教案第十一章稳恒磁场 第十一章稳恒磁场Steady Magnetic Field s1磁场、磁感应强度Magnetic Field,Magnetic Induction 人类发现磁现象要比发现电现象早得多，这是因为自然界中有很多磁现象，如磁石 (©；O4)能够吸引铁屑的现象等等。利用地磁的存在制造的指南针在11世纪初就已经在我 国的航海上有了应用。自然界这些磁现象的发现和应用，激励着人们去进一步探索其内 在的规律，挖掘新的应用价值。 我们知道，静止的电荷之间有相互作用，而这相互作用是通过电场来传递的。那么 电流之间，也就是运动的电荷之间有无相互作用呢？如果存在相互作用，它是靠什么来 传递的呢？实验发现，电流之间的相互作用是由磁场来传递的。磁场是一种物质，并且 对在磁场中的运动电荷有作用力。 根据运动电荷在磁场中的实验，可以观察到以下实验现象： 1作用于运动电荷上的磁力F,其方向与运动电荷的速度垂直。即F⊥下。 2作用力与电荷电量q和运动速率v成正比，即F文q:FcV: 3作用力的大小与速度下与磁感应强度B的夹角有关，当B∥下时，F=0:当 B⊥下时，F最大。 根据以上实验结果，定义磁感应强度B的大小和方向如下： 1方向：正电荷的运动方向与磁场中磁针N相指向相同时，磁力为零，规定这个方 向为磁感应强度B的方向。 2大小：当正电荷在磁场中某点的速度下与B垂直时，它所受的磁力F最大，规定 该点磁感应强度大小为： B=F qv B的国际单位为：特斯拉(T 根据前面的实验现象可知，磁力F既与B垂直，也与下垂直，且构成右手螺旋关系
教案 第十一章 稳恒磁场 180 第十一章 稳恒磁场 Steady Magnetic Field §1 磁场、磁感应强度 Magnetic Field, Magnetic Induction 人类发现磁现象要比发现电现象早得多，这是因为自然界中有很多磁现象，如磁石 (Fe3O4)能够吸引铁屑的现象等等。利用地磁的存在制造的指南针在 11 世纪初就已经在我 国的航海上有了应用。自然界这些磁现象的发现和应用，激励着人们去进一步探索其内 在的规律，挖掘新的应用价值。 我们知道，静止的电荷之间有相互作用，而这相互作用是通过电场来传递的。那么 电流之间，也就是运动的电荷之间有无相互作用呢？如果存在相互作用，它是靠什么来 传递的呢？实验发现，电流之间的相互作用是由磁场来传递的。磁场是一种物质，并且 对在磁场中的运动电荷有作用力。 根据运动电荷在磁场中的实验，可以观察到以下实验现象： 1 作用于运动电荷上的磁力 F，其方向与运动电荷的速度垂直。即 F v ⊥ 。 2 作用力与电荷电量 q 和运动速率 v 成正比，即 F q ； F v ； 3 作用力的大小与速度 v 与磁感应强度 B 的夹角有关，当 B v // 时， F = 0 ；当 B v ⊥ 时， F 最大。 根据以上实验结果，定义磁感应强度 B 的大小和方向如下： 1 方向：正电荷的运动方向与磁场中磁针 N 相指向相同时，磁力为零，规定这个方 向为磁感应强度 B 的方向。 2 大小：当正电荷在磁场中某点的速度 v 与 B 垂直时，它所受的磁力 F⊥最大，规定 该点磁感应强度大小为： qv F B ⊥ = B 的国际单位为：特斯拉(T) 根据前面的实验现象可知，磁力 F 既与 B 垂直，也与 v 垂直，且构成右手螺旋关系
教案第十一章稳恒磁场 它们之间的矢量关系可写成 F=qvxB 像电场中一样，磁场也分为均匀磁场和非均匀磁场。 说明：磁感强度B也可由实验线圈在磁场中所受的磁矩来规定。 B=M达，其中Pm为实验线圈的磁矩。M为实验线圈所受到的最大磁力矩，B 的方向为线圈处于平衡位置时线圈磁矩的方向。 下面给出自然界中磁场大小的近似值。 人体磁场：1012T 地球两极附近：6×10T 大型电磁铁：1-2T 超导电磁铁：5-40T 因为特斯近这个单位太大，人们还习惯于用高斯单位制中的高斯来表示，其关系如 1特斯拉(T①=10高斯(G) §2毕奥一萨伐尔定律Biot-savart law 毕奥一萨伐尔定律是一条实验定律。根据毕奥和萨伐尔两人的实验结果，拉普拉斯 从数学上推出了其数学表达式，故此定律又称毕奥一萨伐尔一拉普 拉斯定律。它从数学上给出了一个电流元d在空间下处产生的磁 感应强度dB为： dB=Ho ldlx 4π 根据迭加原理，一个任意载流导线在场点严处产生的 磁感应强度为： -时绘 B 下面根据毕奥一萨伐尔定律求个典型电流的磁场。 181
教案 第十一章 稳恒磁场 181 它们之间的矢量关系可写成 F qv B = 像电场中一样，磁场也分为均匀磁场和非均匀磁场。 说明：磁感强度 B 也可由实验线圈在磁场中所受的磁矩来规定。 Pm M B 最大 = ，其中 Pm 为实验线圈的磁矩。M 最大为实验线圈所受到的最大磁力矩， B 的方向为线圈处于平衡位置时线圈磁矩的方向。 下面给出自然界中磁场大小的近似值。 人体磁场：10-12T 地球两极附近：610-5T 大型电磁铁：1-2T 超导电磁铁：5-40T 因为特斯近这个单位太大，人们还习惯于用高斯单位制中的高斯来表示，其关系如 下： 1 特斯拉(T)=104 高斯(G) §2 毕奥－萨伐尔定律 Biot-savart law 毕奥－萨伐尔定律是一条实验定律。根据毕奥和萨伐尔两人的实验结果，拉普拉斯 从数学上推出了其数学表达式，故此定律又称毕奥－萨伐尔－拉普 拉斯定律。它从数学上给出了一个电流元 Idl 在空间 r 处产生的磁 感应强度 dB 为： 3 0 4 r Idl r dB = 根据迭加原理，一个任意载流导线在场点 r 处产生的 磁感应强度为： 3 0 4 r Idl r B dB = = 下面根据毕奥－萨伐尔定律求 n 个典型电流的磁场。 dB Idl r P I Idl r O P B a
教案第十一章稳恒磁场 载流长直导线的磁场： 设图中P点到长直导线的垂直距离为a,取电流元Id,则电流元在P点产生的感应 强度为： dB=to ldisin ；方向如图 4n r2 BHoldlsin 4πJr2 积分上式即可求得B。 根据图中几何关系有： sBncos:I=a y=-a 故有：dl=a ”c03后代入积分表达式中可得 dB B=Holf cadp 装nA-广m a2 结4-m (1) 注意：图中B1、B2是如何取值的，角的取法不同，表达式是不一样的，这点要特别 注意，若按下图来取角度，则表达式为： B=sg-aa）a 讨论：若导线为无限长载流直导线，在()式中有： A=月 A=受：B= 2πa 在2)试中，8=0,8，=π：B= 2πa
教案 第十一章 稳恒磁场 182 载流长直导线的磁场： 设图中 P 点到长直导线的垂直距离为 a，取电流元 Idl ，则电流元在 P 点产生的感应 强度为： 2 0 sin 4 r Idl dB = ；方向如图 = 2 0 sin 4 r I dl B 积分上式即可求得 B。 根据图中几何关系有： cos = sin = cos ； l = tg 故有： 2 cos d dl = 代入积分表达式中可得 ( ) 2 1 0 0 2 2 2 0 sin sin 4 cos 4 cos cos 4 cos 2 1 2 1 = − = = I d I d I B (1) 注意：图中1、2 是如何取值的，角的取法不同，表达式是不一样的，这点要特别 注意，若按下图来取角度，则表达式为： ( ) 1 2 0 cos cos 4 = − I B (2) 讨论：若导线为无限长载流直导线，在(1)式中有： 2 1 = − 2 2 = ； 2 0 I B = 在(2)式中， 1 = 0 ， 2 = ； 2 0 I B = I Idl r O P a
教案第十一章稳恒磁场 即无限长载流直导线的B是在同一圆周上大小相等的，方向沿切线方向。 圆形载流导线的磁场 在圆周上取电流元1d,根据毕 奥一萨伐尔定律得： dB=Ho ldll 47子（此处090 把dB分解为垂直于x轴的dBL 和在x轴方向的dB/。根据对称性可知，所有电流元产生的BL分量互相抵消，最后磁 场只有沿x轴方向的分量，故有： 8--s-会兽mp=可会8 4πr -绘u-会2成- 4R2 4πr3 2r3 26r2+R2严 讨论： 1)我流圆环中心处磁场：X0。B=方向沿x轴正向，B与了的方向满足右手螺 2R 旋关系，这是安培分子电流假说的模型。 其中S=πR为圆线圈面积。M=S为圆线圈磁矩，方向取S的法线方同。 m=尽对任何形状的线圈都适用。 载流螺线管的磁场 长为1、半径为R、总匝数为N、流有电 流1的长直螺线管，求管内轴线上任一点的 磁感应强度。 解：取轴线上P点为坐标原点(O),P点 x2O(P) 的磁场可视为无限多个宽度为k的圆电流 产生的迭加场，对厚度为dx的圆电流有： ---- 183
教案 第十一章 稳恒磁场 183 即无限长载流直导线的 B 是在同一圆周上大小相等的，方向沿切线方向。 圆形载流导线的磁场 在圆周上取电流元 Idl ，根据毕 奥－萨伐尔定律得： 2 0 4 r Idl dB = (∵此处=90) 把 dB 分解为垂直于 x 轴的 dB⊥ 和在 x 轴方向的 dB//。根据对称性可知，所有电流元产生的 dB⊥分量互相抵消，最后磁 场只有沿 x 轴方向的分量，故有： ( ) 3 2 2 2 2 0 3 2 0 3 0 3 0 3 0 2 0 / / 2 2 2 4 4 4 sin 4 sin x R IR r IR R r R dl r R dl r R r Idl B dB dB + = = = = = = = = 讨论： 1)载流圆环中心处磁场：x=0， R I B 2 0 = 方向沿 x 轴正向， B 与 I 的方向满足右手螺 旋关系，这是安培分子电流假说的模型。 2)在远离原点的轴线上：x>>R； 3 0 3 0 3 2 0 2 2 2 x m x IS x IR B = = = 其中 S=R 2 为圆线圈面积。M=IS 为圆线圈磁矩，方向取 S 的法线方同。 m IS = 对任何形状的线圈都适用。 载流螺线管的磁场 长为 l、半径为 R、总匝数为 N、流有电 流 I 的长直螺线管，求管内轴线上任一点的 磁感应强度。 解：取轴线上 P 点为坐标原点(0)，P 点 的磁场可视为无限多个宽度为 dx 的圆电流 产生的迭加场，对厚度为 dx 的圆电流有： x x P r I Idl O R dB ┴ dB dB/ / dx x2 x1 x O(P)
教案第十一章稳恒磁场 山-兰=h：M为单位长度的面数 dB=Lo RiIndx 2(R2+x2 8=可西R R'dx 为便于积分，用那代替x, x=RCIgB,(x+R2)=R2(1+ctg'B)=R2csC2B dx =-Rcsc2 BdB B受婴警-受广如 即：B=-,(eosR,-cosR） 注意：B1、B2的几何意义（即取法） 讨论：1)轴线上的中点：此时B,=π-B2；cosB=-cosB2而 112 cosβ2= V0/2}+R2 则B=4nlc0sA,=4 2P14+R严：若P>R:即无 限长的，则B=2=4l,管内磁场是均匀的。 2)若P点处于半无限长螺线管的一端，即 A=子及=0政月=，民=2， 则B=24l 3)长直螺线管内轴线上的磁感应分布如下图所 示，中部附近的磁场完全可视为均匀磁场。 运动电荷的磁场： 因电流是由自由电子定向运动形成的，可以认为电流所激发的磁场其实是由运动电 ®
教案 第十一章 稳恒磁场 184 dx Indx l NI dI = = ；n=N/l 为单位长度的匝数。 ( ) 3 2 2 2 2 0 2 R x R Indx dB + = ( ) + = = 2 1 3 2 2 2 2 0 2 x x R x nI R dx B dB 为便于积分，用代替 x， x = Rctg ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x + R = R 1+ ctg = R csc dx R d 2 = − csc 则 = − = − 2 1 2 1 sin csc 2 csc 2 0 2 3 3 2 0 d nI R nI R d B 即： ( ) 2 1 0 cos cos 2 = − − nI B 注意：1、2 的几何意义(即取法) 讨论： 1) 轴线上的中点：此时 1 = − 2 ； 1 2 cos = −cos 而 ( ) 2 2 2 / 2 / 2 cos l R l + = ；则 ( ) 1 2 2 2 0 0 2 2 / 4 cos l R nI l B nI + = = ；若 l>>R；即无 限长的，则 nI nI B 0 0 2 2 = = ，管内磁场是均匀的。 2)若 P 点处于半无限长螺线管的一端，即 2 1 = ， 2 = 0 或 1 = ， 2 = / 2 ， 则 B nI 0 2 1 = 3)长直螺线管内轴线上的磁感应分布如下图所 示，中部附近的磁场完全可视为均匀磁场。 运动电荷的磁场： 因电流是由自由电子定向运动形成的，可以认为电流所激发的磁场其实是由运动电 -l/2 l/2 x 0nI 0nI/2 /2 0