陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换

(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。证：设为线性空间V的可逆变换,α,α,α,V线性无关. 若 k,(αi)+kz(α2)+.….+k,(α,)=0.则有, o(k,α +k,α, +...+k,α,)= 0又可逆，于是 一一对应，且(0)=0.. kα, +k,α, +...+k,α, =0由α,αz,…,α,线性无关，有k,=k,=.….=k,=0.线性无关故o(α),o(α,),",o(α,)

(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关 的向量组. 线性无关. 若 1 1 2 2       0. r r k k k           证：设  为线性空间V的可逆变换， 1 2 , , ,   r V 则有， 1 1 2 2 ( ) 0 r r     k k k     又  可逆，于是  是一一对应，且 (0) 0  1 1 2 2 0 r r      k k k    故      ( ), ( ), , ( ) 1 2 r 线性无关. 由 线性无关，有 1 2 0. r    1 2 , , , r k k k    

五、线性变换的多项式1.线性变换的幂设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义g"=g,n称之为的n次幂当 n=0 时，规定°=E（单位变换）：

, n n     当 n  0 时，规定 （单位变换）. 0   E 五、线性变换的多项式 1．线性变换的幂 设  为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义 称之为  的n次幂

注：①易证βm+n=g"g"，(mrm=(gm,n≥ 0C②当为可逆变换时，定义的负整数幂为α" =(α")③一般地，(αt)"α"t

① 易证 , , , 0   n m n m n m mn      m n     注：   1 n n      ② 当  为可逆变换时，定义  的负整数幂为 ③ 一般地，   . n n n    

2。线性变换的多项式设 f(x) =amxm +...+ax+a, E P[x],为V的一个线性变换，则f(o)=amo"+..+ao+a,E也是V的一个线性变换，称f()为线性变换α的多项式

设   1 0 [ ], m m f x a x a x a P x       为V的一个线性变换，则 1 0 ( ) m m f a a a E        2．线性变换的多项式 多项式. 也是V的一个线性变换，称 f ( )  为线性变换  的

注：① 在 P[x]中，若h(x)= f(x)+g(x), p(x)= f(x)g(x)则有，h(o)= f(o)+g(),p(α)= f(α)g(α)Vf(x),g(x) e P[x], 有2f(α)+g(α)= g(α)+ f(α)f(α)g(α)= g(α) f(α)即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律

注： h x f x g x p x f x g x         ,       ① 在 P x [ ] 中，若 则有， h f g          , f g g f               即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律. p f g          ②   f x g x P x ( ), ( ) [ ], 有 f g g f            