44.求证 a-n (n=1,2,…) 无界,但当n→∞时,它并不成为无穷大 2k,当n=2k,为自然数, 证因为xn=n1 2k+1 当n=2k+1 所以, x2→∞x,x2k1→0(k→*) 由于x2→∞,故x无界;但因x2+1→0,故xn并不趋于无 穷大 45.用不等式表示下列各式: (a)limx=oo;(6)limx,=-ooi (Limas=+oo 解(a)对于任给的正数E,存在有自然数N=N(E),使 当n>N时, E 此即lixn=∞, (6)对于任给的正数E,存在有自然数N=N(E),使 当n>N时,x<-E 此即 limx=-∞, B)对于任给的正数E,存在有自然数N=N(E),使 当n>N时,x>E, 此即 limr=+ 设n跑过自然数列,求下列各式之值: 46.li 10000n 解li 10000n 10000 1m In 0. 1 32
47.lim(√n+1 解lim(n+1-√n) =lmn(ym+i-√n)(yn+1+√n) √n+1+√n 0 n+1+√n 48. limYn'sinn! n+1 解因为sin!有界:sin!|≤1及 +1 0(n 所以, nn 1 n+1 49. lim (-2)”+3 欢(-2)+1+3”+1 解N(一2)m+3=m3 2)+37 +】 50.in1+a+a2++a 对-1+b+b2+…+b (|a|<1,b<1) n11 解lim 1+ 1 m1十b+b2+…十bm1一b”+1 5].liml2+2+…+ 解lim(+2+…+n 33
n 52. lirm 1_2 7 解当n=2k时(k为自然数) 1_2 (-1)-1n 2+ 2k一k 2k2k 当n=2k+1, 1_23 3 2k十 2+1-2k+1+2+1+2k+1 k+11 2+12 由于取不同方式时,所得的极限值不同,所以,极限 123 一…+ (-1) 不存在 53lim3+3+… 解lim+2+…+ (n-1)n(2n-1) lim →∞L7 6 54. lim 解设f(n)=5++…×(打一1 艺 ,由53题 (2n-1) 即得lm+2+…+ imn[8f(2n)-4f(n)]= 34
十。2+a+… 2n-1 解设/(n)=1+3+5+…+2n-1, g(n)=1+b+…十 则有2f(n+1)-g(n)=f(n)+1, 又由2f(n+1)-f(n)=f(n)+1B(n)+1, 故f(n)=g(n)+1 2n十1 而imCg(n)+1]=3及m2+1=0,故得 lim 2t22 2 2n +… )参看58题 56. lim 1·212 n(n+1) 解 1·2 11 1 相加之,得1X2…+…+n(n+1) n+1 故lin L1·22·3 …十 n(n十1) 十 35
57lim(√2·√2·%2…2) 解由于√2·√2·y2…v2 (是+“2) -( 故lim(√2·y2·y2…v2) lim 2 2. 证明下列等式: 58. lim n=0 2 n(n-1) 证因为2”=(1+1)”=1+n++…+1 n(n-1) (n>2), 2 故 2 0<< 又因为lin 0,所以 59.lim,=0 证因为0< 2.2…2≤4及lim4=0,所以 Him 2 0 60.1 证令a=1+k(>0), 36