东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第六章 鞅和鞅表示

性质5 {Xn}上鞅 E(XmY0,…,Yn)≤Xn m>0.n>0m>n {Xn}下鞅 E(Xn|Y02…,Vn)≥Xn m>0.n>0m>n 证明 同定理1类似。用数学归纳法 首页

性质5 {Xn } 上鞅 E X m Y Yn  Xn ( | , , ) 0  m  0, n  0 m n {Xn } 下鞅 E X m Y Yn  Xn ( | , , ) 0  m  0, n  0 m n 证明 同定理1类似。用数学归纳法 首页

性质6 EX≥EX,≥EX {Xn}上鞅 0≤k<n EX<EX <EX {Xn}下鞅 0≤k<n 证由性质5得 {Xn}上鞅 E(Xn|Y0,…,Yk)≤Xk E=EE(Xn1|10,…,K)≤EX 首页

性质6 {Xn } 上鞅 {Xn } 下鞅 EX0  EXk  EXn 0  k  n 0  k  n 证 由性质5得 E Xn Y Yk  Xk ( | , , ) {Xn } 上鞅 0  E E Xn Y Yk  EXk [ ( | , , )] EXn = 0  EX0  EXk  EXn 首页

性质7 (Xn}、{Yn}上鞅 {Xn+Yn}鞅 Xn}、{n}下鞅 {Xn+Yn下鞅 证 对m>n有 EI(Xm+Ym)|Y02…,Yn) =E(Xm|Y02…,Yn)+E(YmY0,…,Yn) {Xn}{列}上驶>SAn+y 首页

上鞅 性质7 {Xn } 、 {Yn } 上鞅 {Xn +Yn } {Xn } 、 {Yn } 下鞅 {Xn +Yn } 下鞅 证 对m  n 有 [( )| , , )] E X m +Ym Y0  Yn ( | , , ) = E X m Y0  Yn ( | , , ) + E Ym Y0  Yn {Xn } {Yn } 上鞅  Xn +Yn 首页

性质8 {Xn}上鞅 {Xn-Yn}上鞅 {Yn}下鞅 {Xn}下鞅 {Xn-n}下鞅 {Yn}上鞅 证由性质4及性质7立即可得结果 首页

上鞅 性质8 上鞅 下鞅 {Xn } {Yn } 证 { } Xn −Yn 下鞅 下鞅 上鞅 {Xn } {Yn } { } Xn −Yn 由性质4及性质7立即可得结果 首页

性质9 X}映□xB下映 证明对m>n有 E(Xm‖Yo,…,n) E(Xm|o,…,n)=Xn 例3 设n,n=02…}是在直线上整数点上的贝 努利随机游动,即它是一个以Ⅰ={0,±1,±2,…} 为状态空间的时齐的马尔可夫链,它的转移矩阵 P=(pn)满足 首页

性质9 {Xn } 鞅 下鞅 证明 {| |} Xn 对m  n 有 (| || , , ) E X m Y0  Yn | ( | , , )|  E X m Y0  Yn | | = Xn 例3 设{ ， }是在直线上整数点上的贝 努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足 Xn n = 0,1,2,  I ={0,1,2, } ( ) P = pij 首页