pi,J=I+ Pi=qi, J 0,|j-i}1 其中p1=p,q1=q,0<p<1,P+q=1 则 (1){Xn,n=01,2,…}是下鞅的充要条件是p≥q (2){Xn,n=0,1,2,…}是上鞅的充要条件是p≤q 3){Xn,n=0,1,2,…}是鞅的充要条件是p=q 首页
其中则（ 1 ） − = − = + = 0 , | | 1 , 1 , 1 j i q j i p j i p ii ij pi p ，qi q ，0 p 1， p + q =1 { Xn ，n = 0,1,2,}是下鞅的充要条件是p q （ 2 ） （ 3 ） { Xn ，n = 0,1,2,}是上鞅的充要条件是p q { Xn ，n = 0,1,2,}是鞅的充要条件是p = q 首页
证设Xn=X0+51+52+…+2n 其中X表示初始位置{n}与X独立 {5n,n=0,1,2,…}相互独立,且具有同分布: P(Sn=D=p P(,=-1)=g n21 由X的定义知,5m与{0,X1,…,Xn}独立 所以E(Xn+1X n-15 2X0) =E(5mH1|Xn,Xn1…,X0)+E(XnXn,Xn12…,X0) -E()+Xn=p-q+Xn70 下鞅 故E( XmlXnXn-j,…2x)-Xn=p-g0□上鞅 =0 首页 鞅
证 设 其中 所以 故 Xn = X0 + 1 + 2 + + n X0 表示初始位置 { n }与X0 独立 { n ，n = 0,1,2,}相互独立，且具有同分布： P( n = 1 ) = p P ( n = − 1 ) = q n 1 由 Xn 的定义知， n+1 与{X0 ，X1 ，…， Xn }独立 ( | , , , ) E Xn + 1 Xn Xn − 1 X0 ( | , , , ) = E n + 1 Xn Xn − 1 X0 ( | , , , ) + E Xn Xn Xn − 1 X0 ( ) = E n + 1 + X n = p − q + X n ( | , , , ) E Xn+1 Xn Xn−1 X0 − Xn = p − q >0 下鞅 <0 =0 上鞅 首页 鞅
、停时 定义5设{n}(n=0,1,2,…)是一随机序列, τ是取值0,1,…,∞的一个随机变量, 若对任意n≥0,事件{x=n}由…,Hn决定, 意即只从Y0…,Yn的知识判别z=n与否,也即 T=n 05 Yn) 则称r关于{Yn}为停时,简称T为停时 首页
三、停时 定义5 设{ } Yn （n = 0,1,2, ）是一随机序列， 是取值 0，1，…，的一个随机变量， 若对任意n 0， 事件{ = n}由Y Yn , , 0 决定， 意即只从Y Yn , , 0 的知识判别 = n 与否， 也即 ( , , ) { =n} = { =n} Y0 Yn 则称 关于{ } Yn 为停时， 简称 为停时 首页
停时的直观背景解释: 首页 设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为Y 那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略 停时的性质表示{z=n}这一事件只依赖于n时刻以 前(包括n时刻)的赌本,而与将来的赌本n+12 无关,即赌徒在时刻n是否停止赌博,只依赖于他过 去的经历,而与尚未见到的将来情况无关。 定理2设τ是取值0,1,…,∞的一个随机变量, n}是随机序列≥0 下列命题等价:
停时的直观背景解释： 设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为 ， 那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。 停时的性质表示 这一事件只依赖于n时刻以 前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本 无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过 去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。 Y Yn , , 0 { = n} Yn+1 , 定理2 设 是取值 0，1，…，的一个随机变量， { } Yn 是随机序列 下列命题等价： n 0 首页
(1)关于{Yn}为停时 I t<n (2)x(xsm=x(5n(∴…,H)= 0其它 7>n (3)x {z>n} x Y02…,Yn)= {r>n}(10 0其它 证明 (1)与(2)的等价性 方面x1=n=∑x1=m=∑x1=m(x0,,Ym) m=0 另一方面x=n}=x(csn-x(r5nn 首页
（1） （2） （3） 关于{ } Yn 为停时 = = 0 其它 1 ( , , ) { } { } 0 n n n Y Yn = = 0 其它 1 ( , , ) { } { } 0 n n n Y Yn 证明 （1）与（2）的等价性 一方面 ( , , ) { } 0 0 { } 0 { } m m n m m n m n = Y Y = = = = = 另一方面 { =n} = { n} − { n−1} 首页