第十五章机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程一波动。波动分为 机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波：交变电磁场在空间的传播形成电 磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征，即都具有一定 的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，而且有相似 的数学表达形式。 一基本要求 1熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能根据 给定的条件求出波函数： 2理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件： 4掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 5理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二基本内容 1波动的基本概念 1)机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2)横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波：两者相互平行的波叫 做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波，并分别 处理。 3)波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介质中 振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做波前。 4)平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波：点波源的波面是球面，叫做球面波。在离波 源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5)波速（相速）：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的特性 无关，仅取决于传播介质的性质。 6)波长：同一波线上相位差为2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它反映 波在空间上的周期性。 )波的周期T:一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。波的 周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8)波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相等。 9)波数k:它的数值等于在2π长度内所包含的完整波的个数。 10)波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： ==，k-2- 2简谐波 1)简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许多不 同频率的简谐波的叠加
第十五章 机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程－波动。波动分为 机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波；交变电磁场在空间的传播形成电 磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征，即都具有一定 的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，而且有相似 的数学表达形式。 一 基本要求 1 熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能根据 给定的条件求出波函数； 2 理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件； 4 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 5 理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二 基本内容 1 波动的基本概念 1) 机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2) 横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波；两者相互平行的波叫 做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波，并分别 处理。 3) 波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介质中 振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做波前。 4) 平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波；点波源的波面是球面，叫做球面波。在离波 源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5) 波速（相速）u：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的特性 无关，仅取决于传播介质的性质。 6) 波长：同一波线上相位差为2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它反映 波在空间上的周期性。 7) 波的周期T：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。波的 周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8) 波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相等。 9) 波数k：它的数值等于在2长度内所包含的完整波的个数。 10) 波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： u k T u = = = = 2 , 2 简谐波 1) 简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许多不 同频率的简谐波的叠加
2)平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 y=Acoslo(t年+p] =Acos2x(5干，)+p =Acos[(年2π)+p】 其中：“-0表示波沿X轴正方向传播：“+”表示波沿X轴负方向传播。 3)波函数的物理意义：波函数是x和的函数。给定x,表示x处质点的振动，即给出x处质点任意 时刻离开自己平衡位置的位移：给定，表示时刻的波形，即给出时刻质点离开自己平衡位置 的位移。 3波传播的能量 )能量密度：单位体积介质的波动能量。 y=po4smo- 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 平均能流度：单位时间酒过垂直于传方向的单位面积的平均能流/一 ，能流 密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介质中，平 面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比 3)波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波被都遵守微分方程： o'y10'y u"ot 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 器++ 4惠更斯原理 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5波的叠加原理 几列例波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样：在它们相重叠的区域内， 每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6波的干涉 8)波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发出的 波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的现象称为 波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 9)波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 10)干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减弱的 条件由两波在该处的相位差：
2) 平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 cos[( 2 ) ] cos[2 ( ) ] cos[ ( ) ] = + = + = + x A t x T t A u x y A t 其中：“−表示波沿X轴正方向传播；“+”表示波沿X轴负方向传播。 3) 波函数的物理意义：波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意 时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置 的位移。 3 波传播的能量 1) 能量密度：单位体积介质的波动能量。 sin ( ) 2 2 2 u x y = A t − 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 2 2 2 1 = A 。 9) 平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流 I A u 2 2 2 1 = ，能流 密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介质中，平 面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比。 3) 波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z u t = + + 4 惠更斯原理 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5 波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样；在它们相重叠的区域内， 每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6 波的干涉 8) 波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发出的 波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的现象称为 波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 9) 波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 10) 干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减弱的 条件由两波在该处的相位差：
4p=-段-受6-》决定 4p={±吉凝z-02振幅最小，A=4-4 k=0,L2,…,振幅最大，A=A+A4 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： +k A=A+4 6=5-=±(2k+0号A=A-角 k=0,12.… 7驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳定的 分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为2。波节两边的介质，振动的相位 差为π。 8多普制相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波颜率？与波源所发射的波的频 率s不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 土节 上面一组符号表示相互靠近：下面一组符号相互远离。 §1机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质内各 质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变，于是， 一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来：另 一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平 衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各部分之间的弹性相互 作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用者，当介质中某一质点P偏离平衡 位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于惯性的存在， P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件振动起来。与此同 时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置附近振动，…，就这样振 动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源：传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波前进， 只在各自的平衡位置附近往复运动
( ) 2 2 1 2 1 = − − r − r 决定。 1 2 1 2 0,1,2, , 0,1,2, , (2 1) 2 k A A A k A A A k k = = − = = + + = 振幅最小， 振幅最大， 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 0,1,2, 2 (2 1) 1 2 1 2 2 1 = = − = + + = − = k A A A A A A k k r r 7 驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳定的 分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为/2。波节两边的介质，振动的相位 差为。 8 多普勒相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波频率R与波源所发射的波的频 率S不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 S S R R u v u v = 上面一组符号表示相互靠近；下面一组符号相互远离。 §1 机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一 机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质内各 质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变，于是， 一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来；另 一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平 衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各部分之间的弹性相互 作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏离平衡 位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于惯性的存在， P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件振动起来。与此同 时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置附近振动，…，就这样振 动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源；传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波前进， 只在各自的平衡位置附近往复运动
二横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两种最 基本的形式 1.横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方向移 动 2.纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传播方 向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横波， 可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传播，这就 是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动起来。 这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的稀疏”和“稠密区域，并且它们以一定速度 传播出去。 三波长波的周期和频率波速 1波长和频率 波长用“表示，单位米： 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离： 周期：波前进一个波长距离所需的时间： 频率：周期的倒数。 u=月 u=元v 2波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长不同。 注意：波速决定于介质：频率决定于波源。 时论几儿种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： 固体中的波速： 横波： w-1P 纵波： 4p B 液体和气体中的纵波的波速： u=p
二 横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两种最 基本的形式。 1. 横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方向移 动； 2. 纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传播方 向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横波， 可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传播，这就 是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动起来。 这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且它们以一定速度 传播出去。 三 波长 波的周期和频率 波速 1 波长和频率 波长用“表示，单位米； 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离； 周期：波前进一个波长距离所需的时间； 频率：周期的倒数。 T u = u = 2 波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长不同。 注意：波速决定于介质；频率决定于波源。 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： T u = 固体中的波速： 横波： G u = 纵波： Y u = 液体和气体中的纵波的波速： B u =
对于理想气体： 体变模量： D 固体： B--AVIV 液体： 品 其中：P=∫s 杨氏模量： 切变模最，G= 表某些介质中的机械波速 介质 速度(m.s) 空气 331(20℃) 海水 1531(25℃) 木材 3400-4700(洁 5854(纵波)，3150（横波） 地表 8000(纵波)，4450（横波） 四波线波面波前 1.波面：振动相位相同的各点连成的面 2.波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3.波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 S2平面简谐波的波函数Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运动形 式。如果波沿x方向传播，要描述它，就应该知道x处的质点在任意时刻的位移y,即应该知道(x )。我们把这种描述波传播的函数x,)叫做波动函数，简称波函数。 一平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之为简谐波。 设有一平面简诺波，在无吸收的、均匀的、无限大的介质中沿正方向传播。建立如图所示 坐标系，为简单起见，设原点0的振动为：%=Acoso
对于理想气体： M P RT u = = 体变模量： 固体： V V P B = − 液体： V V P B = − 其中： P = f s 杨氏模量： l l f s Y = 切变模量： f s G = 表 某些介质中的机械波速 介质 速度（m.s−1） 空气 海水 木材 钢 地表 331（20℃） 1531（25℃） 3400－4700（纵波） 5854（纵波），3150（横波） 8000（纵波），4450（横波） 四 波线 波面 波前 1. 波面：振动相位相同的各点连成的面 2. 波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3. 波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 §2 平面简谐波的波函数Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运动形 式。如果波沿x方向传播，要描述它，就应该知道x处的质点在任意时刻t的位移y，即应该知道y(x, t)。我们把这种描述波传播的函数y(x, t)叫做波动函数，简称波函数。 一 平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之为简谐波。 设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无限大的介质中沿正方向传播。建立如图所示 坐标系，为简单起见，设原点O的振动为： y Acost 0 =