教案第十四章机械振动 第十四章机械振动Vibration S1简谐振动Simple Harmonic Vibration 振动是自然界和工程技术领域常见地一种运动，广义地说，任何一个物理量在某 数值附近作周期性变化都称为振动，变化地物理量称为振动量。简谐振动是最基本的运 动，任何复杂的运动都可以看成是若干简谐振动的合成。因此，简谐振动是我们研究的 重点。 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形 为例，则有： F=- 根据牛顿第二定律有： 其中：-合 或者说：加速度a与位移的大小x成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运 动叫简谐振动。 由a= 一办=0x积分可得简谐运动的运动方程为： x=Acos(x+) 上式中积分常量A和φ分别为振幅和初相位 振动的速度和加速度分别为： 会-de+pl:a=答=wcm6+o） 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形为例， 则有： F=-kx 根据牛顿第二定律有： 其中：。点 或者说：加速度a与位移的大小x成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运动叫 222
教案 第十四章 机械振动 222 第十四章 机械振动 Vibration §1 简谐振动 Simple Harmonic Vibration 振动是自然界和工程技术领域常见地一种运动，广义地说，任何一个物理量在某一 数值附近作周期性变化都称为振动，变化地物理量称为振动量。简谐振动是最基本的运 动，任何复杂的运动都可以看成是若干简谐振动的合成。因此，简谐振动是我们研究的 重点。 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形 为例，则有： F = −kx 根据牛顿第二定律有： x x m k m F a 2 = = − = − 其中： m k = 2 ； 或者说：加速度 a 与位移的大小 x 成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运 动叫简谐振动。 由 x dt dx a 2 2 2 = = − 积分可得简谐运动的运动方程为： x = Acos(t +) 上式中积分常量 A 和分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： = = −Asin(t +) dt dx v ； cos( ) 2 2 2 = = − A t + dt dx a 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形为例， 则有： F = −kx 根据牛顿第二定律有： x x m k m F a 2 = = − = − 其中： m k = 2 ； 或者说：加速度 a 与位移的大小 x 成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运动叫
教案第十四章机械振动 简谐振动。 由一奔=心积分可得简蒂运动的运动方程为： x=Acos(or+p) 上式中积分常量A和0分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： v会=d+pj:a=答=-wcs+pj 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 S2简谐振动的振幅、周期、频率和相位Amplitude,Period and Frequency,Phase of Simple harmonic Vibration 1.简谐振动的解析表达式及其物理量 以下面的弹簧振子为例来说明： 6777寸 根据牛顿定律得：∫=-x=m成 +点x=0,记心-合则有： +02x=0 (1) 一般把具有(1)式形式的运动叫简谐振动，其解为： x=Acos(ot+p) (2) 由(2)式可求得振动质点的速度为： v==-Aosin(ot+o) (3) a==-Ao2cos(ot+o) (4) 由(3)入、(4)式知。当质点作简谐振动时，其速度和加速度都是周期性变化的。 (2)式中A是简谐振动的振幅，是简谐振动物体离开平衡位置的最大距离。 周期：物体完成一次简谐振动所经历的时间，用T来表示： 223
教案 第十四章 机械振动 223 简谐振动。 由 x dt dx a 2 2 2 = = − 积分可得简谐运动的运动方程为： x = Acos(t +) 上式中积分常量 A 和分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： = = −Asin(t +) dt dx v ； cos( ) 2 2 2 = = − A t + dt dx a 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 §2 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 Amplitude , Period and Frequency，Phase of Simple harmonic Vibration 1. 简谐振动的解析表达式及其物理量 以下面的弹簧振子为例来说明： 根据牛顿定律得： f = −kx = m x + x = 0 m k x ，记 m k = 2 ，则有： 0 2 x + x = （1） 一般把具有(1)式形式的运动叫简谐振动，其解为： x = Acos(t +) （2） 由（2）式可求得振动质点的速度为： v = x = −Asin(t +) （3） a = x = −A cos(t +) 2 （4） 由（3）、（4）式知。当质点作简谐振动时，其速度和加速度都是周期性变化的。 （2）式中 A 是简谐振动的振幅，是简谐振动物体离开平衡位置的最大距离。 周期：物体完成一次简谐振动所经历的时间，用 T 来表示： m k O x
教案第十四章机械振动 .x=Acos(or+)=Acoso(t+T)+ 0 频率：单位时间内物体作的完全简谐振动的次数，用表示： :单位为Hz。 周期和频率只与振动系统本身的性质有关，一般称为固有周期和固有频率。 在x=Acos(ar+p)中，当A和o确定之后，物体的运动状态由(o+p)来决定位 移、速度、加速度，(+p)称为振动的相位，是决定物体运动状态的物理量。9是10 时的相位，称为初相位。相位是很重要的物理量，它不仅在描述简谐振动状态时充分反 映了振动的周期性特征，而且通过对两个频率的简谐运动的相位关系的分析，可方便地 比较它们的步调。 当初始条件给定后，A和便可确定了。例如：当1=0时，x=x0,v=%(初始 条件) 则有 xo =Acosp,vo =-Aosin p 解得： :=arcig-v 2.简谐振动的解析表达式及其物理量 例题1：如图，把物体从平衡位置向右拉长0.10m释放，求：(1)谐振动方程：(2)若在 0.10m处给物体一向右的初速V。=0.20m/s,求其 振动方程。己知：m=0.40kg,k=1.60N/m, 7777777.7 1.60 解：(1) k 0=Vm0.40 =2.0s A=+ 号=0.10m(v为0) 01 224
教案 第十四章 机械振动 224 x = Acos(t +) = Acos(t +T)+ k m T T 2 2 = 2 = = 频率：单位时间内物体作的完全简谐振动的次数，用表示： m k T 2 1 2 1 = = = ；单位为 Hz。 周期和频率只与振动系统本身的性质有关，一般称为固有周期和固有频率。 在 x = Acos(t +) 中，当 A 和确定之后，物体的运动状态由 (t +) 来决定位 移、速度、加速度， (t +) 称为振动的相位，是决定物体运动状态的物理量。是 t=0 时的相位，称为初相位。相位是很重要的物理量，它不仅在描述简谐振动状态时充分反 映了振动的周期性特征，而且通过对两个频率的简谐运动的相位关系的分析，可方便地 比较它们的步调。 当初始条件给定后，A 和便可确定了。例如：当 t = 0 时， 0 x = x ， 0 v = v （初始 条件） 则有： x0 = Acos ，v0 = −Asin 解得： 2 2 2 0 0 v A = x + ； 0 0 x v arctg − = 2. 简谐振动的解析表达式及其物理量 例题 1：如图，把物体从平衡位置向右拉长 0.10m 释放，求：（1）谐振动方程；（2）若在 0.10m 处给物体一向右的初速 v 0.20m/s 0 = ，求其 振动方程。已知： m = 0.40kg， k =1.60N /m， 解：（1） 1 2.0 0.40 1.60 − = = = s m k m v A x 0.10 2 2 2 0 = 0 + = （v 为 0） o x 0.01m
教案第十四章机械振动 eorct ..x=Acos(@t+)=0.10cos2.0t m: a4+语-0oeg -=0.14m -0.20 o=arcig-vo=arcts 20x010=arctg(-1)=-4 x=4co(ou+pl小-014emr-哥)n 例2：一质量为0.01g的物质作谐振动，振幅为0.24m,周期为4s,1=0时，x0=0.12m, 且向x负向运动，试求：(1)1一1.0s时，物体所处的位置和所受的力：(2)由起始位置运 动到x=-0.12m处所需要的最短时间。 解：(1)x=Acos(or+p) T-g0=经-：402m 0240.1200.120.24￥ 1=0时，x=012m:即：012=024cos:c0sp=号 v=-Aosn(+p):t=0时，v为负，故simp>0 取0-子：气=024e径+写}-0208m:负号说明此时物体在累点左方，此时所 受的力为： f=-kx=-mo2x=-0.01× π】 ×(-0.208)=5.13×10-3N 力的方向x轴正方。 (2) -0.12=0.24cos 侣+到 225
教案 第十四章 机械振动 225 0 0 0 = − = x v arctg x = Acos(t +) = 0.10cos2.0t m； （2） m v A x 0.14 2.0 0.20 0.10 2 2 2 2 2 2 0 = 0 + = + = 4 ( 1) 2.0 0.10 0.20 0 0 = − = − − = − = arctg arctg x v arctg ( ) = + = − 4 cos 0.14cos 2.0 x A t t m 例 2：一质量为 0.01kg 的物质作谐振动，振幅为 0.24m，周期为 4s，t=0 时，x0=0.12m， 且向 x 负向运动，试求：（1）t=1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起始位置运 动到 x = −0.12m 处所需要的最短时间。 解：（1） x = Acos(t +) 2 1 4 2 2 T = → = = ； A = 0.24m t = 0 时， x = 0.12m ；即： 0.12 = 0.24cos ； 2 1 cos = v = −Asin(t +) ； t = 0 时，v 为负，故 sin 0 取 3 = ； x 0.208m 2 3 0.24cos 1 = − = + ；负号说明此时物体在原点左方，此时所 受的力为： f k x m x ( ) N 3 2 2 0.208 5.13 10 2 0.01 − − = = − = − = − 力的方向 x 轴正方。 （2） − = + 2 3 0.12 0.24cos t -0.24 -0.12 0 0.12 0.24 x t=0
教案第十四章机械振动 -012=024cm号+ -引}引-引--oo 例3：如图，已知k=1.60N·m1，m=0.40kg,x。=020m,若物体拉长到x处释 放，试求1)谐振动方程：(2)物体从初始位置运动到第一次经过处时的速度。 解：(1)由运动方程知：x=Acos(ot+p),由题意知： A=x0=0.20m,1=0时x=A,即： 贝1 。7 A=Acos(o0+p):取p=0,则其振动方程 为： =020omeo-悟-0需-20， 2)含=4case0:cos20-分第-象，限取snol-=号 x=-A@sin(o+p)=-0.40sn(2.01）=-0.34ms 负号表示速度沿x轴方向。 S3旋转矢量Rotary Vector 矢量A的模等于谐振动的振幅A,则A以o沿逆时针作 圆周运动，其端点在x轴上的投影P点的运动，可以表示物 体在x轴上的谐振动。 旋转矢量示意图 226
教案 第十四章 机械振动 226 − = + 2 3 0.12 0.24cos t s 0.667s 3 2 3 3 2 2 2 3 1 arccos 2 = = = − − = − 例 3：如图，已知 1 1.60 − k = N m ， m = 0.40kg ， x0 = 0.20m ，若物体拉长到 0 x 处释 放，试求(1)谐振动方程；（2）物体从初始位置运动到第一次经过 2 A 处时的速度。 解：（1）由运动方程知： x = Acos(t +) ，由题意知： A = x0 = 0.20m ， t = 0 时 x = A ，即： A = Acos( 0 +) ；取 = 0 ，则其振动方程 为： x = 0.20cos(2.0t) m，（ 2.0 0.40 1.6 = = = m k ） （2） A ( t) A cos 2.0 2 = ； ( ) 2 1 cos 2.0t = ；第一象限，取 ( ) 2 3 sin 2.0t = ( ) ( ) 1 sin 0.40sin 2.0 0.34 − x = −A t + = − t = − ms 负号表示速度沿 x 轴方向。 §3 旋转矢量 Rotary Vector 矢量 A 的模等于谐振动的振幅 A，则 A 以 沿逆时针作 圆周运动，其端点在 x 轴上的投影 P 点的运动，可以表示物 体在 x 轴上的谐振动。 o x x0 m k x P t t+ A M M0 x 旋转矢量示意图