教案第十五章机械波 第十五章机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程一波动。波动 分为机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波：交变电磁场在空间的传 播形成电磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征， 即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等 现象，而且有相似的数学表达形式。 一 基本要求 1熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能 根据给定的条件求出波函数： 2理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件： 3 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 4理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二基本内容 1波动的基本概念 1)机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2)横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波：两者相互平行的 波叫做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波， 并分别处理。 3)波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介 质中振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做 波前。 4)平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波：点波源的波面是球面，叫做球面波。在 离波源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5)波速（相速）：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。 6)波长1：同一波线上相位差为2π的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它 反映波在空间上的周期性。 )波的周期T:一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。 波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8)波的频率单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相 等。 239
教案 第十五章 机械波 239 第十五章 机械波 Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程－波动。波动 分为机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波；交变电磁场在空间的传 播形成电磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征， 即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等 现象，而且有相似的数学表达形式。 一 基本要求 1 熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能 根据给定的条件求出波函数； 2 理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件； 3 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 4 理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二 基本内容 1 波动的基本概念 1) 机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2) 横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波；两者相互平行的 波叫做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波， 并分别处理。 3) 波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介 质中振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做 波前。 4) 平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波；点波源的波面是球面，叫做球面波。在 离波源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5) 波速（相速）u：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。 6) 波长：同一波线上相位差为 2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它 反映波在空间上的周期性。 7) 波的周期 T：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。 波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8) 波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相 等
教案第十五章机械波 9)波数k:它的数值等于在2π长度内所包含的完整波的个数。 10)波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： =子=水k=2织-e 2简谐波 1)简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许 多不同频率的简谐波的叠加。 2)平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 y=4 cs于2+p =4 eos(宁+克+j =Acos[@年2x5+p 其中：“-”表示波沿X轴正方向传播：“+”表示波沿X轴负方向传播。 3)波函数的物理意义：波函数是x和1的函数。给定x,表示x处质点的振动，即给出x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移：给定，表示1时刻的波形，即给出1时刻质点 离开自己平衡位置的位移。 3波传播的能量 )能量密度：单位体积介质的波动能量。 y=( 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度，万=0。 2)平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流1=一Pm'Au, 能流密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介 质中，平面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比 3)波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 器++ 4惠更斯原理 240
教案 第十五章 机械波 240 9) 波数 k：它的数值等于在 2长度内所包含的完整波的个数。 10) 波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： u k T u = = = = 2 , 2 简谐波 1) 简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许 多不同频率的简谐波的叠加。 2) 平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿 X 轴传播的平面简谐波的波函数为 cos[( 2 ) ] cos[2 ( ) ] cos[ ( ) ] = + = + = + x A t x T t A u x y A t 其中：“−”表示波沿 X 轴正方向传播；“+”表示波沿 X 轴负方向传播。 3) 波函数的物理意义：波函数是 x 和 t 的函数。给定 x，表示 x 处质点的振动，即给出 x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定 t，表示 t 时刻的波形，即给出 t 时刻质点 离开自己平衡位置的位移。 3 波传播的能量 1) 能量密度：单位体积介质的波动能量。 sin ( ) 2 2 2 u x y = A t − 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 2 2 2 1 = A 。 2) 平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流 I A u 2 2 2 1 = ， 能流密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介 质中，平面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比。 3) 波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z u t = + + 4 惠更斯原理
教案第十五章机械波 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面 5波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样：在它们相重叠的区 域内，每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6波的干涉 )波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发 出的波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的 现象称为波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 2)波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 3)干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减 弱的条件由两波在该处的相位差： 40=--受6-)决定. 4p=±2k+r k=0,1,2,…,振幅最大，A=A+A k=01,2,…,振幅最小，A=4-4 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 4=A+A 6=5--±(2k+ A=4-A4 k=012… 7驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳 定的分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为22。波节两边的介质，振 动的相位差为π。 8多普勒相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波颊率？与波源所发射的 波的频率s不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 上面一组符号表示相互靠近：下面一组符号相互远离。 241
教案 第十五章 机械波 241 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5 波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样；在它们相重叠的区 域内，每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6 波的干涉 1) 波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发 出的波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的 现象称为波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 2) 波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 3) 干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减 弱的条件由两波在该处的相位差： ( ) 2 2 1 2 1 = − − r − r 决定。 1 2 1 2 0,1,2, , 0,1,2, , (2 1) 2 k A A A k A A A k k = = − = = + + = 振幅最小， 振幅最大， 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 0,1,2, 2 (2 1) 1 2 1 2 2 1 = = − = + + = − = k A A A A A A k k r r 7 驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳 定的分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为/2。波节两边的介质，振 动的相位差为。 8 多普勒相应 当波源 S 与观察者 R 之间有相对运动时，观察者所接收到的波频率R 与波源所发射的 波的频率S 不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 S S R R u v u v = 上面一组符号表示相互靠近；下面一组符号相互远离
教案第十五章机械波 S1机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质 内各质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变， 于是，一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振 动起来：另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质 点也在自己的平衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各 部分之间的弹性相互作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏 离平衡位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于 惯性的存在，P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件 振动起来。与此同时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置 附近振动，·，就这样振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源：传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波 前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。 二横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两 种最基本的形式。 1.横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方 向移动： 2.纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传 播方向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横 波，可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传 播，这就是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动 起来。这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且 它们以一定速度传播出去。 242
教案 第十五章 机械波 242 §1 机械波的几个概念 Some Concepts of Mechanical Wave 一 机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质 内各质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变， 于是，一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振 动起来；另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质 点也在自己的平衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各 部分之间的弹性相互作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏 离平衡位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于 惯性的存在，P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件 振动起来。与此同时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置 附近振动，…，就这样振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源；传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波 前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。 二 横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两 种最基本的形式。 1. 横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方 向移动； 2. 纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传 播方向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横 波，可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传 播，这就是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动 起来。这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且 它们以一定速度传播出去
教案第十五章机械波 三波长波的周期和频率波速 1波长和频率 波长用“2”表示，单位米： 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离： 周期：波前进一个波长距离所需的时间： 频率：周期的倒数。 月 u=iv 2波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长 不同。 注意：波速决定于介质：频率决定于波源 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度：“ 固体中的波速： —6+ 横波：“= G 图151长变 数该一 液体和气体中的强滨给淀连。一侣 图15-2(a)切变 对于理想气体：因阿 体变模量： 周体：B=AV 流张，8：品 图15-2b)容变 243
教案 第十五章 机械波 243 三 波长 波的周期和频率 波速 1 波长和频率 波长用“”表示，单位米； 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离； 周期：波前进一个波长距离所需的时间； 频率：周期的倒数。 T u = u = 2 波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长 不同。 注意：波速决定于介质；频率决定于波源。 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： T u = 固体中的波速： 横波： G u = 纵波： Y u = 液体和气体中的纵波的波速： B u = 对于理想气体： M P RT u = = 体变模量： 固体： V V P B = − 液体： V V P B = − l0 l0+l F F 图 15-1 长变 V0+V f f f f 图 15-2(b) 容变 F 切 F 切 图 15-2(a) 切变