教案第一章质点运动学 第一章质点运动学Motion of particles 说明：由于本章内容在高中已有接触，故在讲解中着重于从下入手，导出下、ā，然后 利用积分方法，重点是建立瞬时的概念。 §1质点运动的描述Discription of motion of particles 1.位置矢量 表示质点在坐标系中的位置， F=xi+习+k P(x.V.Z) 质点运动时，位置矢量下是随时间变化的。因此下是时间的 函数，即：下=(1) 我们称上式为质点的运动方程。 例题1.如图，设绳的原长为lo,人以匀速%拉绳 0 子，试写出小船的运动学方程。 解：建立如图所示的Ox坐标轴，1-0时，绳长为 0 ~m:此时船的坐标是：x=。-o)- 上式即为小船的运动学方程，它指出小船的 位置x随时间t的变化规律。 讨论：v=本 (船的速度如何？)讲速度之前的思考讨论题。 (lo-vot) ,负号表示速度方向，与x轴正相反。 h0。-wP-H 问题：在中学也处理过此问题，当时是怎样解决此 问题的，为什么要那样处理，与现在的办法比较， 质点的运动路径 哪种简单一些？ 当质点运动时，其位置矢量发生变化，这个变 化，我们用位移来描述，如右图所示
教案 第一章 质点运动学 1 第一章 质点运动学 Motion of particles 说明：由于本章内容在高中已有接触，故在讲解中着重于从 r 入手，导出 v 、a ，然后 利用积分方法，重点是建立瞬时的概念。 §1 质点运动的描述 Discription of motion of particles 1. 位置矢量 表示质点在坐标系中的位置， r xi yj zk = + + 质点运动时，位置矢量 r 是随时间变化的。因此 r 是时间的 函数，即： r r(t) = （1） 我们称上式为质点的运动方程。 例题 1．如图,设绳的原长为 l0，人以匀速 v0 拉绳 子，试写出小船的运动学方程。 解：建立如图所示的 ox 坐标轴，t=0 时，绳长为 l0-v0t；此时船的坐标是： ( ) 2 x = l 0 − v0 t − H 上式即为小船的运动学方程，它指出小船的 位置 x 随时间 t 的变化规律。 讨论： dt dx v = (船的速度如何？)讲速度之前的思考讨论题。 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 l v t H l v t dt dx v − − − = = − 负号表示速度方向，与 x 轴正相反。 问题：在中学也处理过此问题，当时是怎样解决此 问题的，为什么要那样处理，与现在的办法比较， 哪种简单一些？ 当质点运动时，其位置矢量发生变化，这个变 化，我们用位移来描述，如右图所示， x H v0 l x x O H v0 l x O H v0 l x O y x z P(x,y,z) r y x z r rA rB 质点的运动路径
教案第一章质点运动学 △F=万8-元4 .F=xi+yaj Fa=xgi +ygj ∴.=(xB-x)万+6ya-y月 说明：位置矢量可以确定质点当前位置，与坐标系选取的原点有关：位移是位置矢量的 变化量，与坐标系选取的原点无关。 2.速度、加速度 而，同理：石本 定义时宝回- 说明：速度的方向是位移的方向，不是位置矢量的方向：加速度的方向是速度增量的方 向，不一定是速度的方向，圆周运动就是例子。 已知7可按石=在求得石，从而运用F=m面求得下：现在倒过来通过积分，即可 求得运动方程，以ā为恒量。 例：设1=0时，下=，下=下得 C下=下o+al r-元=w+5ad 2.1位移一时间曲线与速度时间曲线 点：A点表示时刻1质点的位置为x。 斜率：曲线上A点切线的斜率为该时刻质点瞬时速度的大小，v=gQ= dx d
教案 第一章 质点运动学 2 B A r r r = − r x i y j A A A = + r x i y j B B B = + r (x x )i (y y )j B A B A = − + − 说明：位置矢量可以确定质点当前位置，与坐标系选取的原点有关；位移是位置矢量的 变化量，与坐标系选取的原点无关。 2．速度、加速度 定义瞬时速度： dt dr x r v x = = → lim 0 , dt dr v = ，同理： dt dv a = 说明：速度的方向是位移的方向，不是位置矢量的方向；加速度的方向是速度增量的方 向，不一定是速度的方向，圆周运动就是例子。 已知 r 可按 dt dv a = 求得 a ，从而运用 F ma = 求得 F ；现在倒过来通过积分，即可 求得运动方程，以 a 为恒量。 例：设 t=0 时， 0 r r = ， 0 v v = 得 v v at = 0 + 2 0 0 2 1 r − r = v t + at 2.1 位移－时间曲线与速度时间曲线 点：A 点表示时刻 t 质点的位置为 x。 斜率：曲线上 A 点切线的斜率为该时刻质点瞬时速度的大小， dt dx v = tg = ； x x 0 t t A x x 0 t t A v B 0 t t v0 v v B 0 t t v0 v
教案第一章质点运动学 点：B点切线的斜率表示该时刻质点加速度的大小，Q=gB=中 dt 面积：曲线与o轴所围的面积为该段时间内的位移，上方为正，下方为负。 例题2：一质点的运动方程为x=b1-c12;b,c>0,x一1图如下图所示，试求任一时刻 的v,a,并作图。 T A b b 解：由速度的定义有：v=血=b-2c 同理有：4=小=-2c 讨论：由作出的v一1图形，可求得该质点1=0→1= 名时间内的位移为上边三角形面 14 积6.662 26·=二：同理名→2的位移为、6 2c c ：而 2e 0→的位移为：即质点又回到原点。 2 S2加速度为恒量时的质点运动Motion of particles with constant acceleration 1.加速度为恒矢量时质点的运动方程： 当石为恒矢量时，由加速度的定义ā-东得： [d=ad:设t0时，vvo有 下=i。+al 3
教案 第一章 质点运动学 3 点：B 点切线的斜率表示该时刻质点加速度的大小， dt dv a = tg = ; 面积：曲线与 ot 轴所围的面积为该段时间内的位移，上方为正，下方为负。 例题 2：一质点的运动方程为 ( ) 2 x t = bt − ct ;b，c>0，x－t 图如下图所示，试求任一时刻 的 v，a，并作图。 解：由速度的定义有： b ct dt dx v = = − 2 同理有： c dt dv a = = −2 讨论：由作出的 v－t 图形，可求得该质点 c b t t 2 = 0 → = 时间内的位移为上边三角形面 积 c b c b b 2 2 4 1 2 = ； 同理 c b c b → 2 的位移为 c b 4 2 − ； 而 c b 0 → 的位移为 0；即质点又回到原点。 §2 加速度为恒量时的质点运动 Motion of particles with constant acceleration 1．加速度为恒矢量时质点的运动方程： 当 a 为恒矢量时，由加速度的定义 dt dv a = 得： = v t v vdt adt 0 0 ；设 t=0 时，v=v0 有 v v at = 0 + c b 4 2 b 2c b c x o y v b 0 t c b 2 c b a 0 c b 2 c b t -2c
教案第一章质点运动学 在y坐标系中有：y,=yo+a,l y,="0+a,1 设0时，质点的位矢为。，根据速度的定义有： 广d=di+adh,即r-后=+ar 上式即为此情况下质点的运动方程，写成分量形式为： =+ y-Yo=Yl+,f 在oxy坐标系中，其分量式和矢量式的图形如图所示。 在运动方程中消去时间t可得到y(x)函数表达式，这就是质点在平面上运动时的轨迹方程。 2.斜抛运动 在y坐标系中的斜抛运动中，ā=ā，=g即考虑地球表面附近的斜抛运动，则有： F=w1+58到 由图中可以看出，斜抛运动可作看是沿x轴成α角的匀速直线运动与y轴方向匀加速直线 运动叠加而成。而且这两个运动是互不影响的，这就是通常所说的运动叠加原理。 下面讨论斜抛运动中的轨迹方程和最大射程问题： 设0时，x0=0,0=0:o=c0sa,o=osn 则有：x=1 y=vosmna.-8 消去时间t得其轨迹方程：为=g2-2行cos a 上式是一个抛物线方程，说明抛体的路径为一抛物线。 抛物的射程即当y0时，其x值，由y=,sna1-8得： 1=2m:代入x=,sma1得： g
教案 第一章 质点运动学 4 在 xy 坐标系中有： v v a t x = x0 + x v v a t y = y0 + y 设 t=0 时，质点的位矢为 0 r ，根据速度的定义有： = + r t t r dr v dt a dt 0 0 0 0 ，即 2 0 0 2 1 r r v t at − = + 上式即为此情况下质点的运动方程，写成分量形式为： 2 0 0 2 1 x x v t a t − = x + x 2 0 0 2 1 y y v t a t − = y + y 在 oxy 坐标系中，其分量式和矢量式的图形如图所示。 在运动方程中消去时间t可得到y(x)函数表达式，这就是质点在平面上运动时的轨迹方程。 2．斜抛运动 在 xy 坐标系中的斜抛运动中， a ay g = = 即考虑地球表面附近的斜抛运动，则有： 2 0 2 1 r v t gt = + 由图中可以看出，斜抛运动可作看是沿 x 轴成角的匀速直线运动与 y 轴方向匀加速直线 运动叠加而成。而且这两个运动是互不影响的，这就是通常所说的运动叠加原理。 下面讨论斜抛运动中的轨迹方程和最大射程问题： 设 t=0 时，x0=0，y0=0； v0x = v0 cos ，v0y = v0 sin 则有： x = v cos t 0 2 0 2 1 y = v sin t − gt 消去时间 t 得其轨迹方程为： 2 2 2 0 2 cos 2 x v y y xtg = − 上式是一个抛物线方程，说明抛体的路径为一抛物线。 抛物的射程即当 y=0 时，其 x 值，由 2 0 2 1 y = v sin t − gt 得： g v t 2 0 sin = ；代入 x = v sin t 0 得：
教案第一章质点运动学 x=2visn acosa=sin g 最大射程条件为：产=0：即a=受时、-一是 若考虑空气阻力，则物体经过的路径为一不对称的 曲线，实际射程要比真空中的射程小很多，示意图如右 、真空中路径 图所示。 实际路径 下面给出几个真空中和空气中弹力的射程数据 初速mls射角 真空射程m实际射程m 7.6mm子弹 800150 32700 3870 85mm炮弹 700 450 50000 16000 82mm炮弹60450367 350 利用斜抛体的运动方程，经适当修正，可粗略估算出洲际导弹的射程。 s3圆周运动、切向加速度和法向加速度Circular motion, centripetal acceleration 1.圆周运动的切向加速度和法向加速度 如图作圆周运动的质点在△1时间内，由A到B,速度 △ 18 由下，变为下B,△行=下。-下4，若以下4为半径作圆弧交下a于 c点，画出△节n和△币，则有：△=△in+△， 显然△下，反映速度的数值变化，而△，反映其方向变 △币 =a+a 化，a-m智-m是+m怨 当f→0时，0→0，△y,=v4-Va=△v △_ .a.=lim di' 方向为切线方向
教案 第一章 质点运动学 5 2 2 0 2 0 sin 2 sin cos g v g v x = = 最大射程条件为： = 0 d dx ；即 4 = 时， g v x 2 0 max = 若考虑空气阻力，则物体经过的路径为一不对称的 曲线，实际射程要比真空中的射程小很多，示意图如右 图所示。 下面给出几个真空中和空气中弹力的射程数据 初速 m/s 射角 真空射程 m 实际射程 m 7.6mm子弹 800 150 32700 3870 85mm 炮弹 700 450 50000 16000 82mm 炮弹 60 450 367 350 利用斜抛体的运动方程，经适当修正，可粗略估算出洲际导弹的射程。 §3 圆周运动、切向加速度和法向加速度 Circular motion, centripetal acceleration 1．圆周运动的切向加速度和法向加速度 如图作圆周运动的质点在 t 时间内，由 A 到 B，速度 由 A v 变为 B v ， B A v v v = − ，若以 A v 为半径作圆弧交 B v 于 c 点，画出 n v 和 v ，则有： v v v n = + 显然 v 反映速度的数值变化，而 n v 反映其方向变 化， a a t v t v t v a n t n t t = + + = = → → → lim 0 lim 0 lim 0 当 t →0 时， →0， v v v v = A − B = dt dv t v a t = = → lim 0 ，方向为切线方向， O A B vA vB vC vA vA v vC C 真空中路径 实际路径