性质1常数序列{Cn}为鞅。其中Cn=C 证E(cnY02…,n)=E(c|Y2,…,Yn)=c=cn 性质2若{Xn}为鞅,则对任意n≥0,有 EXn=EXO 即X的数学期望EX是一常数EX 证 EXn+=ELE(Xn+Yo,,Ym=EX 依次递推,可得 EXn=EXn1=…=EX0首页
性质1 常数序列 为鞅。 证 性质2 即 证 { }n c 其中c c n = ( | , , ) n 1 Y0 Yn E c + ( | , , ) Y0 Yn = E c n = c = c 若{ } Xn 为鞅，则对任意n 0 ，有 EXn = EX0 Xn 的数学期望EXn 是一常数EX0 [ ( | , , )] EXn+1 = E E Xn+1 Y0 Yn = EXn 依次递推，可得 EXn = EXn−1 == EX0 首页
首页 例1设{xn}(n=0.12,…)为独立随机序列, Y0=0且对任意n≥0有E=0 令Xn=∑K则{Xn}关于{Xn}是鞅 k=0 证由条件期望的性质可得 E|Xnk∑EVk∞ 且E(Xn+1Y02…,n)=EI(Xn+Ym1)|,…, E(Xn|Y…Yn)+E(Yn+1|Y6,…,n) Xn+ EnmI= X 所以{Xn}关于{n}是鞅
例1 令 且对任意 有 证 由条件期望的性质可得 设{ } Yn （n = 0,1,2, ）为独立随机序列， 0 Y0 = k n k Xn Y = = 0 E(Xn+1 |Y0 , ,Yn ) = [( )| , , ] E Xn +Yn+1 Y0 Yn ( | , , ) = E Xn Y0 Yn ( | , , ) + E Yn+1 Y0 Yn = Xn + EYn+1 = Xn n 0 EYn = 0 则{ } Xn 关于{ } Yn 是鞅 = | | | | 0 k n k E Xn E Y 且 所以 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅 首页
例2设{x}是任一随机序列,X为满足E|XkO的任一随机变量 令X=E(X 0 n)n≥0 n 首页 则{X}关于{Xn}是鞅 证 E|Xn=E|E(X|Y…,Vn) ≤E[E(X‖12…,V)=E|Xk<∞o (2)E(X n+1 0 Yn) EE(X|Y0,…,n+1)Y02…,n E[E(X|Y02…,Vn)|10 1n+1 E(X|Y02…,Vn)=Xn 所以{Xn}关于{Yn}是鞅
例 2 令 证 （ 1 ） 设{ } Yn 是任一随机序列， X 为满足 E | X | 的任一随机变量 ( | , , ) Xn = E X Y0 Yn n 0 则{ } Xn 关于{ } Yn 是鞅 | | | ( | , , )| E Xn = E E X Y0 Yn [ (| || , , )] E E X Y0 Yn = E | X | （ 2 ） ( | , , ) E Xn + 1 Y0 Yn [ ( | , , )| , , ] = E E X Y0 Yn+1 Y0 Yn ( | , , ) = E X Y0 Yn = Xn 所以 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅。 [ ( | , , )| , , ] = E E X Y0 Yn Y0 Yn+1 首页
二、 、上、下鞅的定义及性质 定义3设{Xn}及{n},n=0.1.2,…,为两个随机序列, 对任意n≥0,有 (1)E|Xnk∞ 首页 (2)Xn是1…,Vn的函数 (3)E(Xn1|12…,yn)≤Xn 则称{Xn}关于{Yn}为上鞅简称{Xn}为上鞅 类似下鞅 E(Xn+1|1,…,Vn)≥Xn
定义3 对任意n 0，有 （1） E | Xn | （2） 简称 为上鞅 设{ } Xn 及{ } Yn ，n = 0,1,2, ，为两个随机序列， Xn 是Y0 ，，Yn 的函数； （3） { } Xn 二、上、下鞅的定义及性质 E Xn+ Y Yn Xn ( | , , ) 1 0 则称{ } Xn 关于{ } Yn 为上鞅 类似 下鞅 E Xn+ Y Yn Xn ( | , , ) 1 0 首页
关于上、下鞅的的直观解释: 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本, 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博; 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本, 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3{X为鞅的充分必要条件是{Xn}既为上鞅 也为下鞅。 性质4{X}上被〉(x}下映 {Xn}下鞅 Xn}上鞅 首页
关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅 也为下鞅。 性质4 上鞅 { } Xn { } Xn { } Xn {−Xn } 下鞅 {Xn } 下鞅 {−Xn } 上鞅 首页