第六章 计数原理 9.由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有 n！ 这些四位数的各数位上的数字之和为288，则工= C.Ag=(m-m)川 nA=a二贵 答案ABC 答案2 解析a+=a+X-m1,A正确：nA= n+1 解析当x≠0时，有A=24个四位数，每个四位数的数 n+1 n×(n-1)! n！ 字之和为1十4十5十x, 故24(1十4+5十x)=288,解得x=2: [n-1)-(m-1万=n=m刀=A,B正确：C正确； (n-1)！ (n-1)! 当x=0时，每个四位数的数字之和为1十4十5=10， A=0m-0-m-1j=m-m (分母为(n 而288不能被10整除，即x=0不符合题意.综上可知 m)!,而不是(m一n)!),D不正确. x=2. 4.若S=A十A号十A十A十十Am,则S的个位数字是 10.一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了 () 2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？ A.8 B.5 现有多少个车站？ C.3 D.0 解由题意可得A+2-A=58, 答案C 即(n十2)(n十1)-n(n-1)=58,解得n=14. 解析因为1！=1,2！=2,3！=6,4！=24,5！=120， 故原有车站14个，现有车站16个 而6！=6×5！，7！=7×6×5！，…100！=100X 11.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球， 99×…×6×5!,所以从5！开始到100！，个位数字均为0， 球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？ 所以S的个位数字为3. 解由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙。 5.A+1与A的大小关系是( 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图所示， A.A>A w乙◆丙+甲 甲< B.A2+1<A 丙+乙·甲 C.A=A2 甲一 x乙+甲 ,甲之丙一甲 D.大小关系不定 答案D 乙→丙→甲 解析由题意知n≥3，A+1-A2=(n十1)n-n(n-1)· 共5种. 同样甲第一次发球给丙，也有5种情况， (n-2)=-n(n2-4n十1).当n=3时，A+1-A2=6>0, 依据分类加法计数原理，共有5十5=10种不同的传 得A+1>A;当n≥4时，A+1-A<0,得A+1<A,即 球方法， A品+1与A的大小关系不定.故选D. 6.在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4 拓展·提高 的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能 种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有 种 1.从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中 不同的试种方案. 一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A.2 B.4 答案11 C.12 D.24 解析画出树形图，如下： /1—4-3 24 答案C 1一4 -3<4一1 42 解析本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即 1—2 4<3< 4一1-3 A=12. 4<2一1 2 由树形图可知，共有11种不同的试种方案. 2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片 7.解下列方程或不等式. 可组成不同的四位数的个数为() (1)3A=2A2+1十6A: A.6 B.9 (2)A>6A2. C.12 D.24 解(1)由排列数公式，得 答案B 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6.x(x-1),① 解析构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0 x≥3，x∈N".② 在个位有2110,1210,1120，共3个：第二类，0在十位有 由①，得3x2-17x+10=0, 2101,1201,1102,共3个：第三类，0在百位有2011. 1021,1012,共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位 解得红=5浅=子 数的个数为9. 结合②可知x=5是所求方程的根. 3.(多选题)下列4个等式正确的是( 9！ 6×9! An!=n+1)川 (2)原不等式可化为 n+1 B.A"=nA" 9-x川(9-x+2,0 2x9,x∈N'.② 11
第六章 计数原理 9.由1,4,5,x 四个数字组成没有重复数字的四位数,所有 这些 四 位 数 的 各 数 位 上 的 数 字 之 和 为 288,则 x = . 答案 2 解析 当x≠0时,有 A 4 4=24个四位数,每个四位数的数 字之和为1+4+5+x, 故24(1+4+5+x)=288,解得x=2; 当x=0时,每个四位数的数字之和为1+4+5=10, 而288不能被10整除,即x=0不符合题意.综上可知, x=2. 10.一条铁路线原有n个车站,为了适应客运需要,新增加了 2个车站,客运车票增加了58种,问原有多少个车站? 现有多少个车站? 解 由题意可得 A 2 n+2-A 2 n=58, 即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58,解得n=14. 故原有车站14个,现有车站16个. 11.甲、乙、丙三人相互传球,由甲开始发球,经过5次传球, 球仍回到甲手中,不同的传球方法共有多少种? 解 由甲开始发球,可发给乙,也可发给丙. 若甲发球给乙,其传球方法的树形图如图所示, 共5种. 同样甲第一次发球给丙,也有5种情况. 依据分类加法计数原理,共有5+5=10种不同的传 球方法. 拓展 提高 1.从1,2,3,4中,任取两个不同数字组成平面直角坐标系中 一个点的坐标,则组成不同点的个数为( ) A.2 B.4 C.12 D.24 答案 C 解析 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列,即 A 2 4=12. 2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片 可组成不同的四位数的个数为( ) A.6 B.9 C.12 D.24 答案 B 解析 构成四位数,可从特殊元素0进行分类:第一类,0 在个位有2110,1210,1120,共3个;第二类,0在十位有 2101,1201,1102,共3个;第三类,0在百位有2011, 1021,1012,共3个,故由这四张卡片可组成不同的四位 数的个数为9. 3.(多选题)下列4个等式正确的是( ) A.n! = (n+1)! n+1 B.A m n =nA m-1 n-1 C.A m n = n! (n-m)! D.A m-1 n-1= (n-1)! (m-n)! 答案 ABC 解析 (n+1)! n+1 = (n+1)×n! n+1 =n!,A 正 确;nA m-1 n-1 = n×(n-1)! [(n-1)-(m-1)]!= n! (n-m)!=A m n,B 正确;C 正确; A m-1 n-1 = (n-1)! [(n-1)-(m-1)]! = (n-1)! (n-m)! (分 母 为 (nm)!,而不是(m-n)!),D不正确. 4.若S=A 1 1+A 2 2+A 3 3+A 4 4+…+A 100 100,则S 的个位数字是 ( ) A.8 B.5 C.3 D.0 答案 C 解析 因为1! =1,2! =2,3! =6,4! =24,5! =120, 而6! =6×5!,7! =7×6×5!,……100! =100× 99×…×6×5!,所以从5! 开始到100!,个位数字均为0, 所以S 的个位数字为3. 5.A 2 n+1 与 A 3 n 的大小关系是( ) A.A 2 n+1>A 3 n B.A 2 n+1<A 3 n C.A 2 n+1=A 3 n D.大小关系不定 答案 D 解析 由题意知n≥3,A 2 n+1-A 3 n=(n+1)n-n(n-1)· (n-2)=-n(n2-4n+1).当n=3时,A 2 n+1-A 3 n=6>0, 得 A 2 n+1>A 3 n;当n≥4时,A 2 n+1-A 3 n<0,得 A 2 n+1<A 3 n,即 A 2 n+1 与 A 3 n 的大小关系不定.故选D. 6.在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4 的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不能 种2号小麦,3号地不能种3号小麦,则共有 种 不同的试种方案. 答案 11 解析 画出树形图,如下: 由树形图可知,共有11种不同的试种方案. 7.解下列方程或不等式. (1)3A 3 x=2A 2 x+1+6A 2 x; (2)A x 9>6A x-2 9 . 解 (1)由排列数公式,得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),① x≥3,x∈N* .② 由①,得3x2-17x+10=0, 解得x=5或x= 2 3 , 结合②可知x=5是所求方程的根. (2)原不等式可化为 9! (9-x)!> 6×9! (9-x+2)! ,① 2<x≤9,x∈N* .② 11
数学 选择性必修第三册 配人教A版 ①式等价于(11-x)(10-x)>6, 7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州 即x2-21x+104>0,即(x-8)(x-13)>0, 北、上海虹桥等在内的24个车站，计算铁路部门要为这 解得x<8或x>13. 24个车站准备多少种不同的火车票？ 结合②得2<x<8,x∈N·, 解两个火车站A和B,因为每张票对应一个起点站和一 故所求不等式的解集为{3,4,5,6,7 个终，点站，所以从A到B的火车票与从B到A的火车票 挑战·创新 不同.因此，结果应为从24个不同元素中，每次取出2个 不同元素的排列数，共有A,=24×23=552种.因此一共 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长 需要为这24个车站准备552种不同的火车票. 1318千米，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海 第2课时 排列的应用 素养·目标定位 目标素养 知识概览 无限制条件 直接法 排 的排列问题 间接法 1.进一步加深对排列定义的理解 解 决 捆绑法 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决 的 简单的实际问题」 有限制条 排队问题 插空法 用 法 件的排列 特殊优先法 问题 数字排列 问题 定序除法 课前·基础认知 1.排列数公式 (4)插空法：首先把无限制的元素排好，然后将不能相邻 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= n! (n-m)1n,m∈ 的元素插入排好的元素形成的空中.要注意无限制条件的元 素的排列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问 N”,且m≤n) 题的排列. A:=n(n-1)(n一2)×…×2×1=n!(叫做n的阶乘) (5)捆绑法：把要求捆绑在一起的相邻元素看成一个整 另外，我们规定0！=1 体，与其他元素进行排列，同时需要考虑捆绑元素的内部排 微思考解简单的排列应用题的基本思想是什么？ 序.此法适用于“相邻”问题的排列. 提示 撤训练(1)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的 化归 四位偶数的个数为 实际问题 建模) 排列问题 答案48 求排列数求数学模型的解 解析先从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取 得实际问题的解 法：再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排 法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A= 2.解决排列应用题的常用方法 48个. (1)位置分析法：以位置为主，特殊（受限）的位置优先考 虑.有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分 (2)A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相 邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 种 类处理 (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊（受限）元素的 答案24 要求，再处理其他元素.若有两个以上的约束条件，往往考虑 解析把A,B视为一个整体，且B固定在A的右边，则 一个元素的同时，兼顾其他元素. 本题相当于4人的全排列，不同的排法共A=24种. (3)间接法：也叫排异法，直接考虑时情况较多、不易计 (3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种 算，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可以先 不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 求出对立面，再从总体情况中减除 种 12
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 ①式等价于(11-x)(10-x)>6, 即x2-21x+104>0,即(x-8)(x-13)>0, 解得x<8或x>13. 结合②得2<x<8,x∈N* , 故所求不等式的解集为{3,4,5,6,7}. 挑战 创新 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站,双线铁路全长 1318千米,途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海 7个省市,设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州 北、上海虹桥等在内的24个车站,计算铁路部门要为这 24个车站准备多少种不同的火车票? 解 两个火车站 A和B,因为每张票对应一个起点站和一 个终点站,所以从 A到B的火车票与从B到 A的火车票 不同.因此,结果应为从24个不同元素中,每次取出2个 不同元素的排列数,共有 A 2 24=24×23=552种.因此一共 需要为这24个车站准备552种不同的火车票. 第2课时 排列的应用 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.进一步加深对排列定义的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决 简单的实际问题. 课前·基础认知 1.排列数公式 A m n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= n! (n-m)! (n,m∈ N* ,且m≤n) A n n=n(n-1)(n-2)×…×2×1=n!(叫做n的阶乘) 另外,我们规定0! =1. 微思考 解简单的排列应用题的基本思想是什么? 提示 2.解决排列应用题的常用方法 (1)位置分析法:以位置为主,特殊(受限)的位置优先考 虑.有两个以上的约束条件时,往往根据其中的一个条件分 类处理. (2)元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限)元素的 要求,再处理其他元素.若有两个以上的约束条件,往往考虑 一个元素的同时,兼顾其他元素. (3)间接法:也叫排异法,直接考虑时情况较多、不易计 算,但其对立面情况较少,相对来讲比直接解答简捷,可以先 求出对立面,再从总体情况中减除. (4)插空法:首先把无限制的元素排好,然后将不能相邻 的元素插入排好的元素形成的空中.要注意无限制条件的元 素的排列数及所形成的空的个数,此方法适用于“不相邻”问 题的排列. (5)捆绑法:把要求捆绑在一起的相邻元素看成一个整 体,与其他元素进行排列,同时需要考虑捆绑元素的内部排 序.此法适用于“相邻”问题的排列. 微训练 (1)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的 四位偶数的个数为 . 答案 48 解析 先从2,4中取一个数作为个位数字,有2种取 法;再从其余四个数中取出三个数排在前三位,有A 3 4 种排 法.由分步乘法计数原理知,这样的四位偶数共有2×A 3 4= 48个. (2)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果 A,B必须相 邻且B在 A的右边,那么不同的排法种数有 种. 答案 24 解析 把 A,B视为一个整体,且B固定在 A的右边,则 本题相当于4人的全排列,不同的排法共 A 4 4=24种. (3)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三种 不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有 种. 12
第六章 计数原理 答案186 名男生中选出3人有A种方法，两者相减可得选派方案共 解析先从7人中选出3人有A种方法，再求出从4 有A-A8=186种. 课堂·重难突破 无限制条件的排列问题 不变 (6)排成前后两排，前排3人，后排4人 典例剖析 解(1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右 1.(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 中共三个位置可供甲选择，有A;种方法，其余6人全排列， 各1本，共有多少种不同的送法？ 有A:种方法.由分步乘法计数原理得排列方法有AA:= (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 2160种. 1本，共有多少种不同的送法？ (2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A:种方法， 解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于 余下的6个位置全排列有A。种方法，但应别除乙在最右边 从7个元素中任取3个元素的一个排列，共有A=7X6X 的排法数有A八A种方法，则符合条件的排法共有AA 5=210种不同的送法. AA=3720种. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都 (3)捆绑法：将所有男生看成一个整体，进行全排列有 不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343种不同 A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全 的送法。 排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA= 720种排法. 规律总结典型的排列问题，用排列数计算其排列方 (4)插空法：先排好男生有A种方法，再将女生安排到 法数：若不是排列问题，则需用计数原理求其方法种数 排男生时形成的四个空中有A种方法，根据分步乘法计数 由排列的概念可知，要从“个不同的元素中取出m个元 原理，共有A2A=144种方法. 素”，即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘 (5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右 法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取」 顺序的排列总数为N;第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则 学以致用 为七个人的全排列，因此有Ag=N×A,即N=是 1.(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6) 840种」 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少 (6)分排问题用直接法：由已知，7人排在7个位置，与 种不同的安排方法？ 无限制条件的排列问题相同，有A7=5040种方法」 (2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴 规律总结」1.排队问题的解题策略 趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报 (1)合理归类，先将题目大致归类，常见的类型有特 名方法？ 殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一 解(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行 类采用相应的方法解题」 研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列， (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理 因此不同的安排方法有A=5×4X3=60种 的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理 (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研小课题，因 (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用 此元素可以重复，不是排列问题 排除法可起到事半功倍的效果， 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都 2.元素相邻和不相邻问题的解题策略 选择完才算完成这件事，由分步乘法计数原理，共有5X5X 5=125种报名方法. 限制条件 解题策略 通常采用“捆绑”法，即先把相邻元素看作一 元素相邻 二 排队问题 个整体，再与其他元素排列 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元 典例剖析 元素不相邻 素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排 2.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的 列形成的空中 排列方法总数 (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边， 学以致用 (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起. 2.3名女生和5名男生排成一排，在下列不同要求下， (4)全体排成一行，男、女各不相邻. 求不同的排列方法总数 (5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序 (1)女生全排在一起。 13
第六章 计数原理 答案 186 解析 先从7人中选出3人有 A 3 7 种方法,再求出从4 名男生中选出3人有 A 3 4 种方法,两者相减可得选派方案共 有 A 3 7-A 3 4=186种. 课堂·重难突破 一 无限制条件的排列问题 典例剖析 1.(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人 各1本,共有多少种不同的送法? (2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人 1本,共有多少种不同的送法? 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于 从7个元素中任取3个元素的一个排列,共有 A 3 7=7×6× 5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都 不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343种不同 的送法. 典型的排列问题,用排列数计算其排列方 法数;若不是排列问题,则需用计数原理求其方法种数. 由排列的概念可知,要从“n个不同的元素中取出m 个元 素”,即在排列问题中元素不能重复选取,而在用分步乘 法计数原理解决的问题中,元素可以重复选取. 学以致用 1.(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6) 班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少 种不同的安排方法? (2)有5个不同的科研小课题,高二(6)班的3个学习兴 趣小组报名参加,每组限报一个课题,共有多少种不同的报 名方法? 解 (1)从5个不同的课题中选出3个,由兴趣小组进行 研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列, 因此不同的安排方法有 A 3 5=5×4×3=60种. (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研小课题,因 此元素可以重复,不是排列问题. 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择,且3个小组都 选择完才算完成这件事,由分步乘法计数原理,共有5×5× 5=125种报名方法. 二 排队问题 典例剖析 2.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的 排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻. (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序 不变. (6)排成前后两排,前排3人,后排4人. 解 (1)元素分析法:甲为特殊元素,故先安排甲,左、右、 中共三个位置可供甲选择,有 A 1 3 种方法,其余6人全排列, 有 A 6 6 种方法.由分步乘法计数原理得排列方法有 A 1 3A 6 6= 2160种. (2)位置分析法:先排最左边,除去甲外,有 A 1 6 种方法, 余下的6个位置全排列有 A 6 6 种方法,但应剔除乙在最右边 的排法数有 A 1 5A 5 5 种方法,则符合条件的排法共有 A 1 6A 6 6- A 1 5A 5 5=3720种. (3)捆绑法:将所有男生看成一个整体,进行全排列有 A 3 3 种排法,把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全 排列有 A 5 5 种排法,根据分步乘法计数原理,共有 A 3 3A 5 5= 720种排法. (4)插空法:先排好男生有 A 3 3 种方法,再将女生安排到 排男生时形成的四个空中有 A 4 4 种方法,根据分步乘法计数 原理,共有 A 3 3A 4 4=144种方法. (5)定序排列用除法:第一步,设固定甲、乙、丙从左至右 顺序的排列总数为 N;第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则 为七个人的全排列,因此有 A 7 7 =N ×A 3 3,即 N= A 7 7 A 3 3 = 840种. (6)分排问题用直接法:由已知,7人排在7个位置,与 无限制条件的排列问题相同,有 A 7 7=5040种方法. 1.排队问题的解题策略 (1)合理归类,先将题目大致归类,常见的类型有特 殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一 类采用相应的方法解题. (2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理 的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理. (3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用 排除法可起到事半功倍的效果. 2.元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即先把相邻元素看作一 个整体,再与其他元素排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排 列形成的空中 学以致用 2.3名女生和5名男生排成一排,在下列不同要求下, 求不同的排列方法总数. (1)女生全排在一起. 13
数学 选择性必修 第三册 配人教A版 (2)女生互不相邻. (2)个位数字不是5的六位数 (3)女生不站两端 (3)不大于4310的四位偶数？ (4)甲、乙两人必须站两端 解(1)方法一：从特殊位置入手（直接法）分三步完成： (5)甲不站左端、乙不站右端。 第一步先确定个位，有A:种方法：第二步再确定十万位，有 解(1)捆绑法：由于女生排在一起，可把地她们看成一个 A!种方法；第三步确定其他位，有A:种方法，故共有 整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有 A3A1A=288个六位奇数. A。种排法，而每一种排法中，3名女生间又有A。种排法，因 方法二：从特殊元素入手（直接法） 此共有A。×A=4320种不同排法. 0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个 (2)插空法：先排5名男生，有A种排法，这5名男生之 位有A;种排法，其他各位上用剩下的元素全排列有A:种 间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排 排法，故共有AA1A=288个六位奇数 法，因此共有A×A。=14400种不同排法. 方法三：排除法 (3)方法一：（位置分析法）因为两端不排女生，只能从 6个数字的全排列有A。个，0,2,4在个位上的六位数 5名男生中选2人排在两端，有A好种排法，剩余的位置没有 有3A个，1,3,5在个位上和0在十万位上的六位数有 特殊要求，有A:种排法，因此共有AXA8=14400种不同 3A个，故满足条件的六位奇数共有A一3A一3A:= 排法 288个. 方法二：（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女 (2)方法一：排除法 生，有A。种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个， A×A=14400种不同排法. 0在十万位且5在个位的六位数有A个， 方法三：（间接法）3名女生和5名男生排成一排共有 故符合题意的六位数共有A:-2A十A=504个 A。种不同的排法，排除女生排在首位的AA?种排法和女 方法二：直接法 生排在末位的AA好种排法，但这样两端都是女生的排法被 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同. 重复排除了两次，由于两端都是女生有AA种排法，因此 因此霄分两类： 共有A8-2AA7十AA8=14400种不同排法 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A:个 (4)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有 A?种排法，其余6人全排列，有A种排法，因此共有 AAA个 A号A8=1440种不同排法. 故共有符合题意的六位数A十A1AA=504个 (⑤)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置. (3)直接法 方法一：（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排列， ①当千位上排1,3时，有A2AA2个 有A7种排法：甲不在最右边时，可从余下的6个位置中任 ②当千位上排2时，有A2A匠个 选一个，有A:种选法，而乙可排在除去最右边位置后剩余 ③当千位上排4时，形如40XX,42X×的各有A个： 的6个位置中的任意一个上，有A!种排法，其余人全排列， 形如41××的有A}A2个；形如43××的只有4310和 共有AAA种排法. 4302这两个数 由分类加法计数原理得，共有A?十AAgA:=30960种 故共有A2AA+A2A+2A}+AA2+2=110个 排法 规律总结」排数字问题常见的解题方法 方法二：（特殊位置法）先排最左端，除去甲外，有A?种 (1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优 排法，余下7个位置全排列，有A?种排法，但应排除乙在最 先填充.如“0”不排“首位” 右端时的AA。种排法 (2)“分类讨论法”：先按照某一标准将排列分成几 因此共有AA7-AA=30960种排法. 类，再按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点： 方法三：（间接法）8个人全排列，共有A；种排法， 是分类标准必须恰当：二是分类过程要做到不重不漏。 其中，不符合条件的有甲在最左端时A?种排法，乙在 (3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数 最右端时A?种排法，其中都包含了甲在最左端，同时乙在 (4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的 每个数位排好 最右端的情形，共A种排法. 因此共有A8-2A7+A=30960种排法. 学以致用 三数字排列问题 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字进行排列 (1)可以组成多少个无重复数字、能被5整除的五位数？ 典例剖析 (2)可以组成多少个无重复数字、能被3整除的五位数？ 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复 (3)组成的所有六位数按从小到大的顺序形成一个数列 数字的： {an},240135是第几项？ (1)六位奇数？ 解(1)个位上的数字必须是0或5.当个位上的数字是
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 (2)女生互不相邻. (3)女生不站两端. (4)甲、乙两人必须站两端. (5)甲不站左端、乙不站右端. 解 (1)捆绑法:由于女生排在一起,可把她们看成一个 整体,这样同5名男生合在一起有6个元素,排成一排有 A 6 6 种排法,而每一种排法中,3名女生间又有 A 3 3 种排法,因 此共有 A 6 6×A 3 3=4320种不同排法. (2)插空法:先排5名男生,有A 5 5 种排法,这5名男生之 间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A 3 6 种排 法,因此共有 A 5 5×A 3 6=14400种不同排法. (3)方法一:(位置分析法)因为两端不排女生,只能从 5名男生中选2人排在两端,有 A 2 5 种排法,剩余的位置没有 特殊要求,有 A 6 6 种排法,因此共有 A 2 5×A 6 6=14400种不同 排法. 方法二:(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女 生,有A 3 6 种排法,其余位置无限制,有A 5 5 种排法,因此共有 A 3 6×A 5 5=14400种不同排法. 方法三:(间接法)3名女生和5名男生排成一排共有 A 8 8 种不同的排法,排除女生排在首位的 A 1 3A 7 7 种排法和女 生排在末位的 A 1 3A 7 7 种排法,但这样两端都是女生的排法被 重复排除了两次,由于两端都是女生有 A 2 3A 6 6 种排法,因此 共有 A 8 8-2A 1 3A 7 7+A 2 3A 6 6=14400种不同排法. (4)甲、乙为特殊元素,先将他们排在两头位置,有 A 2 2 种排法,其 余 6 人 全 排 列,有 A 6 6 种 排 法,因 此 共 有 A 2 2A 6 6=1440种不同排法. (5)甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置. 方法一:(特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排列, 有 A 7 7 种排法;甲不在最右边时,可从余下的6个位置中任 选一个,有 A 1 6 种选法,而乙可排在除去最右边位置后剩余 的6个位置中的任意一个上,有 A 1 6 种排法,其余人全排列, 共有 A 1 6A 1 6A 6 6 种排法. 由分类加法计数原理得,共有 A 7 7+A 1 6A 1 6A 6 6=30960种 排法. 方法二:(特殊位置法)先排最左端,除去甲外,有 A 1 7 种 排法,余下7个位置全排列,有 A 7 7 种排法,但应排除乙在最 右端时的 A 1 6A 6 6 种排法. 因此共有 A 1 7A 7 7-A 1 6A 6 6=30960种排法. 方法三:(间接法)8个人全排列,共有 A 8 8 种排法. 其中,不符合条件的有甲在最左端时 A 7 7 种排法,乙在 最右端时 A 7 7 种排法,其中都包含了甲在最左端,同时乙在 最右端的情形,共 A 6 6 种排法. 因此共有 A 8 8-2A 7 7+A 6 6=30960种排法. 三 数字排列问题 典例剖析 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复 数字的: (1)六位奇数? (2)个位数字不是5的六位数? (3)不大于4310的四位偶数? 解 (1)方法一:从特殊位置入手(直接法)分三步完成: 第一步先确定个位,有 A 1 3 种方法;第二步再确定十万位,有 A 1 4 种 方 法;第 三 步 确 定 其 他 位,有 A 4 4 种 方 法,故 共 有 A 1 3A 1 4A 4 4=288个六位奇数. 方法二:从特殊元素入手(直接法) 0不在两端有 A 1 4 种排法,从1,3,5中任选一个排在个 位有 A 1 3 种排法,其他各位上用剩下的元素全排列有 A 4 4 种 排法,故共有 A 1 4A 1 3A 4 4=288个六位奇数. 方法三:排除法 6个数字的全排列有 A 6 6 个,0,2,4在个位上的六位数 有3A 5 5 个,1,3,5在个位上和0在十万位上的六位数有 3A 4 4 个,故满足条件的六位奇数共有 A 6 6 -3A 5 5 -3A 4 4 = 288个. (2)方法一:排除法 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A 5 5 个, 0在十万位且5在个位的六位数有 A 4 4 个. 故符合题意的六位数共有 A 6 6-2A 5 5+A 4 4=504个. 方法二:直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同. 因此需分两类: 第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有 A 5 5 个. 第二 类:当 个 位 不 排 0 时,符 合 条 件 的 六 位 数 有 A 1 4A 1 4A 4 4 个. 故共有符合题意的六位数 A 5 5+A 1 4A 1 4A 4 4=504个. (3)直接法 ①当千位上排1,3时,有 A 1 2A 1 3A 2 4 个. ②当千位上排2时,有 A 1 2A 2 4 个. ③当千位上排4时,形如40××,42××的各有A 1 3 个; 形如41××的有 A 1 3A 1 2 个;形如43××的只有4310和 4302这两个数. 故共有 A 1 2A 1 3A 2 4+A 1 2A 2 4+2A 1 3+A 1 3A 1 2+2=110个. 排数字问题常见的解题方法 (1)“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优 先填充.如“0”不排“首位”. (2)“分类讨论法”:先按照某一标准将排列分成几 类,再按照分类加法计数原理进行.要注意以下两点:一 是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏. (3)“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数. (4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的 每个数位排好. 学以致用 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字进行排列. (1)可以组成多少个无重复数字、能被5整除的五位数? (2)可以组成多少个无重复数字、能被3整除的五位数? (3)组成的所有六位数按从小到大的顺序形成一个数列 {an},240135是第几项? 解 (1)个位上的数字必须是0或5.当个位上的数字是 14
第六章 计数原理 0时，有A个.当个位上的数字是5时，若不含0，则有 故能被3整除的五位数有A十AA=216个. A个，当个位上的数字是5，若含0，但0不作首位，则0的 (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有 位置有A种排法，其余各位有A种排法.故共有A;十 A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A A十AA=216个能被5整除的五位数. 个数， (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则 故240135的项数是A十3A十1=193， 5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组 即240135是数列的第193项. 成的五位数分别有A:个和AA:个 随堂训练 1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( 种排法； A.36 B.120 第二步，把5名儿童插入排5位母亲所形成的6个空 C.240 D.720 位中，共有A种排法 答案D 根据分步乘法计数原理，符合条件的站法共有A· 解析不同的排法有A8=6×5×4×3X2×1=720种. A8=86400种. 2.6名选手依次演讲，其中甲选手不排在第一个也不排在最 5.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次 后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) 入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩 A.240种 B.360种 一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为 C.480种 D.720种 答案24 答案C 解析分三步完成： 解析分两步完成：第一步，排甲，共有A:种不同的排法： 第一步，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A= 第二步，排其他人，共有A种不同的排法.根据分步乘法 2种排法： 计数原理，不同的演讲次序共有AA=480种. 第二步，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元 3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比 素，考虑其顺序有A=2种排法： 40000大的偶数共有( 第三步，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全 A.144个 B.120个 排列，有A=6种排法。 C.96个 D.72个 依据分步乘法计数原理，共有2×2X6=24种排法. 答案B 6.分别求出符合下列要求的不同排法的种数 (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人： 解析当五位数的万位上的数字为4时，个位可以是0,2， (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾： 此时满足条件的偶数共有2A=48个；当五位数的万位 上的数字为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶 (3)6人排成一排，甲、乙不相邻。 数共有3A=72个，因此比40000大的偶数共有48+ 解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A=720 72=120个. (2)甲不能排头尾，首先排甲，有A}种选法，然后排 4.5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法 其他5人，有A种排法，故排法种数为AA=480. 有 种. (3)分三步完成：第一步，除甲、乙外的其余4人先排 答案86400 好：第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位 解析分两步完成：第一步，先排5位母亲的位置，有A 中排，共有AA号=480种排法。 课后 ·训练提升 基础·巩固 A.20 B.16 C.10 D.6 答案B 1.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则 解析不考虑限制条件有A种选法，若A当副组长，有 不同的分法种数是( A.1260 B.120 C.240 D.720 A种选法，故A不当副组长，有A一A=16种选法. 答案D 3.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则 解析相当于3个元素排10个位置，有A。=720种不同 不同的坐法种数为( ) 的分法， A.3×3! B.3X(3!)3 2.要从A,B,C,D,E这5个人中选出1名组长和1名副组 C.(31) D.9! 长，但A不能当副组长，则不同的选法种数是() 答案C 15
第六章 计数原理 0时,有 A 4 5 个.当个位上的数字是 5 时,若不含 0,则有 A 4 4 个.当个位上的数字是5,若含0,但0不作首位,则0的 位置有 A 1 3 种排法,其余各位有 A 3 4 种排法.故共有 A 4 5 + A 4 4+A 1 3A 3 4=216个能被5整除的五位数. (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除,则 5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况,能够组 成的五位数分别有 A 5 5 个和 A 1 4A 4 4 个. 故能被3整除的五位数有 A 5 5+A 1 4A 4 4=216个. (3)由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有 A 5 5 个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个,有3A 4 4 个数, 故240135的项数是 A 5 5+3A 4 4+1=193, 即240135是数列的第193项. 随堂训练 1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( ) A.36 B.120 C.240 D.720 答案 D 解析 不同的排法有 A 6 6=6×5×4×3×2×1=720种. 2.6名选手依次演讲,其中甲选手不排在第一个也不排在最 后一个演讲,则不同的演讲次序共有( ) A.240种 B.360种 C.480种 D.720种 答案 C 解析 分两步完成:第一步,排甲,共有 A 1 4 种不同的排法; 第二步,排其他人,共有 A 5 5 种不同的排法.根据分步乘法 计数原理,不同的演讲次序共有 A 1 4A 5 5=480种. 3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比 40000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 解析 当五位数的万位上的数字为4时,个位可以是0,2, 此时满足条件的偶数共有2A 3 4=48个;当五位数的万位 上的数字为5时,个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶 数共有3A 3 4=72个,因此比40000大的偶数共有48+ 72=120个. 4.5位母亲带领5名儿童站成一排照相,儿童不相邻的站法 有 种. 答案 86400 解析 分两步完成:第一步,先排5位母亲的位置,有 A 5 5 种排法; 第二步,把5名儿童插入排5位母亲所形成的6个空 位中,共有 A 5 6 种排法. 根据分步乘法计数原理,符合条件的站法共有 A 5 5· A 5 6=86400种. 5.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次 入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩 一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为 . 答案 24 解析 分三步完成: 第一步,先安排两位爸爸,必须一首一尾,有 A 2 2 = 2种排法; 第二步,两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元 素,考虑其顺序有 A 2 2=2种排法; 第三步,将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全 排列,有 A 3 3=6种排法. 依据分步乘法计数原理,共有2×2×6=24种排法. 6.分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)6名学生排3排,前排1人,中排2人,后排3人; (2)6名学生排成一排,甲不在排头也不在排尾; (3)6人排成一排,甲、乙不相邻. 解 (1)分排与直排一一对应,故排法种数为 A 6 6=720. (2)甲不能排头尾,首先排甲,有 A 1 4 种选法,然后排 其他5人,有 A 5 5 种排法,故排法种数为 A 1 4A 5 5=480. (3)分三步完成:第一步,除甲、乙外的其余4人先排 好;第二步,甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位 中排,共有 A 4 4A 2 5=480种排法. 课后·训练提升 基础 巩固 1.将3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则 不同的分法种数是( ) A.1260 B.120 C.240 D.720 答案 D 解析 相当于3个元素排10个位置,有 A 3 10=720种不同 的分法. 2.要从 A,B,C,D,E这5个人中选出1名组长和1名副组 长,但 A不能当副组长,则不同的选法种数是( ) A.20 B.16 C.10 D.6 答案 B 解析 不考虑限制条件有 A 2 5 种选法,若 A 当副组长,有 A 1 4 种选法,故 A不当副组长,有 A 2 5-A 1 4=16种选法. 3.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则 不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! 答案 C 15