教案第三章守恒定律 第三章守恒定律Concervation laws S1质点和质点系的动量定理Theorem of momentum of particle and particles 1.动量定理 由牛顿第二定理得：F=ma= n在：Fd=mdh 积分：心Fd=心m本 [Fdt=mv2 -mv 写为：1=E-P 1=[作Fd为作用于物体上的力和作用时间之积，称为物体所受的冲量。m=P称为物 体的动量。上式说明：在给定时间内，外力作用在物体上的冲量等于物体在时间内动量的 增量，这就是动量原理。 一般说来，力F为变量，但变力冲量的大小可以用在一相同的时间内，具有恒定大小 的平均作用力F来代替，其冲量是等效的，即： F.AI="Fdt F 用图形表示如左图，图中下-1曲线下的面积与F-1曲线 下的面积相等。 P=mm的物理意义： P既反映下的变化，又反映m的变化，故描述物体的运动时，P比下更确切些。因 此，P和F是描述物体机械运动状态的参量
教案 第三章 守恒定律 38 第三章 守恒定律 Concervation laws §1 质点和质点系的动量定理 Theorem of momentum of particle and particles 1．动量定理 由牛顿第二定理得： dt dv F ma m = = ； Fdt mdv = 积分： = 2 1 2 1 t t v v Fdt mdv = − 2 1 2 1 t t Fdt mv mv 写为： P2 P1 I = − = 2 1 t t I Fdt 为作用于物体上的力和作用时间之积，称为物体所受的冲量。 mv P = 称为物 体的动量。上式说明：在给定时间内，外力作用在物体上的冲量等于物体在时间内动量的 增量，这就是动量原理。 一般说来，力 F 为变量，但变力冲量的大小可以用在一相同的时间内，具有恒定大小 的平均作用力 F 来代替，其冲量是等效的，即： F t Fdt t t = 2 1 用图形表示如左图，图中 F − t 曲线下的面积与 F − t 曲线 下的面积相等。 P mv = 的物理意义： P 既反映 v 的变化，又反映 m 的变化，故描述物体的运动时， P 比 v 更确切些。因 此， P 和 r 是描述物体机械运动状态的参量。 t t1 t2 F F
教案第三章守恒定律 牛顿定律可以写为： F=dp_d(m) (1) d 当m=C时： F=m东 (2) (1)式具有更为普遍的形式。 上式中的F为物体所受的和外力，当然包括重力，这在应用动量定理时要特别注意。 2.质点系的动量定理 对于由多个质点组成的质点系，第1个质点受的力为外力F,和内力了，由质点的动量 定理有d(E+了)=dP 对于整个质点系的几个质点求和有： 叫2r+2小2p 注意到系统的内力总是成对出现的，互为作用力和反作用力，且作用时间均相等，故 有∑7，d=0 上式变为：立F:山=空月 积分后为：2Fd=∑P-2月 即：∑i-p-E 上式表明：在一段时间内作用在质点系上所有外力冲量的矢量和，少于该段时间内质 点系总动量的增量。这就是质点系的动量定理。 例题：质量m=1kg的小球，在h20m处以w=10ms平 抛，落地后跳起的最大高度为10m,水平速度为5ms。 设球与地面的碰撞时间为0.01s。求：(1)平抛过程中任 一时刻小球的动量以及从抛出到落地过程中动量的增量。 *39
教案 第三章 守恒定律 39 牛顿定律可以写为： ( ) dt d mv dt dP F = = （1） 当 m=C 时： ma dt dv F m = = （2） （1） 式具有更为普遍的形式。 上式中的 F 为物体所受的和外力，当然包括重力，这在应用动量定理时要特别注意。 2．质点系的动量定理 对于由多个质点组成的质点系，第 i 个质点受的力为外力 Fi 和内力 i f ，由质点的动量 定理有 ( ) i i dPi dt F f + = 对于整个质点系的几个质点求和有： = + = = = n i i n i i n i dt Fi f d P 1 1 1 注意到系统的内力总是成对出现的，互为作用力和反作用力，且作用时间均相等，故 有 = = n i f i dt 1 0 上式变为： = = = n i n i Fi dt d Pi 1 1 积分后为： = = = = − n i n i n i Fi dt Pi P 1 1 1 0 即： = − i I i P P0 上式表明：在一段时间内作用在质点系上所有外力冲量的矢量和，少于该段时间内质 点系总动量的增量。这就是质点系的动量定理。 例题：质量 m=1 kg 的小球，在 h=20 m 处以 v0=10 m/s 平 抛，落地后跳起的最大高度为 10 m，水平速度为 5 m/s。 设球与地面的碰撞时间为 0.01s。求：（1）平抛过程中任 一时刻小球的动量以及从抛出到落地过程中动量的增量。 y h 2 h 2 0 v v0 x
教案第三章守恒定律 (2)小球与地面碰撞过程中受到的水平冲力（计算中g取10）。 解：(1)Pd==vi+（g)万=10i+(-10)万 2h。2×20=25 落地前飞行时间为：1一g10 这段时间内的动量增量为：△P=F.1=-mg1=-20j (2)x方向的平均冲力为：F=△1=△mw F=7m-1x5-10.-50ON方向沿r箱负向。 0.01 同理，y方向的平均冲力为F,有 (E-mg)△1=△y, 而y2=√2gh,；y1=V2gh,方向一上一下 F=mg+Am=1x10+2x10x10+2x10x20-342×10N 0.01 F=VF2+F2=V5002+3420=3.46×103N 方向为：0=arctg 500 ag346x10-1819 S2动量守恒定律Conservation ofmomentum 本节研究系统不受外力作用或合外力为零时，动量之间的关系。为简单起见，以两小 球对心碰撞为例来研究。 10 ○6- 40
教案 第三章 守恒定律 40 （2）小球与地面碰撞过程中受到的水平冲力（计算中 g 取 10）。 解：（1） P(t) mv(t) v i ( g)tj i ( )tj = = 0 + − = 10 + −10 落地前飞行时间为： s g h t 2 10 2 2 20 = = = 这段时间内的动量增量为： P F t mgj t j = = − = −20 （2） x 方向的平均冲力为： x mvx F = t = ( ) N t mv F x x 500 0.01 1 5 10 = − − = = 方向沿 x 轴负向。 同理，y 方向的平均冲力为 Fy，有 ( ) y mvy F − mg t = 而 2 2gh2 vy = ； 1 2gh1 vy = ，方向一上一下 N t mv F mg y 3 3.42 10 0.01 2 10 10 2 10 20 1 10 = + = + = + F Fx Fy ( ) N 2 2 2 2 3 = + = 500 + 3420 = 3.4610 方向为 ： 18 19 3.46 10 500 3 = = = arctg F F arctg y x §2 动量守恒定律 Conservation of momentum 本节研究系统不受外力作用或合外力为零时，动量之间的关系。为简单起见，以两小 球对心碰撞为例来研究。 Fx F m1 m2 F21 F12 v1 v2 v20 v10
教案第三章守恒定律 各己知量如图，其中F2=-F1,是一对作用力与反作用力，根据动量原理： 对m1:F2,△1=m,可1-m可10 对m:F2△=m22-m220 由上两式可得： m1+m22=m10+m220 (1) (1)表明：在无外力作用的条件下，两球的总动量碰撞前后保持不变。 推广：1)上述结论对多个物体组成的系统也是成立的。 2)对不是对心碰撞也成立。 3)上述结论虽是从宏观物体的运动中得出的，但对微观领域的问题也是适用的，是最基 本的定律之一。 有了上述三条推广，将(1)式写为普遍形式： 立m元=C条件∑月=0 (2) (2)式即为动量守恒定律的数学表达式，即如果系统所受合外力的矢量和为零，则系统 内各物体的动量矢量和保持不变。写出分量形式为： 立%=C 25=0 之F,=0 (3) 说明：有时虽然系统所受合外力不为零，但内力远大于外力，这时可忽略外力作用，近似 认为系统的动量是守恒的。如碰撞和打击这一类问题即是这样处理的。 例题：一枚返回式火箭以2.5×103ms1的速率相对地面沿水平方向飞行，设空气阻力不计， 现由控制系统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为100kg的仪器舱，后方部分是质量 为200kg的火箭容器。若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0×103ms1.求仪器舱和火 箭容器相对地面的速度。 y y 解如图所示，以地面为惯性系 S,设下为火箭分离前火箭相对
教案 第三章 守恒定律 41 各已知量如图，其中 F12 F21 = − ，是一对作用力与反作用力，根据动量原理： 对 m1： 21 1 1 1 10 F t m v m v = − 对 m2： 12 2 2 2 20 F t m v m v = − 由上两式可得： 1 1 2 2 1 10 2 20 m v m v m v m v + = + （1） （1）表明：在无外力作用的条件下，两球的总动量碰撞前后保持不变。 推广：1）上述结论对多个物体组成的系统也是成立的。 2）对不是对心碰撞也成立。 3）上述结论虽是从宏观物体的运动中得出的，但对微观领域的问题也是适用的，是最基 本的定律之一。 有了上述三条推广，将（1）式写为普遍形式： = = n i mi vi C 1 ，条件 Fi = 0 （2） （2）式即为动量守恒定律的数学表达式，即如果系统所受合外力的矢量和为零，则系统 内各物体的动量矢量和保持不变。写出分量形式为： = = n i mi vix C 1 = = n i Fix 1 0 = = n i mi viy C 1 = = n i Fiy 1 0 (3) 说明：有时虽然系统所受合外力不为零，但内力远大于外力，这时可忽略外力作用，近似 认为系统的动量是守恒的。如碰撞和打击这一类问题即是这样处理的。 例题：一枚返回式火箭以 2.5×103m·s-1 的速率相对地面沿水平方向飞行，设空气阻力不计， 现由控制系统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为 100 ㎏的仪器舱，后方部分是质量 为 200 ㎏的火箭容器。若仪器舱相对火箭容器的水平速率为 1.0×103m·s-1 .求仪器舱和火 箭容器相对地面的速度。 解 如图所示，以地面为惯性系 S，设 v 为火箭分离前火箭相对
教案第三章守恒定律 惯性系S的速度，可和可，为火箭分离后，仪器舱或火箭容器相对惯性系S的速度。'为 分离后仪器舱相对火箭容器的速度取火箭容器为惯性系S',$系沿xx轴以速度以相 对S系运动由相对运动的速度公式有：可=可2+'由于它们三者都在同一水平面上，故上 式为： y=y2+v 在火箭分离前后，它只受到铅直方向的重力作用，所以沿水平方向动量守恒，有： (m +m)v my +mv2 解上两式得：2=v- m一 m1+m2 代入数据得：y=2.17×103ms1:,=3.17×103ms ”,和2都是正值，他们的速度方向相同，且与v同向.只不过仪器舱推动后其速率变大，相反， 火箭容器的速率却变慢了，从而实现了动量的转移 例题：如图，一质子(vg=6×103m/s,mm=lu)和一氢核。 解：建立如图所示的坐标系，设碰撞后氢核的速度为'与y轴成α角，相互作用力只有核 力，故动量守恒。 x:muvu =-mnVa sin 37+muevie sin a VH y:mHeVHe muVu cos37+mnevHe cosa 解得： %5ma="mL(n+nsm37）=24×10m15 mHe n cos=Vteme cos37=2.7x10'mls 由以上两式解得： 42
教案 第三章 守恒定律 42 惯性系 S 的速度， 1 v 和 2 v 为火箭分离后，仪器舱或火箭容器相对惯性系 S 的速度。 v 为 分离后仪器舱相对火箭容器的速度.取火箭容器为惯性系 S’ ，S’系沿 xx’轴以速度以 2 v 相 对 S 系运动.由相对运动的速度公式,有： v = v + v 1 2 由于它们三者都在同一水平面上,故上 式为： v = v +v 1 2 在火箭分离前后,它只受到铅直方向的重力作用,所以沿水平方向动量守恒,有： 1 2 1 1 2 2 (m +m )v = m v +m v 解上两式得： v m m m v v + = − 1 2 1 2 代入数据得： 3 1 1 2.17 10 − v = ms ； 3 1 2 3.17 10 − v = ms v1 和 v2 都是正值,他们的速度方向相同,且与 v 同向.只不过仪器舱推动后其速率变大,相反, 火箭容器的速率却变慢了,从而实现了动量的转移. 例题：如图，一质子（ v m s H 6 10 / 5 = , mH =1u ）和一氦核。 解：建立如图所示的坐标系，设碰撞后氦核的速度为 He v 与 y 轴成角，相互作用力只有核 力，故动量守恒。 x： mH vH = −mH v H sin 37 + mHev He sin y： mHevHe = mH v H cos37 + mHev He cos 解得： (v v ) m s m m v H H He H He sin sin 37 2.4 10 / 5 = + = v m s m m v v H He H He He cos cos37 2.7 10 / 5 = − = 由以上两式解得： He x H y o vH H vH vHe vHe 37