例2:求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3) 的平面的方程 解:先找出该平面的法向量n 由于n与向量MM2M1M3都垂直 而MM2=(-3,4,-6}MM=(2,3,-1} 可取n=M1M2×M1M3 k =-34-6=14+9j-k 23 所以,所求平面的方程为 14(x-2)+9(+1)-(z-4)=0 即:14x+9y-x-15=0
n M3 M2 M1 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2 , M1M3都垂直. 而M1M2={−3, 4, −6} M1M3={−2, 3, −1} 可取n = M1M2 M1M3 2 3 1 3 4 6 − − = − − i j k = 14i + 9j − k 例2: 求过三点M1 (2, −1, 4), M2 (− 1, 3, −2)和M3 (0, 2, 3) 的平面的方程. 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 1) − (z − 4) = 0 即: 14x + 9y − z − 15 = 0
例3、已知两点M(1,2,3)M23,0,-1),求线段的垂直 平分面π的方程。 解:因为矢量MM2={2,2,-4}=2{1,1,-2} 垂直于平面π,所以平面π的一个法矢量为 {1,1,2} 又所求平面过点MM2的中点M6(2,-1,1),故 平面的点法式方程为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
例3、已知两点M1 (1,-2,3),M2 (3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}. 又所求平面过点M1M2的中点M0 (2,-1,1)，故 平面的点法式方程为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
平面的一般方程 1.定理1:任何x,y,=的一次方程.Ax+By+Cz+D=0 都表示平面,且此平面的一个法向量是 n=A,B, C 证:A,B,C不能全为0,不妨设A≠0,则方程可以化为 x-(-)+B(y-0)+C(=-0)=0 它表示过定点M0(-,0,0) 且法向量为n={A,B,C}的平面 注:一次方程Ax+B+Cz+D=0(2) 称为平面的一般方程
三、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为 ( ) + ( − 0) + ( − 0) = 0 − − B y C z A D A x 它表示过定点 ( ,0,0) 0 A D M − 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2) 称为平面的一般方程. 且法向量为 n = {A, B, C}的平面
例2:已知平面过点M(-1,2,3),且平行于 平面2x-3y+4x-1=0,求其方程 解:所求平面与已知平面有相同的法向量 n={2-3,4} 2(x+1)-3(-2)+4(x-3)=0 2x-3y+4z-4=0
例2: 已知平面过点M0 (−1, 2, 3), 且平行于 平面2x −3y + 4z −1= 0, 求其方程. 解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 −3, 4} 2(x +1) − 3(y −2) + 4(z − 3) = 0 即: 2x − 3y + 4z −4 = 0
2.平面方程的几种特殊情形 (1)过原点的平面方程 由于O0,0,0)满足方程,所以D=0 于是,过原点的平面方程为 Ax+ By+Cz=0
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0