数学 选择性必修第三册 配人教A版 答案56 拓展：提高 解析对于图1，按要求接通电路，分二类：第1类，合上A 中的两个开关中的任意1个；第2类，合上B中的三个开 1.若x,y∈N,且1≤x≤3，x十y<7,则满足条件的不同的 关中的任意1个.依据分类加法计数原理，共有2十3 有序自然数对(x,y)的个数是() 5种不同的方法. A.5 B.12 对于图2，按要求接通电路必须分两步进行： C.15 D.4 第一步，合上A中的任意一个开关，有2种方法： 答案C 第二步，合上B中的任意一个开关，有3种方法， 解析分三类：第1类，当x=1时，y的取值可能为0,1， 依据分步乘法计数原理，共有2X3=6种不同的 2,3,4,5,有6种情况： 方法 第2类，当x=2时，y的取值可能为0,1,2,3,4，有 10.学校要组织数学课外小组，高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班分 5种情况： 别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组. 第3类，当x=3时，y的取值可能为0,1,2,3，有 (1)选其中一人为负责人有多少种不同的选法？ 4种情况. (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ 根据分类加法计数原理，满足条件的有序自然数对 (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有 (x,y)的个数为6+5十4=15. 多少种不同的选法？ 2.定义集合A与B的运算AB如下：AB={(x,y) 解(1)分四类：第一类，从(1)班学生中选1人，有7种选 x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则AB 法：第二类，从(2)班学生中选1人，有8种选法：第三类 的元素个数为( 从(3)班学生中选1人，有9种选法；第四类，从(4)班学 A.3 B.43 生中选1人，有10种选法.依据分类加法计数原理，共有 C.12 D.以上都不对 N=7+8+9+10=34种不同的选法. 答案C (2)分四步：第一、二、三、四步分别从高一年级(1) 解析依据分步乘法计数原理，AB的元素个数为3X (2)、(3)、(4)班学生中选一人任组长.依据分步乘法计数 4=12. 原理，共有N=7×8×9×10=5040种不同的选法. 3.若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长 (3)分六类，每类又分两步：从(1)、(2)班学生中各选 分别为b,c,且满足b≤4≤c,则这样的三角形有( ) 1人，有7×8种不同的选法：从(1)、(3)班学生中各选 A.10个 B.14个 1人，有7×9种不同的选法：从(1)、(4)班学生中各选 C.15个 D.21个 1人，有7×10种不同的选法；从(2)、(3)班学生中各选 答案A 1人，有8X9种不同的选法：从(2)、(4)班学生中各选 解析当b=1时，c=4:当b=2时，c=4,5:当b=3时， 1人，有8×10种不同的选法：从(3)、(4)班学生中各选 c=4,5,6:当b=4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三 1人，有9×10种不同的选法. 角形 依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，共有 4.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10= 6个焊接点A,B,C,D,E,F,若某个焊接点脱落，则整个 431种不同的选法. 电路就会不通.如果现在电路不通了，那么焊接点脱落的 11.有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中 可能性共有( 选人参加： (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同 选法？ (3)若需一名教师，一名学生参加，则有多少种不同选法？ 解(1)分三类：第1类，3名教师中选一人，有3种方法： A.6种 B.36种 第2类，8名男同学中选一人，有8种方法：第3类，5名 C.63种 D.64种 女同学中选一人，有5种方法.依据分类加法计数原理， 答案C 共有3十8十5=16种选法. 解析每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，只要有一 (2)分三步完成：第一步选教师，有3种方法：第二步 个焊接点脱落，电路就不通，故共有26一1=63种可能 选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法.依 情况. 据分步乘法计数原理，共有3X8X5=120种选法. 5.(多选题)已知函数y=ax2十bx十c,其中a,b,c∈{0,1， (3)分两类，每一类又分两步，第一类：先选一名教 2,3,4},则不同的二次函数的个数可以用式子表示为 师，再选一名男同学，共有3×8=24种选法：第二类：先 选一名教师，再选一名女同学，共有3×5=15种选法.依 A.4X5×5 据分类加法计数原理，共有24十15=39种选法. B.5×5×5
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 答案 5 6 解析 对于图1,按要求接通电路,分二类:第1类,合上 A 中的两个开关中的任意1个;第2类,合上B中的三个开 关中的任意1个.依据分类加法计数原理,共有2+3= 5种不同的方法. 对于图2,按要求接通电路必须分两步进行: 第一步,合上 A中的任意一个开关,有2种方法; 第二步,合上B中的任意一个开关,有3种方法, 依据分步乘法计数原理,共有2×3=6种不同的 方法. 10.学校要组织数学课外小组,高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班分 别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有 多少种不同的选法? 解 (1)分四类:第一类,从(1)班学生中选1人,有7种选 法;第二类,从(2)班学生中选1人,有8种选法;第三类, 从(3)班学生中选1人,有9种选法;第四类,从(4)班学 生中选1人,有10种选法.依据分类加法计数原理,共有 N=7+8+9+10=34种不同的选法. (2)分四步:第一、二、三、四步分别从高一年级(1)、 (2)、(3)、(4)班学生中选一人任组长.依据分步乘法计数 原理,共有N=7×8×9×10=5040种不同的选法. (3)分六类,每类又分两步:从(1)、(2)班学生中各选 1人,有7×8种不同的选法;从(1)、(3)班学生中各选 1人,有7×9种不同的选法;从(1)、(4)班学生中各选 1人,有7×10种不同的选法;从(2)、(3)班学生中各选 1人,有8×9种不同的选法;从(2)、(4)班学生中各选 1人,有8×10种不同的选法;从(3)、(4)班学生中各选 1人,有9×10种不同的选法. 依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理,共有 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10= 431种不同的选法. 11.有一项活动,需在3名教师,8名男同学和5名女同学中 选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同 选法? (3)若需一名教师,一名学生参加,则有多少种不同选法? 解 (1)分三类:第1类,3名教师中选一人,有3种方法; 第2类,8名男同学中选一人,有8种方法;第3类,5名 女同学中选一人,有5种方法.依据分类加法计数原理, 共有3+8+5=16种选法. (2)分三步完成:第一步选教师,有3种方法;第二步 选男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法.依 据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法. (3)分两类,每一类又分两步.第一类:先选一名教 师,再选一名男同学,共有3×8=24种选法;第二类:先 选一名教师,再选一名女同学,共有3×5=15种选法.依 据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法. 拓展 提高 1.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的 有序自然数对(x,y)的个数是( ) A.5 B.12 C.15 D.4 答案 C 解析 分三类:第1类,当x=1时,y 的取值可能为0,1, 2,3,4,5,有6种情况; 第2类,当x=2时,y 的取值可能为0,1,2,3,4,有 5种情况; 第3类,当x=3时,y 的取值可能为0,1,2,3,有 4种情况. 根据分类加法计数原理,满足条件的有序自然数对 (x,y)的个数为6+5+4=15. 2.定义集合A 与B 的运算A*B 如下:A*B={(x,y)| x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则A*B 的元素个数为( ) A.34 B.43 C.12 D.以上都不对 答案 C 解析 依据分步乘法计数原理,A*B 的元素个数为3× 4=12. 3.若三角形三边均为正整数,其中一边长为4,另外两边长 分别为b,c,且满足b≤4≤c,则这样的三角形有( ) A.10个 B.14个 C.15个 D.21个 答案 A 解析 当b=1时,c=4;当b=2时,c=4,5;当b=3时, c=4,5,6;当b=4时,c=4,5,6,7.故共有10个这样的三 角形. 4.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有 6个焊接点A,B,C,D,E,F.若某个焊接点脱落,则整个 电路就会不通.如果现在电路不通了,那么焊接点脱落的 可能性共有( ) A.6种 B.36种 C.63种 D.64种 答案 C 解析 每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,只要有一 个焊接点脱落,电路就不通,故共有26-1=63种可能 情况. 5.(多选题)已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈{0,1, 2,3,4},则不同的二次函数的个数可以用式子表示为 ( ) A.4×5×5 B.5×5×5 6
第六章 计数原理 C.4×4+4×4+4×4×4+4 (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位.百 D.5×4×3 位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位 答案AC 上数字的排法有4种根据分步乘法计数原理，各数位上 解析（方法一）依分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有 的数字互不相同的三位数有6×5×4=120个. 5种选择，c也有5种选择，共有4×5×5个不同的函数 (3)两个数字相同有三种可能，即百位和十位相同，十 (方法二)由题意可得a≠0，可分以下几类， 位和个位相同，百位和个位相同，而每种都有6×5= 第1类，b=0,c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选 30个，故满足条件的三位数共有3X30=90个. 择，共有4×4=16个不同的函数： 挑战·创新 第2类，c=0,b≠0，此时a有4种选择，b也有4种 选择，共有4×4=16个不同的函数： 用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②， 第3类，b≠0，c≠0，此时a,b,c都各有4种选择，共 ③，④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色 有4×4×4=64个不同的函数： (1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法？ 第4类，b=0,c=0,此时a有4种选择，共有4个不 (2)当为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值. 同的函数. ① 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有 N=16+16+64+4=100(个). 6.如图，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D 甲 乙 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色， 解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为 若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂 法种数为( ①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分 步乘法计数原理确定出总的方法数」 A.280 B.180 C.96 D.60 答案B (1)分三步完成：第一步，为区域①着色时有6种方法： 第二步，为区域②着色时有5种方法：第三步，为区战③着色 解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选：第 时有4种方法：第四步，为区域④着色时有4种方法.依据分 二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可 步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4=480种. 选：第四步由于可重复使用区战A中已有过的颜色，故也 (2)分三步完成：第一步，为区域①着色时有n种方 有3种颜色可选.依据分步乘法计数原理，共有5X4X 法：第二步，为区域②着色时有（一1）种方法：第三步，为 3×3=180种涂法. 区域③着色时有（一2）种方法：第四步，为区域④着色时 7.将一枚骰子（六点）连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一 有（一3）种方法.依据分步乘法计数原理，不同的着色方 个三位数. 法数为n(n一1)(n-2)(n-3). (1)可以排出多少个不同的三位数？ 由题意知n(n-1)(n-2)(n-3)=120,(n2-3）· (2)各数位上的数字互不相同的三位数有多少个？ (m2-3m+2)-120=0. (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 即(n2-3m)2+2(n2-3m)-120=0. 解(1)分三步：先排百位，再排十位，最后排个位，根据分步 因此n2-3m-10=0或n2-3m十12=0（舍去）. 乘法计数原理知，可以排出6X6X6=216个不同的三位数 解得n=5(负值舍去). 6.2 排列与组合 第1课时排列与排列数 素养 目标定位 目标素养 知识概览 排列 1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法. 排列数 2.能用列举法、树形图法表示出一个排列问题的所有的 概念 全排列 排列. 排列与 3.能用排列数公式解决无限制条件的排列问题！ 排列数 阶乘 公式排列数公式
第六章 计数原理 C.4×4+4×4+4×4×4+4 D.5×4×3 答案 AC 解析 (方法一)依分步乘法计数原理得,a有4种选择,b有 5种选择,c也有5种选择,共有4×5×5个不同的函数. (方法二)由题意可得a≠0,可分以下几类, 第1类,b=0,c≠0,此时a有4种选择,c也有4种选 择,共有4×4=16个不同的函数; 第2类,c=0,b≠0,此时a 有4种选择,b也有4种 选择,共有4×4=16个不同的函数; 第3类,b≠0,c≠0,此时a,b,c都各有4种选择,共 有4×4×4=64个不同的函数; 第4类,b=0,c=0,此时a 有4种选择,共有4个不 同的函数. 由分类加法计数原理,可确定不同的二次函数共有 N=16+16+64+4=100(个). 6.如图,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色, 若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂 法种数为( ) A.280 B.180 C.96 D.60 答案 B 解析 按区域分四步:第一步 A 区域有5种颜色可选;第 二步B区域有4种颜色可选;第三步C区域有3种颜色可 选;第四步由于可重复使用区域 A中已有过的颜色,故也 有3种颜色可选.依据分步乘法计数原理,共有5×4× 3×3=180种涂法. 7.将一枚骰子(六点)连续抛掷三次,掷出的数字顺次排成一 个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数? (2)各数位上的数字互不相同的三位数有多少个? (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个? 解 (1)分三步:先排百位,再排十位,最后排个位.根据分步 乘法计数原理知,可以排出6×6×6=216个不同的三位数. (2)分三步进行:先排百位,再排十位,最后排个位.百 位上数字的排法有6种,十位上数字的排法有5种,个位 上数字的排法有4种.根据分步乘法计数原理,各数位上 的数字互不相同的三位数有6×5×4=120个. (3)两个数字相同有三种可能,即百位和十位相同,十 位和个位相同,百位和个位相同,而每种都有 6×5= 30个,故满足条件的三位数共有3×30=90个. 挑战 创新 用n种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②, ③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)当为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值. 解 完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为 ①,②,③,④这四个区域着色时各自的方法数,再利用分 步乘法计数原理确定出总的方法数. (1)分三步完成:第一步,为区域①着色时有6种方法; 第二步,为区域②着色时有5种方法;第三步,为区域③着色 时有4种方法;第四步,为区域④着色时有4种方法.依据分 步乘法计数原理,不同的着色方法有6×5×4×4=480种. (2)分三步完成:第一步,为区域①着色时有n 种方 法;第二步,为区域②着色时有(n-1)种方法;第三步,为 区域③着色时有(n-2)种方法;第四步,为区域④着色时 有(n-3)种方法.依据分步乘法计数原理,不同的着色方 法数为n(n-1)(n-2)(n-3). 由题意知n(n-1)(n-2)(n-3)=120,(n2-3n)· (n2-3n+2)-120=0, 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0. 因此n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去). 解得n=5(负值舍去). 6.2 排列与组合 第1课时 排列与排列数 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.理解排列、排列数的定义,掌握排列数公式及推导方法. 2.能用列举法、树形图法表示出一个排列问题的所有的 排列. 3.能用排列数公式解决无限制条件的排列问题. 7
数学 选择性必修 第三册 配人教A版 课前·基础认知 1.排列 2.排列数与排列数公式 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取 排列数 不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 出m个元素的一个排列. 的定义 m个元素的排列数，用符号A表示 (2)根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是： 特别地，把个不同的元素全部取出的一个排 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也 全排列 列，叫做n个元素的一个全排列，用符号A”表示 相同· 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用符号 微判断(1)若两个排列的元素相同，则这两个排列 阶乘 n！表示 是相同的排列. () (2)从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞 (乘积式)A=n(n-1)(n-2)…(n一m+1)(n, 排列数 赛，共有多少种选法属于排列问题。 () m∈N°，且m≤n)）. 公式 (3)有12名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多 (阶乘式)A"= a-m,m∈N,且m≤) n! 少种分组方案属于排列问题 () (4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到 特殊情况A=n!,0!=1 多少个幂属于排列问题： ( 微思考排列与排列数有何区别？ (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到 提示“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n) 多少个点属于排列问题， 个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数：“排列数”是指从 提示(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是 一个数.因此符号A只表示排列数，而不表示具体的排列. 课堂·重难突破 一 排列的概念 学以致用 典例剖析 1.判断下列问题是不是排列问题， (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多 1.判断下列问题是不是排列问题」 少封信？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机 (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几 票的价格（假设来回的票价相同）： 次电话？ (2)选2个小组分别去植树和种菜： (3)选2个小组去种菜： 解(1)是排列问题，A给B写信与B给A写信是不同 (4)选10人组成一个学习小组： 的，存在顺序问题， (5)选3人分别担任班长、学习委员、生活委员. (2)不是排列问题，“通电话”不存在顺序问题，甲与乙通 解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一 了电话，也就是乙与甲通了电话。 样的，不存在顺序问题，不是排列问题」 二 排列的简单应用 (2)植树和种莱是不同的，存在顺序问题，是排列问题」 (3)(4)不存在顺序问题，不是排列问题 典例剖析 (5)每人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不 2.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不 同的，存在顺序问题，是排列问题」 同的数，一共可以组成多少个？ 在上述各题中(2)(5)是排列问题 (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有 规律总结」判新是否为排列问题的方法 排列. 解(1)由题意作“树形图”，如下 交换元素的位置 介个本个 有 结果 有序 有无变化 无序 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32， 34,41,42,43,共有12个. 排列问题 非排列问题 (2)由题意作“树形图”，如下
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 课前·基础认知 1.排列 (1)一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 并按照 一定的顺序 排成一列,叫做从n 个不同元素中取 出m 个元素的一个排列. (2)根据排列的定义,两个排列相同的充要条件是: 两个排 列 的 元 素 完 全 相 同 ,且 元 素 的 排 列 顺 序 也 相同 . 微判断 (1)若两个排列的元素相同,则这两个排列 是相同的排列. ( ) (2)从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞 赛,共有多少种选法属于排列问题. ( ) (3)有12名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多 少种分组方案属于排列问题. ( ) (4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到 多少个幂属于排列问题. ( ) (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标,可以得到 多少个点属于排列问题. ( ) 提示 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ 2.排列数与排列数公式 排列数 的定义 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数 ,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示 全排列 特别地,把n 个不同的元素 全部取出 的一个排 列,叫做n个元素的一个全排列,用符号 A n n 表示 阶乘 正整数1到n的连乘积,叫做n的 阶乘 ,用符号 n! 表示 排列数 公式 (乘积式)A m n = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n, m∈N * ,且m≤n). (阶乘式)A m n = n! (n-m)! (n,m∈N * ,且m≤n) 特殊情况 A n n= n! ,0! = 1 微思考 排列与排列数有何区别? 提示 “排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是 一个数.因此符号A m n 只表示排列数,而不表示具体的排列. 课堂·重难突破 一 排列的概念 典例剖析 1.判断下列问题是不是排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机 票的价格(假设来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜; (3)选2个小组去种菜; (4)选10人组成一个学习小组; (5)选3人分别担任班长、学习委员、生活委员. 解 (1)票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一 样的,不存在顺序问题,不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,是排列问题. (3)(4)不存在顺序问题,不是排列问题. (5)每人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不 同的,存在顺序问题,是排列问题. 在上述各题中(2)(5)是排列问题. 判断是否为排列问题的方法 学以致用 1.判断下列问题是不是排列问题. (1)同宿舍4人,每两人互通一封信,问他们一共写了多 少封信? (2)同宿舍4人,每两人通一次电话,问他们一共通了几 次电话? 解 (1)是排列问题,A给B写信与B给 A 写信是不同 的,存在顺序问题. (2)不是排列问题,“通电话”不存在顺序问题,甲与乙通 了电话,也就是乙与甲通了电话. 二 排列的简单应用 典例剖析 2.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不 同的数,一共可以组成多少个? (2)写出从4个元素a,b,c,d 中任取3个元素的所有 排列. 解 (1)由题意作“树形图”,如下. 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32, 34,41,42,43,共有12个. (2)由题意作“树形图”,如下. 8
第六章 计数原理 2A8+7A8 A小 (1)解 AS-A 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8X7X6X5X4X3×2×1-9×8X7X6X5- 故所有的排列为abc,abd,acb,acdd,adb,adc,bac,ad 8×7×6×5×(8+7) bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac, 8x7X6X5×(24-97=1. dba,dbc,dca,dcb. (n十1)！ n! 规律总结」利用“树形图”法解决简单排列问题的策略 (2)证明A1一A=m十1-m一(n-m1= n! n! 在操作中先将元素按一定顺序排出，以先安排哪个 (n-m)!n十1-m =m· 元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元 n! 素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏， (n十1-m)1=mA0-1, 最后按树形图写出排列. .At-A=mA. 学以致用 规律总结」排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进 2.写出A,B,C,D四名同学站成一排照相，A不站在两 行，应用时需注意：连续正整数的积可以写成某个排列 端的所有可能站法， 数，其中最大的数是排列元素的总个数，而正整数（因式） 解如图： 的个数是所选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般先写出它们的 式子，再提取公因式，最后计算，这样往往会减少运算量 学以致用 故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC, 3.求3A5=4A1中的x. CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB.DBAC, 解原方程3A5=4A1可化为3X8! 4X9! DCAB,共12种. (8-x)1(10-x)1' 3×8! 4×9×8! 三排列数公式的应用 即8-方-10-x)(9-z)8-x 化简，得x2-19x十78=0，解得x1=6,x2=13. 典例剖析 由题意知 女≤8，解得x≤8. x-1≤9， 3.(1)计算： A3+7A 故原方程的解为x=6. AS-A ;(2)求证：A+1-A=mA- 随堂训练 1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算， 3.(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13),x∈N·,x>13 分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题 可表示为( 的运算的种数是( A.A° A.1 B.3 B.A"-a C.2 D.4 C.A”u 答案C D.A”e 解析因为加法运算和乘法运算满足交换律，所以选出两 答案B 个数做加法运算和乘法运算时，结果与两数字位置无关， 解析从(x-3),(x-4),…到(x-13)共(x-3) 故不是排列问题，而减法运算和除法运算与两数字的位置 (x-13)十1=11个数，根据排列数公式知(x-3)(x-4)· 有关，故是排列问题」 (x-5)-(x-12)(x-13)=A18 2.与A。·A不相等的是( ) 4.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成 A.A30 B.81A8 个以b为首的不同的排列，它们分别是 C.10A8 D.A 答案B 12 bac bad ,bae,bca,bcd,bce ,bda,bdc,bde,bea, 解析A。·A?=10×9X8×7!=A。=10A8=A8 bec,bed 81A8=9Ag≠A18,故选B. 解析画出树形图如下： 9
第六章 计数原理 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad, bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac, dba,dbc,dca,dcb. 利用“树形图”法解决简单排列问题的策略 在操作中先将元素按一定顺序排出,以先安排哪个 元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元 素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏, 最后按树形图写出排列. 学以致用 2.写出 A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两 端的所有可能站法. 解 如图: 故所有可能的站法是 BACD,BADC,BCAD,BDAC, CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC, DCAB,共12种. 三 排列数公式的应用 典例剖析 3.(1)计算: 2A 5 8+7A 4 8 A 8 8-A 5 9 ;(2)求证:A m n+1-A m n =mA m-1 n . (1)解 2A 5 8+7A 4 8 A 8 8-A 5 9 = 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 = 8×7×6×5×(8+7) 8×7×6×5×(24-9)=1. (2)证明 ∵A m n+1 -A m n = (n+1)! (n+1-m)! - n! (n-m)! = n! (n-m)! n+1 n+1-m -1 = n! (n-m)! · m n+1-m =m · n! (n+1-m)!=mA m-1 n , ∴A m n+1-A m n =mA m-1 n . 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进 行,应用时需注意:连续正整数的积可以写成某个排列 数,其中最大的数是排列元素的总个数,而正整数(因式) 的个数是所选取元素的个数,这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般先写出它们的 式子,再提取公因式,最后计算,这样往往会减少运算量. 学以致用 3.求3A x 8=4A x-1 9 中的x. 解 原方程3A x 8=4A x-1 9 可化为 3×8! (8-x)!= 4×9! (10-x)! , 即 3×8! (8-x)!= 4×9×8! (10-x)(9-x)(8-x)! , 化简,得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13. 由题意知 x≤8, x-1≤9, 解得x≤8. 故原方程的解为x=6. 随堂训练 1.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算, 分别计算它们的结果,在这些问题中,可以看作排列问题 的运算的种数是( ) A.1 B.3 C.2 D.4 答案 C 解析 因为加法运算和乘法运算满足交换律,所以选出两 个数做加法运算和乘法运算时,结果与两数字位置无关, 故不是排列问题,而减法运算和除法运算与两数字的位置 有关,故是排列问题. 2.与 A 3 10·A 7 7 不相等的是( ) A.A 9 10 B.81A 8 8 C.10A 9 9 D.A 10 10 答案 B 解析 A 3 10·A 7 7 =10×9×8×7! =A 9 10 =10A 9 9 =A 10 10, 81A 8 8=9A 9 9≠A 10 10,故选B. 3.(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13),x∈N* ,x>13 可表示为( ) A.A 10 x-3 B.A 11 x-3 C.A 10 x-13 D.A 11 x-13 答案 B 解析 从(x-3),(x-4),… 到(x-13)共(x-3)- (x-13)+1=11个数,根据排列数公式知(x-3)(x-4)· (x-5)…(x-12)(x-13)=A 11 x-3. 4.从a,b,c,d,e 五个元素中每次取出三个元素,可组成 个以b 为首的不同的排列,它们分别是 . 答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea, bec,bed 解析 画出树形图如下: 9
数学 选择性必修 第三册 配人教A版 c—bao 解析由题意知，m=1,2,3,4,又A=A,故集合P中共 d-bad e-bae 有3个元素. a-bca 6解方程A2+1=140A3. -d-bcd 解根据题意，原方程等价于 e-bce 2x+1≥4， a-bda x≥3， c-bdc e-bde x∈N, (2x+1)·2x·(2.x-1)(2.x-2)=140x(x-1)(x-2), a-bea -bec x≥3， d -bed 即x∈N', 可知共有12个，分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce, (2x+1)(2x-1)=35(x-2), bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 整理得4x2-35x十69=0(x≥3，x∈N°)， 5,若集合P={x|x=A,m∈N},则集合P中共有 个元素 解得x=8(=孕eN,合去) 答案3 课后·训练提升 基础·巩固 答案C 解析不同结果有A=4X3=12个. 1.已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参 5.(多选题)下列各式中与排列数A:不相等的是() 加数学、物理兴趣小组：②从甲、乙、丙三名同学中选出两 n！ 人参加一项活动：③从a,b,c,d中选出3个字母：④从1， A.(m一m+1)刀 2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其 B.n(n-1)(n-2)…(n-m) 中是排列问题的有() A1个 B.2个 c C.3个 D.4个 D.A!A 答案B 答案ABC 解析由排列的定义知①④是排列问题. 2.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种 解析周为A一”两A=X急二兰 (n-m)! 数为( n！ A.6 B.4 C.8 D.10 Oa=m所以AA=A.故选ABC 答案B (满足不等式 >12的n的最小值为」 解析列树形图如下： 答案10 乙 n 甲丙 解析由题意 4 _(n-7)_(n-5)4 丙甲 n！ n-7>12,得(n-5). 故组成的排列为乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 (m-5)川 4种. (n-6)>12 3.4×5X6×…×(n-1)×n等于() 解得n>9或n<2,又n≥5，n≥7，因此最小正整数n A.A B.A 的值为10. C.(n-4)! D.A-3 7.某车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1 答案D 馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为一 解析4×5X6×…×(n-1)×n中共有n-4十1=n-3个 答案60 因式，最大数为n,最小数为4，故4×5X6×…×(n一1)× 解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排 n=A-3 列问题，故安排方法有A=5×4×3=60种， 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结 8.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共 果有() 有」 种方法。 A.6个 B.10个 答案20 C.12个 D.16个 解析由排列数定义知，共有A=5×4=20种. 10
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 可知共有12个,分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce, bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 5.若集合 P = {x|x=A m 4 ,m ∈N* },则集合 P 中共有 个元素. 答案 3 解析 由题意知,m=1,2,3,4,又 A 3 4=A 4 4,故集合P 中共 有3个元素. 6.解方程 A 4 2x+1=140A 3 x. 解 根据题意,原方程等价于 2x+1≥4, x≥3, x∈N * , (2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2), 即 x≥3, x∈N* , (2x+1)(2x-1)=35(x-2), 整理得4x2-35x+69=0(x≥3,x∈N* ), 解得x=3x= 23 4 ∉N* ,舍去 . 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参 加数学、物理兴趣小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两 人参加一项活动;③从a,b,c,d 中选出3个字母;④从1, 2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其 中是排列问题的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B 解析 由排列的定义知①④是排列问题. 2.甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种 数为( ) A.6 B.4 C.8 D.10 答案 B 解析 列树形图如下: 故组成的排列为乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共 4种. 3.4×5×6×…×(n-1)×n等于( ) A.A 4 n B.A n-4 n C.(n-4)! D.A n-3 n 答案 D 解析 4×5×6×…×(n-1)×n中共有n-4+1=n-3个 因式,最大数为n,最小数为4,故4×5×6×…×(n-1)× n=A n-3 n . 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的不同结 果有( ) A.6个 B.10个 C.12个 D.16个 答案 C 解析 不同结果有 A 2 4=4×3=12个. 5.(多选题)下列各式中与排列数 A m n 不相等的是( ) A. n! (n-m+1)! B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. nA m n-1 n-m+1 D.A 1 nA m-1 n-1 答案 ABC 解析 因为 A m n = n! (n-m)! ,而 A 1 nA m-1 n-1 =n× (n-1)! (n-m)!= n! (n-m)! ,所以 A 1 nA m-1 n-1=A m n .故选 ABC. 6.满足不等式 A 7 n A 5 n >12的n的最小值为 . 答案 10 解析 由题意知 A 7 n A 5 n = n! (n-7)! n! (n-5)! = (n-5)! (n-7)!>12,得(n-5)· (n-6)>12, 解得n>9或n<2,又n≥5,n≥7,因此最小正整数n 的值为10. 7.某车展期间,某调研机构准备从5人中选3人去调查 E1 馆、E3馆、E4馆的参观人数,不同的安排方法种数为 . 答案 60 解析 由题意可知,问题为从5个元素中选3个元素的排 列问题,故安排方法有 A 3 5=5×4×3=60种. 8.从5本不同的书中选出2本送给2名同学,每人一本,共 有 种方法. 答案 20 解析 由排列数定义知,共有 A 2 5=5×4=20种. 10