3.3闭环系统的稳定性系统能否工作及工作状态如何？1、能够工作：稳定性（稳）2、反应能力：动态特性（快）3、工作效果：稳态特性 (准）禾
3.3 闭环系统的稳定性 系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准)
3.3闭环系统的稳定性3.3.1稳定性的概念和定义1.系统稳定性一般概念可表述为假设某一有界外部干扰输入瞬间作用于一个处于平衡状态的系统，并且导致其偏离平衡状态。若在瞬间干扰消失后系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则，称该系统是不稳定的。2.定义3-1（稳定的动态系统定义）在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。3.定义3-2（数学上严格的有界输入-有界输出稳定性定义）输入：rt)，Jrt)<N(tz0)输出: y(t), [v(t)≤J+/g(t)r(t-t)]dt≤NJ+0g(t)dt≤M,t≥0 (3-13)
1.系统稳定性一般概念可表述为 假设某一有界外部干扰输入瞬间作用于一个处于平衡状态 的系统，并且导致其偏离平衡状态。若在瞬间干扰消失后， 系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的， 否则，称该系统是不稳定的。 2.定义3-1（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考输入 或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。 3.定义3-2（数学上严格的有界输入-有界输出稳定性定义） 输入：r(t)，|r(t)|N (t0) 输出：y(t), 3.3 闭环系统的稳定性 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 (3 -13) 0 0 − + + y t g r t d N g d M t 3.3.1 稳定性的概念和定义
3.3闭环系统的稳定性3.3.2闭环传递函数的极点与系统的稳定性闭环传递函数的一般形式为：K.II((s+z,)N(s)i=lT(s) =(3-14)n,+(n-n/2n△(s)立II(s+o, - jo,)(s+o, + jo,)(s + p.)1-1[=n,+1其中，单实极点个数n1，共轭极点对（n-n1）/2共轭极点对1、稳定充要条件的推导对于闭环系统在（t）作用下的输出响应，若（t）有界若要求y(t）也有界，根据[y(t)| = [t~ g(t)r(t -t)dt ≤Jt° g(t)r(t-t)ldt ≤NJtg(t)ldt ≤ M,t≥ 0则要求t>8o时，g（t）趋近于0。从g（t）入手分析系统稳定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系
3.3 闭环系统的稳定性 ( ) (3 -14) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 + − = = + = + + − + + + = = n n n l n l l l l n l l m i g i s p s j s j K s z s N s T s 其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2 若要求 也有界，根据 对于闭环系统在 作用下的输出响应，若 有界， ( ) ( ) ( ) y t r t r t 则要求t→时，|g()|趋近于0。从g(t)入手分析系统稳 定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 0 = − − + + + y t g r t d g r t d N g d M t 1、稳定充要条件的推导 闭环传递函数的一般形式为： 共轭极 点对 3.3.2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性
3.3闭环系统的稳定性g(t)的表达式: g(t) = L"[T(s)]= Res[T(s)e"]-ZRes[T(s),- p,]情况1：对T(s)的单实数极点-p，记A(s)=(s+p)p(s),满足p(-p)0A(s)l,=-n = [g(s)+(s+ p)p'(s)l=-p ± 0± (3 -15)Q(-p)= N(-p)/A(-p)为不为零的常数N(s)Res[T(s), - p]=3= Q(-p)e-pt(3-16)△'(s)S-记A(s) = (s + p)*β(s), 满足β(-p) ± 0情况2：对T(s)的k重极点-Pdk-N(s)Res[T(s), - p]=(s+p)lin采用罗必塔（L'Hospital）法则可证明(k-1)! s--p dsk-1△(s)P(-p,t)(k-1)!rk-i(-p)(3-18)limlimeptdk-1pk-leptt-→oot→0oN(s)其中P(-p,t)=2r(-p)r(k-1)!ds(s)是关于的k-1次多项式P(-p, t)e-pt(3-17)(k-1)!当Re(-p)<0时，有limP(-p,t)e-pt→0
3.3 闭环系统的稳定性 ( ) (3 -16) ( ) ( ) Res ( ), p t s p s t e Q p e s N s T s p − =− = − − = = = =− − = = = − n i i n i s t s p g t L T s T(s)e T s p i 1 1 1 ( ) ( ) Res Res ( ), 情况1：对T(s)的单实数极点-p， 情况2：对T(s)的k重极点-p， ( ) = ( ) + ( + ) ( ) 0 (3 -15) s=− p s=− p s s s p s 记(s) = (s + p)(s),满足(− p) 0 (s) = (s + p) (s), (− p) 0 k 记 满足 ( , ) (3 -17) ( 1)! 1 ( ) ( ) lim ( 1)! 1 ( ) ( ) lim ( ) ( 1)! 1 Res ( ), 1 1 1 1 p t s t k k s p k s t k k s p P p t e k e s N s ds d k e s N s s p ds d k T s p − − − →− − − →− − − = − = + − − = g(t)的表达式： 为不为零的常数 Q(− p) = N(− p) (− p) 是关于 的 次多项式 其 中 采用罗必塔（ ）法则可证明： 1 ( , ) ( ) (3 18) ( 1)! ( ) lim ( , ) lim L'Hospital 1 0 1 1 − − = − − − − = − − = − − → → t k P p t r p t p e k r p e P p t k i i i k pt k t pt t Re(− ) 0 , lim (− , ) → 0. − → pt t 当 p 时 有 P p t e
3.3闭环系统的稳定性情况3：对于T(s)的共轭复数极点，一p,=-+jの,一p,=-αjZRes[T(s), - p)]ej =cosz+ jsinz-l= e-[0(-P,)eja +Q(-p2)e-ja ]= e-a[α(- p,)(cos at + jsin ot) + Q(- p, )(cos at - jsin ot)]= e-a [(2(-pl) + Q(- P2 ) cos aot + j(Q(-p,) - Q(-p2 ) sin at]= /4Q(-p,)Q(-p,)e-" (cos ot sin β+ sin aot cos β)Q(-P:) +Q(-P2)= /4Q(-p,)Q(-P2)e-" sin(ot+ β) (3-19)j(Q(-Pr)-Q(-P2))Q(-p) +Q(- p2)β=arctan4Q(-P1)Q(-P2)[Q(-p,)-Q(-p2)]均为实数(3-20)[Q(-p,) +Q(-p,)) [j(Q(-p) +Q(-p,)P:14Q(-p:)Q(-P2)4Q(-P:)Q(-P2)ni+(n-n,)/2综上得到：g(t)=亡A,e-Pt +ZB,e-ot sin(w,t+β,), t≥0 (3-21)[=n;+1
3.3 闭环系统的稳定性 情况3：对于T(s)的共轭复数极点， , − p1 = − + j − p2 = − − j 4 ( ) ( ) sin( ) (3 -19) 4 ( ) ( ) (cos sin sin cos ) ( ( ) ( ))cos ( ( ) ( ))sin ( )(cos sin ) ( )(cos sin ) ( ) ( ) Res ( ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = − − + = − − + = − + − + − − − = − + + − − = − + − − − − − − − − = Q p Q p e t Q p Q p e t t e Q p Q p t j Q p Q p t e Q p t j t Q p t j t e Q p e Q p e T s p t t t t t j t j t l l (3 - 20) 1 4 ( ) ( ) [ ( ( ) ( ))] 4 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) arctan 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = − − − + − + − − − + − − − − − + − = Q p Q p j Q p Q p Q p Q p Q p Q p j Q p Q p Q p Q p ( ) ( ) sin( ), 0 (3 - 21) 2 1 1 1 1 1 1 = + + + − = + − = − g t A e B e t t n n n l n l l t l n l p t l l l 综上得到： e z j z jz = cos + sin ( ) ( ) Q − p1 + Q − p2 ( ( ) ( )) Q p1 Q p2 j − − − 4 ( ) ( ) Q − p1 Q − p2 均为实数