陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换

证: Vα,βeV, VkeP,α-(α + β) =α(αα-")(α)+(α-)(β)=α"(o(α(α)+α"(β))(α-")(α-(α)+α-'(β))=α-(α)+α-"(β)0(ka)=0-(k(00")(α)=0-(k(o(α-(α)=0(o(k(α(α)=k(α(α) = ko(α)：α- 是V的线性变换

        1 1 1 1                      1 1 1                1 1         证：      , , , V k P       1 1 1                       1 1 1 1 1          k k k                  1 1 1 1         k k k        是V的线性变换. 1   

(2）线性变换可逆线性变换是一一对应证："→”设α为线性空间V上可逆线性变换任取α,βV,若 (α)=α(β)，则有α =(α-l)(α) =α-(α(α) =-(α(β)：α为单射= (α-α)(β) = β.其次，对 βV,令 α=α-(β),则 αV,且(α)=(α-(β))=α-l(β)=β. ： 为满射故为一一对应

(2) 线性变换  可逆  线性变换  是一一对应. 证： " "  设  为线性空间V上可逆线性变换. 任取  , , V 若     ( ) ( ),  则有 1 1 1           ( )( ) ( ( )) ( ( ))       1 ( )( ) .          为单射. 其次，对   V, 令     1 ( ), 则  V, 且 1 1         ( ) ( ( )) ( ) .        为满射. 故  为一一对应

"←”若为一一对应，易证的逆映射也为V的线性变换，且 T= =E.故可逆，=-l.(3)设 εi,&2,,8,是线性空间V的一组基，为V的线性变换，则可逆当且仅当(s),(s2),,(n)线性无关，证: "=" 设k,o(s)+ k,o(c2)+...+k,o(en)= 0.于是 (k,e;+k,e2 +...+k,en)= 0因为可逆，由(2)，为单射，又 (0)=0

" "  若  为一一对应，易证  的逆映射  也为V 的线性变换，且     E. 故  可逆， . 1     线性变换，则  可逆当且仅当 1 2 ( ), ( ), , ( )       n (3) 设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  为V的 线性无关. 证： " "  设 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. n n k k k           于是 1 1 2 2 ( ) 0 n n     k k k     因为  可逆，由(2)，  为单射，又 (0) 0, 

.. kei+k,e, +...+k,e, =0而 81,82,,8,线性无关，所以 k,=0,i=1,2,,n故0(8),0(82),,0(8n)线性无关"←"若(),(ε2),,α(sn)线性无关，则它也为V的一组基因而，对 VβeV,有β = ko(c) + k20(c2)+... + kno(8n),即有 o(k,ei +k2e2 +... + knen) = β.：α为满射

" "  1 1 2 2 0 n n      k k k    而    1 2 , , , n 线性无关，所以 0, 1,2, , . i k i n   故 线性无关. 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 若       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 线性无关，则它 也为V的一组基. 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ), n n            k k k 因而，对   V, 有 即有 1 1 2 2 ( ) . n n      k k k       为满射

其次，任取α,βeV,设α=a,e;，β=b,,i=1i-1若 (α)=(β),则有Za,0(8) =≥b,(6b),i1i1α(s ),0(ε2),,0(8n）线性无关即 α=β.i=1,2,..,n,E. a, =b,从而，为单射.故为一一对应由(2)，α 为可逆变换

1 2 ( ), ( ), , ( )       n 线性无关 , 1,2, , , i i    a b i n 若     ( ) ( ),  则有 其次，任取  , ,  V 设 1 1 , , n n i i i i i i     a b       1 1 ( ) ( ), n n i i i i i i a b         即    . 由(2)，  为可逆变换. 从而，  为单射. 故  为一一对应