适合 IL+C 则称数(或符号∞)为已知数列an(n=1,2,…)的聚点 切有界的叙列至少有一个有夯的聚点〔波尔查诺外尔斯特 拉斯原理).若这个聚点是唯一的,则它即为已知叙列的有穷极限 叙列xn的最小聚点(有穷的或无穷的) lim c 称为下极限,而它的最大聚点 lima 称为此叙列的上极限 等式 imx。= limx 为叙列xn的(有穷或无夯)极限存在的必要而且充分的条件, 41.设 n=1,2 证明 limrn =1, 即:对于任一个给定的e>0,求数N=N(E) 使得 在n>N时,|xn-1|<E. 填下表 0.1 0.010.0010.0001 证 1 任给E>0,要|xn-1|<ε.只 27
要 即只要n>1-1.可取 N=N(e)=(1 则当n>N时,xn-1|<E.所以, limr=1 0.1 0.010.0010.00c1 10 100 1000 10000 42.假若 (a)a (-t)1 (d) n (B) ;(r)xn=(-1)”·0.999° 对于任何的E>0,求出数N=N(e),使 当n>N时,xn<e; 即证明x(n=1,2,…)为无穷小(就是说,有极限值为 0) 对应着上面四种情形,填下表: 0.10.010.001 N 证(a)|x,l=1.任给c>0,要lx,|<E,只要 28
<E 即只要n>取N=(),则当n>N时,x,|< 所以 lir (0)|xn +1 2任给E>0,要|xn}<e,只 要 即只要n 取 则当n>N时,|z< E,所以, n!2—1·在给>0,要|x,<e,只要 即只要n>1+1og2,取 N= lo 2 则当n>N时,x<e所以, limx=0 (r)|xn=0.999.任给E>0,要|x.<6,只要 ngo. 999 <lgE. 由于lg0999<0,故只要n gE g0.999 ≈2500g
取 N=[2500g 则当n>N时,|x,<E,所以 填下表: 0.1 0.01 0.001 (a)N 10 100 1000 14 44 7 10 (r) N 2500 5000 7500 )或取N≥1.以下各题类似,不再一一说明 兼#)查四位数学用表所得的数据 43.证明叙列 (a)xn=(-1)”n,(6)x=2,(n)xn=lg(lgn)(n≥2) 当n→∞时,有无夯极限(即成为无穷大),即: 对任意的E>0,求数N=N(E),使 当n>N时,xn|>E 对应着上面的每一种情形,填下表: E 10 100 100010000 30
证(a) 任给E>0,要 E,只要 E 取N=(E],则当n>N时,|x,>E,所以 i 6)|xn|=2,任给E>0,要xn|>E,只要2 >>E IgE 即只要 Ig2 取 IgE Ig2 则当 时,|xn|>E,所以 lim. 当n>10时,1gn>1及lg(lg 任给E>0,要|xn>E,只要 Ig(lgn)>E 即只要n>10,取 则当n>N时,|xn|>E,所以, limr=∞ H*a 填下表: E 10 i00 1000 Ka)N 10 100 1000 10000 (6 11 176 ()N19100)10 31