第四讲随机变量的数字特征 内容提要 (1)随机变量的数学期望(直接计算,随机变量函数的期望,期望的性质) 方差(直接计算,性质 (2)协方差、协方差矩阵与相关系数(计算,性质) (3)矩和混合矩 (4)常见分布的期望与方差 典型问题 问题1:由给定背景或分布,求相关随机变量的数学期望与方差 问题2:求随机变量函数的数学期望与方差 问题3:协方差相关系数协方差矩阵的计算以及独立性相关性的讨论 问题4:综合应用问题的求解 典型例题 例41.选择题: (1)设随机变量X的方差存在,且记EX=,则对任意常数C,必有 (A)E(X-C)2=EX2-C2(B)E(X-C)2=E(X-)2 (C)E(X-C)<E(X-A) (D)E(X-C)2E(X-A (2)设随机变量x的概率密度为()={+0x1,又x的期望Ex=3 其他 则X的标准差为 (A)/I (B (C)./1 (D) V150 V15 (3)设随机变量X和Y的方差存在且为正,则D(X+Y)=DX+Dy是X与Y (A)不相关的充分条件,但不是必要条件 (B)独立的必要条件,但不是充分条件 (C)不相关的充要条件 (D)独立的充要条件 (4)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量 5=X+Y与n=X-y不相关的充要条件为 (A EX= EY (B) EX-(EX)=EY-(EY) (C) EX= EY (D) EX +(EX)=EY +(EY)
第四讲 随机变量的数字特征 内容提要 （1）随机变量的数学期望（直接计算，随机变量函数的期望，期望的性质） 方差（直接计算，性质） （2）协方差、协方差矩阵与相关系数（计算，性质） （3）矩和混合矩 （4）常见分布的期望与方差 典型问题 问题 1: 由给定背景或分布, 求相关随机变量的数学期望与方差 问题 2: 求随机变量函数的数学期望与方差 问题 3: 协方差相关系数协方差矩阵的计算以及独立性相关性的讨论 问题 4: 综合应用问题的求解 典型例题 例 4.1. 选择题： （1） 设随机变量 X 的方差存在，且记 EX = µ ，则对任意常数 C，必有 （A） E(X − C) 2 = EX 2 − C2 （B） 2 2 E(X − C) = E(X − µ) （C） E(X − C) 2 < E(X − µ) 2 （D） 2 2 E(X − C) ≥ E(X − µ) （2）设随机变量 X 的概率密度为 ，又 X 的期望 ⎩ ⎨ ⎧ + < < = 0 其他 0 1 ( ) a bx x f x 5 3 EX = ， 则 X 的标准差为 （A） 150 11 （B） 150 121 （C） 15 11 （D） 30 13 （3） 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且为正，则 D(X + Y ) = DX + DY 是 X 与 Y （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件，但不是充分条件 （C）不相关的充要条件 （D）独立的充要条件 （ 4 ） 设二维随机变量（ X ， Y ）服从二维正态分布，则随机变量 ξ = X + Y与η = X −Y 不相关的充要条件为 （A） EX = EY （B） 2 2 2 2 EX − (EX ) = EY − (EY) （C） 2 2 EX = EY （D） 2 2 2 2 EX + (EX ) = EY + (EY)
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和y的相关系数等于 (A)-1(B)0(C)1/2(D)1 例42.填空题 (1)三名队员投篮的命中率分别为045、0.5和04,且相互独立,现在让每人 各投一次,则三人总进球次数的期望是 (2)设随机变量X服从参数为的指数分布,则P{X>√D}= (3)设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布;随机变量 若X>0, 若X=0, 若X<0 则方差DY= (4)随机变量X和Y的联合概率分布为 0.08 0.32 则X2和y2的协方差Cov(X2,2)= (5)设随机变量x1,X2…,X(n>1)独立同分布,且其方差为a2>0.令 Y=∑X,则Cov(X,Y)= 例43.现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,今某人从中随机无放回 地抽取3张,则此人得奖的金额的数学期望为多少 例44.某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品 进行检验,如发现其中的次品数多于1个,就去调整设备.假设各产品是否为次 品是相互独立的,以Ⅹ表示一天中调整设备的次数,试求E(X)和D(X) 例45.某流水线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互 独立,当出现不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已产生了的产品 个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X)。 例46.抛一颗均匀骰子直到出现点数6,试估计你要抛的平均次数 例47.设随机变量X的概率密度函数为
（5） 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数， 则 X 和 Y 的相关系数等于 （A）−1 （B）0 （C）1/2 （D）1 例 4.2. 填空题： （1） 三名队员投篮的命中率分别为 0.45、0.5 和 0.4，且相互独立，现在让每人 各投一次，则三人总进球次数的期望是 . （2） 设随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布，则 P{X > DX }= . （3） 设随机变量 X 在区间[-1，2]上服从均匀分布；随机变量 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1 0. 0 0, 1 0, X X X Y 若 若 若 则方差 DY = . （4） 随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 Y X -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.2 则 2 X 和 2 Y 的协方差Cov( , ) = 2 2 X Y . （5） 设随机变量 X1 , X 2 ,L, X n (n > 1) 独立同分布，且其方差为 σ2 > 0. 令 ∑= = n i Xi n Y 1 1 ，则 Cov( , ) = X1 Y . 例 4.3. 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，今某人从中随机无放回 地抽取 3 张，则此人得奖的金额的数学期望为多少. 例 4.4. 某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件产品 进行检验，如发现其中的次品数多于 1 个，就去调整设备. 假设各产品是否为次 品是相互独立的，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求 E（X）和 D（X）. 例 4.5. 某流水线上每个产品不合格的概率为 p（0<p<1），各产品合格与否相互 独立，当出现不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已产生了的产品 个数为 X，求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）。 例 4.6. 抛一颗均匀骰子直到出现点数 6，试估计你要抛的平均次数. 例 4.7. 设随机变量 X 的概率密度函数为
2x0<x<1 f(x)= 0其他 试求P(X-EXE2√Dx) 例48.设随机变量X,Y,Z相互独立,且X服从[06上的均匀分布,Y服从正态 分布N(0,2),Z服从参数为的指数分布,试求E(Y-2)2和D(X+2Y-3Z) 例49.设随机变量X的具有连续的密度函数为f(x),令ha)=E|X-a,试证 明:当a满足P(X≤a)=时(此时称a为X的中位数,ha)达到最小 例410.设随机变量X的概率密度函数为 f(x)={2°2 0≤x≤丌 其他 对X独立地重复观察4次,用y表示观察值大于x的次数,求y2的数学期望 例411.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25 分钟和55分钟从底层起行,假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处 且X在[0,60上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望 例412.假设一电路由4个同种电子元件,其工作状况相互独立,无故障工作时 都服从参数为A>0的指数分布,当4个元件都无故障工作时,电路正常工作, 否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间T的概率分布、数学期望与 方差 例413.设随机变量ⅹ的分布列为 06b2 若随机变量Y=X2,Z (1)试求Cov(,Z),并问Y与Z是否相关(2)求二维随机变量(Y,Z)的联合 分布列(3)试问Y与Z是否独立?为什么? 例414.已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(,v)=C(+y+xy)0<x,y<l 其它
⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 其他 2 0 1 ( ) x x f x 试求 P(| X − EX |≥ 2 DX ) 例 4.8. 设随机变量 X, Y, Z 相互独立，且 X 服从[0,6]上的均匀分布，Y 服从正态 分布 N(0, 22 ), Z 服从参数为 3 1 的指数分布，试求 和 . 2 E(XY − Z) D(X + 2Y − 3Z) 例 4.9. 设随机变量 X 的具有连续的密度函数为 f (x) ，令h(a) = E | X − a |，试证 明：当 a 满足 2 1 P(X ≤ a) = 时（此时称 a 为 X 的中位数），h(a) 达到最小。 例 4.10. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = 0 其他 0 2 cos 2 1 ( ) x π x f x 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 π 的次数，求 2 Y 的数学期望. 例 4.11. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处， 且 X 在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. 例 4.12. 假设一电路由 4 个同种电子元件，其工作状况相互独立，无故障工作时 都服从参数为λ > 0 的指数分布，当 4 个元件都无故障工作时，电路正常工作， 否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作时间 T 的概率分布、数学期望与 方差。 例 4.13. 设随机变量 X 的分布列为 X -2 0 2 P 0.2 0.6 0.2 若随机变量Y ， 2 3 = X , Z = X （1）试求 ，并问 Y 与 Z 是否相关（2）求二维随机变量（Y, Z）的联合 分布列（3）试问 Y 与 Z 是否独立？为什么？ Cov(Y, Z) 例 4.14. 已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ + + < < = 0 其它 (1 ) 0 , 1 ( , ) C y xy x y f x y
(1)试确定常数C (2)试问X与Y是否相互独立?为什么? (3)试问ⅹ与Y是否不相关?为什么?如果相关的话,其相关系数是多少 例415.已知二维随机变量(X,y)的概率密度为 f(x, y) J12y2 0<ysx< 0 其它 试求:(1)E(X-Y)2(2)X与Y的协方差 例416.对于任意二事件A与B,0<P(A)<1,0<P(B)<1 P(AB)-P(AP(B) P(A(-P(A)P(B1-P(B) 称为事件A与B的相关系数 (1)证明事件A与B独立的充分必要条件是其相关系数等于0 (2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明|p 例417.供电公司每月可以供应某工厂的电力服从[0,30](单位:万度)上均 匀分布,而该工厂每月实际生产所需要的电力服从[10,20上的均匀分布。如果 工厂能从供电公司得到足够的电力,则每一万度电可创造30万元的利润,若工 厂从供电公司得不到足够的电力,则不足部分由工厂通过其它途径自行解决,此 时,每一万度电只能产生10万元的利润。问该工厂每月的平均利润为多大? 第五讲大数定律与中心极限定理 内容提要 (1)依概率收敛(定义及判断) (2) Chebyshev不等式(计算及应用 (3)大数定律( hebyshev大数定律, Bernoull i大数定律, Khinchine大数定 律) (4)中心极限定理( Lindeberg-Levy中心极限定理, De Moivre-Lap lace中心 极限定理,近似计算 典型问题 问题1: Chebyshev不等式与大数定律的相关问题 问题2:中心极限定理及其应用题 典型例题
（1）试确定常数 C; （2）试问 X 与 Y 是否相互独立？为什么？ （3）试问 X 与 Y 是否不相关？为什么？如果相关的话，其相关系数是多少. 例 4.15.已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ < = 0 其它 12 0 1 ( , ) 2 y y x f x y 试求：（1） （2）X 与 Y 的协方差. 2 E(X − Y) 例 4.16. 对于任意二事件 A与B ，0 1 < P( ) A < ,0 < P(B) < 1, ( )(1 ( )) ( )(1 ( )) ( ) ( ) ( ) P A P A P B P B P AB P A P B − − − ρ = 称为事件 A与B 的相关系数。 （1） 证明事件 A与B 独立的充分必要条件是其相关系数等于 0； （2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明| ρ |≤ 1. 例 4.17. 供电公司每月可以供应某工厂的电力服从[10，30]（单位：万度）上均 匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从[10，20]上的均匀分布。如果 工厂能从供电公司得到足够的电力，则每一万度电可创造 30 万元的利润，若工 厂从供电公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其它途径自行解决，此 时，每一万度电只能产生 10 万元的利润。问该工厂每月的平均利润为多大？ 第五讲 大数定律与中心极限定理 内容提要 （1）依概率收敛（定义及判断） （2）Chebyshev 不等式（计算及应用） （3）大数定律（Chebyshev 大数定律，Bernoulli 大数定律,Khinchine 大数定 律） （4）中心极限定理（Lindeberg-Levy 中心极限定理, De Moivre-Laplace 中心 极限定理,近似计算） 典型问题 问题 1: Chebyshev 不等式与大数定律的相关问题 问题 2: 中心极限定理及其应用题 典型例题
例5.1选择题 (1)设随机变量X的方差为2,则根据切贝雪夫不等式有估计P{XEX22}≤ (A)1(B (C) (D) (2)设随机变量x13X2,…,Xn…独立同分布,其分布函数为 (x)=a+- arctan,,-∞<x<∞,b≠0 则辛钦大数定律对此序列 (A)适用 (B)当常数a和b取适当数值十适用 (C)不适用(D)无法判别 (3)设随机变量X1,X2…,X相互独立,Sn=X1+X2+…+Xn,则根据列维 林德伯格(Lewy- Lindeberg)中心极限定理,当n充分大时,S,近似服从正态分布, 只要X1,X2…,X (A)有相同的数学期望, (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布, (D服从同一离散型分布 (5)设X1,X2,…,Xn…为独立同分布的随机变量序列,且X,(=1,2,…)服从参数 为λ≠1的指数分布,则 A∑X-n ∑X (A) lim P(al (B) lim P( ∑X-λ ∑X,-2 (C) lim P( ≤x)=Φ(x)(D)limP( ≤x)=Φ(x) 例5.2.填空题 (1)随机变量X和Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 -0.5,则根据切比雪夫不等式P(X+YP6)≤ (2)已知随机变量X的数学期望为10,方差DX存在且P(-20<X<40)≤0.9, 则DX (3)设K1X2…Xn…为独立同分布的随机变量序列,且X,(i=12…)服从参数 为2的指数分布,则n→当时,,=1∑x依概率收敛于
例 5.1.选择题： （1）设随机变量 X 的方差为 2, 则根据切贝雪夫不等式有估计 P{|X-EX|≥2} ≤ （A） 2 1 （B） 3 1 （C） 4 1 （D） 8 1 （2）设随机变量 X1 , X 2 ,L, X n，L独立同分布，其分布函数为 = + − ∞ < x < ∞ b x F x a arctan , 1 ( ) π ，b ≠ 0 则辛钦大数定律对此序列 （A）适用 （B）当常数 a 和 b 取适当数值十适用 （C）不适用 （D）无法判别 (3) 设随机变量 相互独立, X X X n , , , 1 2 L Sn = X1 + X 2 +L+ X n , 则根据列维- 林德伯格(Levy-Lindeberg)中心极限定理, 当 n 充分大时, 近似服从正态分布, 只要 Sn X X X n , , , 1 2 L (A)有相同的数学期望, (B)有相同的方差, (C)服从同一指数分布, (D)服从同一离散型分布. (5) 设 X1 , X 2 ,L, X n，L为独立同分布的随机变量序列，且 X (i = 1,2,L) i 服从参数 为λ ≠ 1的指数分布，则 （A） lim ( ) ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ （B） lim ( ) ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ （C） lim ( ) ( ) 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ λ （D） lim ( ) ( ) 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ λ 例 5.2. 填空题： (1) 随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2, 方差分别为 1 和 4, 而相关系数为 -0.5, 则根据切比雪夫不等式 P(| X + Y |≥ 6) ≤ . (2) 已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P(−20 < X < 40) ≤ 0.9 ， 则 DX ≥ . (3) 设 X1 , X 2 ,L, X n，L为独立同分布的随机变量序列，且 X (i = 1,2,L) i 服从参数 为 2 的指数分布，则n → ∞当时， ∑= = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于