教案第五章万有引力场 第五章万有引力场Gravity s1开普勒定律Kepler's laws 人类通过对星体运行规律的研究，奠定了经典力学的基础，促进了实验物理学和理 论物理学的发展，在17世纪初期，德国天文学家开普勒分析前人观测到的行体数据，提 出了描述行星运动的三条定律，称为开普勒定律，具体内容如下： (1)每一行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 (2)行星运动时，太阳到行星的矢径F在相等的时间间隔内扫过的面积相等，这也 叫面积定律。 (3)行星绕太阳公转周期T的二次方正比于行星椭圆轨道半长轴a的三次方，且比 值为一恒量，即： ar=c 第一定律给出了行星运行轨道的形状，是一条几何定律，第二定律说明行星在太阳 系中的运动遵守角动量守恒定律，这可以从等面积定律中导出角动量守恒，第三定律则 是对前两个定律的补充。 有关开普勒定律的内个行星的数据如下： 行星 轨道周期S 轨道半长轴m AT 水星 7.513×10 5.795X1010 3.448×1018 金星 1.941×107 1.081×10 3.545×1018 地球 3.154×107 1.496×1011 3.366×1018 火星 5.977×10 2.278×1011 3.355×1018 木星 3.735×10 7.781×10 3.377×1018 土星 9.297×10 1.427×1012 3.362×1018 开普勒关于行星运动的三条定律，给哥白尼的日心说以有力的支持：也为牛顿发现 引力定律提供了基础。 s2万有引力定律The laws of gravity 牛顿发现的万有引力定律指出，任何两质点之间都存在一种具有相同性质的引力， 称之为万有引力，其形式为 74
教案 第五章 万有引力场 74 第五章 万有引力场 Gravity §1 开普勒定律 Kepler’s laws 人类通过对星体运行规律的研究，奠定了经典力学的基础，促进了实验物理学和理 论物理学的发展，在 17 世纪初期，德国天文学家开普勒分析前人观测到的行体数据，提 出了描述行星运动的三条定律，称为开普勒定律，具体内容如下： （1）每一行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）行星运动时，太阳到行星的矢径 r 在相等的时间间隔内扫过的面积相等，这也 叫面积定律。 （3）行星绕太阳公转周期 T 的二次方正比于行星椭圆轨道半长轴 a 的三次方，且比 值为一恒量，即： C T a 2 = 3 第一定律给出了行星运行轨道的形状，是一条几何定律，第二定律说明行星在太阳 系中的运动遵守角动量守恒定律，这可以从等面积定律中导出角动量守恒，第三定律则 是对前两个定律的补充。 有关开普勒定律的内个行星的数据如下： 行星 轨道周期 S 轨道半长轴 m A3 /T2 水星 7.513×106 5.795×1010 3.448×1018 金星 1.941×107 1.081×1011 3.545×1018 地球 3.154×107 1.496×1011 3.366×1018 火星 5.977×107 2.278×1011 3.355×1018 木星 3.735×108 7.781×1011 3.377×1018 土星 9.297×108 1.427×1012 3.362×1018 开普勒关于行星运动的三条定律，给哥白尼的日心说以有力的支持；也为牛顿发现 引力定律提供了基础。 §2 万有引力定律 The laws of gravity 牛顿发现的万有引力定律指出，任何两质点之间都存在一种具有相同性质的引力， 称之为万有引力，其形式为
教案第五章万有引力场 F-Gmme, 字宙中的星体，其大小总是较星体之间的距离小得多，故可以把它们社作质点，用 万有引力公式来计算，对于地球上的两个物体，只要可作为质点，即可由上式来计算。 需要指出的是，对于地球上的物体，其间的万有引力一般较小，如有其它力存在， 通常万有引力可忽略不计，例如当计算两个电荷间相互作用力时，我们只考虑其间的库 仑力，而忽略其间的万有引力。 s3引力场、引力势能Gravitational potential energ) 1.引力场 万有引力定律指出，引力是与其周围存在的介质无关的，那么引力是如何传递的呢？ 爱因斯坦在其引力理论中指出：任何物体周围都存在引力场，处在引力场中的物体都受 到引力场的作用，故引力是依赖引力场来传递的，而传递速度为光速，引力场是一种物 质，与其它物质一样，引力场也具有能量，这主要体现在如下两个方面：(1)引力场对 处于其中的物体施以力的作用：(2)引力场能对处于其中运动的物体作功。 地球对物体作用的引力，我们通常称为重力，故地球引力场也叫重力场，因为我们对重 力场的一些性质己经比较熟悉，故可把重力场作为引力场的一个特例来领会、理解引力 场。 2.引力场强度 引力场强度：定义：质量为m的质点在场中受到的引力F与质量m的比值，叫作引 力场强度，其方向与该点的F方向一致，即： 根据万有引力定律知，它是一个与质点质量m无关的量，而只与场点的位置有关， 如一质量为m的质点在引力场中受到的力为：于=mg,此处m为引力质量，根据牛顿 定律有：了=msa:a=L.m8 mm 因为m低=m,故有ā=g 上式说明引力场强度代表任何质点在引力场中该点的加速度。 引力场中这个性质是很奇特的，任何质点，无论其质量如何，在引力场中同一处都具有 75
教案 第五章 万有引力场 75 r e r m m F G 2 1 2 = 宇宙中的星体，其大小总是较星体之间的距离小得多，故可以把它们社作质点，用 万有引力公式来计算，对于地球上的两个物体，只要可作为质点，即可由上式来计算。 需要指出的是，对于地球上的物体，其间的万有引力一般较小，如有其它力存在， 通常万有引力可忽略不计，例如当计算两个电荷间相互作用力时，我们只考虑其间的库 仑力，而忽略其间的万有引力。 §3 引力场、引力势能 Gravitational potential energy 1．引力场 万有引力定律指出，引力是与其周围存在的介质无关的，那么引力是如何传递的呢？ 爱因斯坦在其引力理论中指出：任何物体周围都存在引力场，处在引力场中的物体都受 到引力场的作用，故引力是依赖引力场来传递的，而传递速度为光速，引力场是一种物 质，与其它物质一样，引力场也具有能量，这主要体现在如下两个方面：（1）引力场对 处于其中的物体施以力的作用；（2）引力场能对处于其中运动的物体作功。 地球对物体作用的引力，我们通常称为重力，故地球引力场也叫重力场，因为我们对重 力场的一些性质已经比较熟悉，故可把重力场作为引力场的一个特例来领会、理解引力 场。 2．引力场强度 引力场强度 g 定义：质量为 m 的质点在场中受到的引力 F 与质量 m 的比值，叫作引 力场强度，其方向与该点的 F 方向一致，即： m F g = ； 根据万有引力定律知，它是一个与质点质量 m 无关的量，而只与场点的位置有关， 如一质量为 m 的质点在引力场中受到的力为： f mg = ，此处 m 为引力质量，根据牛顿 定律有： f m a = 惯 ； 惯 引 惯 m m g m f a = = 因为 m惯 = m引 ，故有 a g = 上式说明引力场强度代表任何质点在引力场中该点的加速度。 引力场中这个性质是很奇特的，任何质点，无论其质量如何，在引力场中同一处都具有
教案第五章万有引力场 相同的加速度，若它们具有相同的初始位置和初速度，则它们的时空轨迹是一样的，结 果动力学问题变成了一个纯粹的几何问题，故爱因斯无坚不摧马引力场看成是时空的几 何属性，它的广义相对论就是引力场的几何理论。 对于地球的引力场，其引力场强度为： 8=-G%E 其引力场强度分布如下图所示。 矢录的密疏代表引力场强度的大小。离地球越远处，引力强度越小。 3.引力势能、引力势 在m的引力场中的引力势能为： E,=-Gmm:m为处于引力场中质点的质量。 定义引力势为：y= m 则在m的引力场中r处的引力势为： r=-6g 引力势为一标量，在无限远处，引力势为零。若以m为中心做一球面，那么球面上 各点引力势相同，这个面叫做等势面。 对于由几个质点组成的引力场，场点P的引力势为： p=-Gm-G匹--G% 2 即P点的引力势为各质点在P点的引力势之和。 4.引力与引力势能的关系 如图，质点m受到的引力为F,具有的引力势能为Ep,若使质点位移，则引力作 76
教案 第五章 万有引力场 76 相同的加速度，若它们具有相同的初始位置和初速度，则它们的时空轨迹是一样的，结 果动力学问题变成了一个纯粹的几何问题，故爱因斯无坚不摧马引力场看成是时空的几 何属性，它的广义相对论就是引力场的几何理论。 对于地球的引力场，其引力场强度为： r e e r m g G 2 = − 其引力场强度分布如下图所示。 矢量的密疏代表引力场强度的大小。离地球越远处，引力强度越小。 3．引力势能、引力势 在 m的引力场中的引力势能为： r Ep Gmm 1 = − ；m 为处于引力场中质点的质量。 定义引力势为： m E V p = 则在 m的引力场中 r 处的引力势为： r m V G = − 引力势为一标量，在无限远处，引力势为零。若以 m为中心做一球面，那么球面上 各点引力势相同，这个面叫做等势面。 对于由几个质点组成的引力场，场点 P 的引力势为： n n r m G r m G r m V G − − − = − 2 2 1 1 即 P 点的引力势为各质点在 P 点的引力势之和。 4．引力与引力势能的关系 如图，质点 m 受到的引力为 F，具有的引力势能为 Ep，若使质点位移 dr ，则引力作
教案第五章万有引力场 功为F币，它应等于引力势能增量的负值，即 F而=dE。 F=-dE, Ep+dE 这就是引力与引力势能之间的关系，在坐标系中写成各 个分量间的关系为： 月当 2:,=2y f,=2x 因为8-后：Em,则有： 8=)8,=)&=) 由引力与引力势能的关系式可以看出，在求万有引力时，利用其间关系比较方便 因为势能E是标量，积分容易计算，而直接发求引力需要对矢量进行积分运算。 s4物体间的引力势能和引l力Gravitational potential energy and gravity ofobjects 物体间的万有引力计算，需要把物质视为由无限多个质点的组成，然后进行积分计 算，本节我们给出内个特殊物体间的引力相互作用形式。 1.匀质球壳与质点间的引力 先讨论质点在球壳外的情况，设球壳的质量密度为o,从球壳上取一细环带dm',各 量如图中所示。 dm=o·2π(Rsne)-Rd0=2 R'asinad0 d 由于环带上各点与质点m的距离均为S,故有 E,=-6"。-0m2成o0 利用几何关系将变量θ换为S: S2=R2+r2-2 Rrcose8取微商后有 77
教案 第五章 万有引力场 77 功 为 F dr ， 它 应 等于 引 力 势能 增 量 的 负值 ， 即 dEp F dr = r p e dr dE F = − 这就是引力与引力势能之间的关系，在坐标系中写成各 个分量间的关系为： x E F p x 2 2 = − ； y E F p y 2 2 = − ； z E F p z 2 2 = − 因为 m F g = ；V=Ep/m，则有： = − x V gx ， = − y V g y ， = − z V gz 由引力与引力势能的关系式可以看出，在求万有引力时，利用其间关系比较方便， 因为势能 Ep 是标量，积分容易计算，而直接发求引力需要对矢量进行积分运算。 §4 物体间的引力势能和引力 Gravitational potential energy and gravity of objects 物体间的万有引力计算，需要把物质视为由无限多个质点的组成，然后进行积分计 算，本节我们给出内个特殊物体间的引力相互作用形式。 1．匀质球壳与质点间的引力 先讨论质点在球壳外的情况，设球壳的质量密度为，从球壳上取一细环带 dm，各 量如图中所示。 dm 2(Rsin) Rd 2R sind 2 = = 由于环带上各点与质点 m 的距离均为 S，故有 S d Gm R S mdm dEp G sin 2 2 = − = − 利用几何关系将变量换为 S： 2 cos 2 2 2 S = R + r − Rr 取微商后有 Rr ds S d = sin o er P F dr m EP+dEP EP d R O r P m S
教案第五章万有引力场 dE--Gm2xRo ds Gn2skaGm2akad ( 上式表明：球壳与其外面的质点间引力势，如同于球壳的质量集中于球心的情况 样，当然，其万有引力也是如此。这是万有引力是平方反比定律的一个必然结果。 说明：若万有引力不是平方反比力，则无此结果，若其它平方反比方，也有上述结论。 上述结论为计算匀质球壳与其他质点的万有引力提供了一个简单方便的方法。 现在来讨论质点位于球壳内部的情形： 如图，此时 6,-6m2a6=-Cm22r-6<网 r 由F=车r得F间R) 上式表明，质点无论处于球壳内什么位置，它与球壳间 的引力均为零。这是万有引力与距离平方成反比的另一个必然结论，其势能曲线和引力 曲线如下图所示。 F P Ex--Gmm/r F-Gmm Ex=-Gmm IR 2.匀质球体间的引力 根据质点与球壳间的引力势和引力之间的关系，可知两匀质球体间的引力势及引力 为： 5,=-Gm匹：F=-Gmer 其中m、m;为匀质球体的质量，r为球心间距离。即两均质球体间的引力与两球体质量 集中于球心的两质点间引力相同。 78
教案 第五章 万有引力场 78 ds r Gm R dEp 2 = − ( ) 4 2 2 2 r R r mm G r m R G ds r Gm R ds r Gm R E R r r R p = − = − = − = − + − 上式表明：球壳与其外面的质点间引力势，如同于球壳的质量集中于球心的情况一 样，当然，其万有引力也是如此。这是万有引力是平方反比定律的一个必然结果。 说明：若万有引力不是平方反比力，则无此结果，若其它平方反比方，也有上述结论。 上述结论为计算匀质球壳与其他质点的万有引力提供了一个简单方便的方法。 现在来讨论质点位于球壳内部的情形： 如图，此时 2 ( ) 2 2 r R r mm r G r Gm R ds r Gm R E R r R r p = = − = − + − 由 er dr dE F p = − 得 F=0 （r<R） 上式表明，质点无论处于球壳内什么位置，它与球壳间 的引力均为零。这是万有引力与距离平方成反比的另一个必然结论，其势能曲线和引力 曲线如下图所示。 2．匀质球体间的引力 根据质点与球壳间的引力势和引力之间的关系，可知两匀质球体间的引力势及引力 为： r m m Ep G 1 2 = − ； er r m m F G 2 1 2 = − 其中 m1 、 m2 为匀质球体的质量，r 为球心间距离。即两均质球体间的引力与两球体质量 集中于球心的两质点间引力相同。 d O P r S R EP R r O EP=-Gmm/R EP=-Gmm/r r O F=0 F=-Gmm/r2 F