3.5.2线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为D(s)=aos" +a,sn-1 +a,sn-2 +L +an-is+a, =a.O(s- s,)=0-2i-1式中，a>0,S,（i=1,2,口，n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立2"aay=S;aoHaHoanSaoNa,h1=(- 1)"S;aoi=1K
3.5.2 线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环 特征方程为 式中，a0 >0 , s i（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极点。 根据代数方程的基本理论，下列关系式成立： 6
从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：a,a,>0(ij=l,2, ,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的：劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半平面上根的个数
从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必 要条件为： ai aj > 0 ( i, j =1,2, , n) 即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为 上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条 件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为 正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都 要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等 于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。 7
dosha2aaish-1asash-2C1C2Ci- 2,j+1Ci- 2,1slCiiCi-1,1Ci-1,1Ci-1,j+1socn(an)n(i 3, j=1,2, )表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。KV
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标 识作用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。 a0 a2 a4 . a1 a3 a5 . c 1 c2 c3 . ┋ . cn (an ) s n s n−1 s n−2 ┋ s 1 s 0 ( i 3, j = 1, 2, ) 8
劳斯刺据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表4S2R56S5So第一列元素符号改变了2次，：系统不稳定，且s右半平面有2个根。K
2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-5 设有下列特征方程D(s) = s 4 +2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯表 第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 1 3 5 2 4 6 1 5 5 9
例3-6系统的特征方程为D(s) = s3 3s + 2 = 0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为S313第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余S202各项不为零，或不全为零。对sl8此情况，可作如下处理：So①用一个很小的正数来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。10KV
例3-6 系统的特征方程为 D(s) = s 3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为 第一种特殊情况：劳斯表中某 行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理： s 3 s 2 s 1 s 0 1 3 0 2 ∞ ① 用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而 使劳斯表继续下去。 ② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意 正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。 10