T=sup!Tx】= sup Tr (6) 证明因为 ITI= sup iTr!!= sup 1- = sup z07 x39(T) x∈(T 令x,则!=1,且v∈(T),所以 T≤sup!T!≤up|Tx (7 反之,若r∈(T),x≤1,則由(5) Tx≤Tz≤:到, 所以 sup tr≤|r (8) 由(7)和(8)式,得知(6)式成立,证毕 II.线性有界算子和线性连续泛函的例子 例6线性赋范空间X上的相似算子Tx=ax是线性有界算 子,且!=|a|,特别Ix!=1,!O1=0 例7设X=C[0,13,K(,τ是矩形[0,1]×[0,1]上的二元 连装函数,对每个r∈C[0,门,定义 Tz(t)=K(t,τ)xr(r)dr 易知T是C[0,1]到C[0,1]中的线性算子,这个算子称为积分算 子,其中函数K(t,τ)称为T的核,又因为 a(t)≤max|x(t)|=!xl 所以 m2(4)x)m1(,)|x(a
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< Ik(t, t) dr xl 因此T是有界算子,可以明此时們]=max.1r(t,t)ldr 0≤t≤1」0 例8对任何fD[a,b],作 Tf(t)= f(r)dr, 则T为L[a,b到L[a,b中的线性算子,又因为 ∫(τ)dr!dt≤lf(x)drc ∫(r)!dr·1dt=(b-a)lf 所以≤b-a,另-方面,对任何使a+1<b的自然数n,作 函数 f2(t) 1 容易知道此时f:=1.而且 INfl fn(r)dr i d (t-a)d+:1d 所以≥ sup Tf1b-a,从而!Tl=b-a, 最后举一个无界算子的例子 例9考察例2中的微分算子Tx(t)=ax(t),若视3[0,1 为C[0,1]的子空间,令x(t)=t",则|xn=1,但|Txzl= max|ntx“4=n,所以!T≥;Tr。=靠,即T是无界算子
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