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r = ， = 2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r = ， = 2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v + + + + + = + + 3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v − + + + = r r v r v 2 2 2 + = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − − − − = ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − + − + −
a8(-5 a-v av2 1 g"(t--) 1 a2y a 注1在求时,要特别注意一的函数关系仍然是 av ry 注2在求一时,注意正确使用导数符号g(t--),不要写成 也不要写成_ a(t °事实上,g_-1 ag (t ar c a2y ay a2v 注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是-+ 函数作为自变量 x,y,z的函数,是由中间变量r=√x2+y2+2复合而成,利用 ()+2)=1 a-r ar ar 2 a2v a2y a2y a2y 0v 2 我们得到了 这样把求v对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数,从而使计算简单了。试比较 直接求++的情形 c ax cl 8(t-, ar C I s、1 c Cr3 ar8(t 2x ar ar +3xkg(-5)+ 13x2 lg(--)+ cn38(- 由x,yz的对称性得
4 ( ) 1 c r g t t r v = − ， ( ) 1 2 2 c r g t t r v = − 故 r r v r v 2 2 2 + ( ) 1 2 c r g t c r = − 2 2 2 1 t v c = 。 注 1 在求 2 2 x v 时，要特别注意 r v 的函数关系仍然是 t z y x r r v 注 2 在求 r v 时，注意正确使用导数符号 ( ) c r g t − ，不要写成 g v ( ) c r t g − ，也不要写成 ( ) c r t g − 或 r g 。事实上， = r g ( ) 1 c r g t c − − 。 注 3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是 2 2 2 2 2 2 z v y v x v + + ，函数 v 作为自变量 x, y,z 的函数，是由中间变量 2 2 2 r = x + y + z 复合而成，利用 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 = + + z r y r x r ， z r r y r x r 2 2 2 2 2 2 2 = + + 我们得到了 2 2 2 2 2 2 z v y v x v + + r r v r v 2 2 2 + = 这样把求 v 对自变量 x, y,z 的偏导数转化为对中间变量 r 的偏导数，从而使计算简单了。试比较 直接求 2 2 2 2 2 2 z v y v x v + + 的情形。 x r c r g t x cr r c r g t x r v − − − − = ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 2 c r g t cr x c r g t r x − − − − = ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 4 3 2 c r g t x r cr x c r g t x r r x c r g t x r v − − + − + − = ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 2 c r g t x r c r x c r g t x r cr x c r g t cr − − + − − + ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r x r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r x c r g t cr x cr + − + − + − 由 x, y,z 的对称性得
dg(t --2+-41g(t--)+-28"(t--) g(t--)+[ 418(t-=)+ a2v ava 8(t 例2设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续, 0,(x,2x)=x,a2(x,2x) 试求x(x,2x),l2(x,2x),l(x,2x)。 证注意1(x2a=4(x2x),是a(xy)对x求偏导数之后,令y=2x所得的函数, 而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。 在(x,2x)=x两边对x求导,得 a1(x,2x)+2u2(x,2x)=1 将u1(x,2x)=x2代入,得 l2(x,2x)=1-x 上式两边对x求导,得 l2(x,2x)+22(x,2x)=-x 在u1(x,2x)=x2两边对x求导,得 l1(x,2x)+2u12(x,2x)=2x 因为(x,y)有连续的二阶偏导数,则a2(x,2x)=l21(x2x),又已知1(x,2x)-l2(x,2x)=0 将上两式联立解得 l12(x,2x)=l21(x,2x)==x,l1(x,2x)=l2(x,2x)=-x lx2(x,2x)=a1x(x,2x)=x,ux(x,2x)=l1(x,2x)=-x。 例3若函数f(x,y,)对任意正实数t满足关系∫(x,y,1)=t"f(x,y,z),则称∫(x,y,)为n 次奇次函数。设∫(x,y,z)可微,试证明∫(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是 af af y(x,y,=) 证 f(tx, ty, t=)
5 2 2 y v ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r y r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r y c r g t cr y cr + − + − + − 2 2 z v ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r z r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r z c r g t cr z cr + − + − + − 则 2 2 2 2 2 2 z v y v x v + + ( ) 1 2 c r g t c r = − 2 2 2 1 t v c = 。 例 2 设 u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， 0 2 2 2 2 = − y u x u ， u(x,2x) = x ， 2 u (x,2x) x x = 试求 u (x,2x) xx ，u (x,2x) xy ，u (x,2x) yy 。 证 注意 | 2 ( ,2 ) y x x x u u x x = = ( ,2 ) 1 = u x x ，是 u(x, y) 对 x 求偏导数之后，令 y = 2x 所得的函数， 而不是 u(x,2x) 作为 x 的一元函数对 x 的导函数。 在 u(x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u1 (x,2x) + 2u2 (x,2x) =1 将 2 1 u (x,2x) = x 代入，得 2 2u2 (x,2x) =1− x 上式两边对 x 求导，得 u (x,2x) + 2u (x,2x) = −x 21 22 在 2 1 u (x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u (x,2x) 2u (x,2x) 2x 11 + 12 = 因为 u(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 21 u x x = u x x ，又已知 u11(x,2x) −u22 (x,2x) = 0， 将上两式联立解得 u x x u x x x 3 5 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 = 21 = ， u x x u x x x 3 4 ( ,2 ) ( ,2 ) 11 = 22 = − 。 即 u x x u x x x xy yx 3 5 ( ,2 ) = ( ,2 ) = ， u x x u x x x xx yy 3 4 ( ,2 ) = ( ,2 ) = − 。 例 3 若函数 f (x, y,z) 对任意正实数 t 满足关系 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = ，则称 f (x, y,z) 为 n 次奇次函数。设 f (x, y,z) 可微，试证明 f (x, y,z) 为 n 次齐次函数的充要条件是 nf (x, y,z) z f z y f y x f x = + + 证 "" 令 n t f tx ty tz G t ( , , ) ( ) = ，则