复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第九章 数学物理方程的定解问题

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU =ac0n.)+1c0组mx,x)+ sin(T, y)d dy ay 列方程:根据牛顿第二定律 adSu, F(x, ndS+TI (n+un)=f(xn),其中f( F(x,y,1) 令 则|n-av2=f(x,y,1) 应力张量7=x21x2z2,其中x是作用于垂直于k轴的平面上的力, T TT 其方向沿l轴,如rn是y面上沿x轴的力(k,l=1,2,3) 1f12/13 刚体=1x,转动惯量张量7=1l2l2 In=dm(x+x2+33)5+(1) -x, 1, 1=Jdm(x+x)为对x的转动惯量,12=」 Sdmx 42=1=jdmx为惯量积 Review:在上述振动问题中存在弹性力,一来有恢复力-kVu,二来有加速度 所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的,有l 4.热传导方程(3+1D热传导现象,热传导定律和能量守恒) (1)定变量:点(x,y,z)在I时刻的温度为u(x,y,x,)(热量无法直接测量)。 (2)立假设:1)已知两个物理量物质密度p(x,y,z)一单位体积的质量比热 c(x,y,z)一在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2)给定物质内部的热源强度Q(x,y,z,1)一在单位时间单位体积 6

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 6 ( ) (u u ) S y u u x y x u x y u x y u y x u y l y u x x u n y l y u n x x u l n u xx yy S xx yy l l l l l d d d d d d d d cos( , ) cos( , ) d sin( , ) sin( , ) d = + = +           +   = −           −   =         +   =         +   =           列方程：根据牛顿第二定律 dSutt = F(x,t)dS + T(uxx + uyy )dS ，即 (u u ) f (x,t) T utt − xx + yy =  ，其中 ( , , ) ( , , ) F x y t f x y t  = . 令  T a = ，则 2 2 ( , , ) tt u a u f x y t −  = . 应力张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 T              =       ，其中 kl  是作用于垂直于 k 轴的平面上的力， 其方向沿 l 轴，如 xx  是 yz 面上沿 x 轴的力 ( , 1,2,3). k l = 刚体 0 J I =  ,转动惯量张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 I I I I I I I I I I     =       , 222 1 2 3 d [( ) ( 1) ], kl kl kl k l I m x x x x x   + + + −   2 2 11 2 3 I m x x  + d ( )  为对 x 的转动惯量, 12 1 2 21 2 1 I mx x I mx x = = = d d   为惯量积。 Review: 在上述振动问题中存在弹性力，一来有恢复力− ku, 二来有加速度 , utt 所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的，有 . t u 4．热传导方程(3+1D 热传导现象,热传导定律和能量守恒) (1)定变量：点 (x, y,z) 在 t 时刻的温度为 u(x, y,z,t) （热量无法直接测量）。 (2)立假设：1) 已知两个物理量:物质密度 (x, y,z)—单位体积的质量;比热 c(x, y,z) —在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2) 给定物质内部的热源强度 Q(x, y,z,t) —在单位时间单位体积

Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。 3)物质内部热交换过程遵从 Fourier定律(热传导定律):流过 物质内部任意曲面的热流强度(在单位时间内垂直通过单位 面积的热量)q与温度梯度成正比,即q=-kV,其中,k>0 称为导热系数。q为辅助量 (3)取区域:体积元△V,它的边界面为S (4找作用:在单位时间内, 通过整个S面流入的热量为(*) 仔qds=-V △F中物质产生的热量为cr 温度升高所需热量为qa0d (5)列方程:由物质内部热交换过程的能量守恒定律,有 d(热增)=邢fvd(吸热)+fOd(热源) (*):例如上图中方向、通过y截面在M时间内体积元△V吸热 q4y△△M-ql△y△=O o q(r, AVA/a,au (k)△△t 同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式(将面积分化为体积分),末个等式用到了热传导定律。 由于△V是任意的,因此, v·q+Q kVu+O 如果p和c是常数,令a2=k,则 a2V2u=∫(x,y,x,1),其中f(G,1)=Q/cr 稳定态(=0):V=-a2 (Piosson eq); 无外源(f=0):V2u=0( Laplace eq

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 7 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。 3) 物质内部热交换过程遵从 Fourier 定律（热传导定律）：流过 物质内部任意曲面的热流强度（在单位时间内垂直通过单位 面积的热量） q  与温度梯度成正比，即 q = −ku  ，其中， k  0 称为导热系数。 q  为辅助量。 (3)取区域：体积元 V ，它的边界面为 S . (4)找作用：在单位时间内， 通过整个 S 面流入的热量为（*） q S q V S V d d       −  = −   ; V 中物质产生的热量为 Q V V d   ; 温度升高所需热量为 V t u c V d      . (5)列方程：由物质内部热交换过程的能量守恒定律，有 d ( ) d d V V V u c V q V Q V t      = −  +     热增 （吸热） （热源）. （*）：例如上图中 x ˆ 方向、通过 yz 截面在 t 时间内体积元 V 吸热： | | ( , ) ( ) . x x x u q y z t q y z t q x t V t k V t x x x +        −    = −   =      同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式（将面积分化为体积分），末个等式用到了热传导定律。 由于 V 是任意的，因此， = −  +    q Q t u c   k u Q t u c =  +   2  . 如果 和c 是常数，令 c k a  = 2 ，则 ( , , , ) 2 2 a u f x y z t t u −  =   , 其中 f r t Q c ( , ) =  . 稳定态 ( 0) : u t  =  2 2 f u a  = − (Piosson eq.); 无外源 ( 0) : f = 2  = u 0 (Laplace eq.）