第二讲随机变量及其概率分布 内容提要 1)随机变量及其分布函数(分布函数的性质) (2)离散型随机变量的分布律 (3)连续型随机变量的密度函数及概率计算 (4)重要分布的定义及背景(二项分布,超几何分布,几何分布,负二项分布, Poisson分布,均匀分布,指数分布,Gama分布,正态分布 (5)随机变量函数的分布(离散场合,连续场合 典型问题 问题1:分布律分布函数以及概率密度的基本问题 问题2:分布列密度函数以及分布函数之间的关系 问题3:已知实际背景,求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数) 问题4:已知事件发生的概率,求事件或分布中的未知参数 问题5:利用常见分布求相关事件的概率 问题6:求随机变量函数的分布 典型例题 例2.1.选择题: 0x<0 (1)设函数F(x) 0≤x<1,则F(x) 1x≥1 (A)是随机变量的分布函数 (B)不是随机变量的分布函数 (C)是离散型随机变量的分布函数 (D)是连续型随机变量的分布函数 2 C (2)已知随机变量X的分布列为:P(X=k)∥k=01.2,…,则常数C等 (A)e (B)e-2(C)e3(D)e (3)设随机变量X服从参数为λ>0的泊松分布,设PX=X≤1)=08,则 等于 (A)08(B)2(C)4(D)0.25 (4)已知X3~N(,72),则P(1<X<2)等于 (A)Φ(2)-(1)(B)Φ(√2)-(1) (C)Φ(l)-1/2 (D)Φ(√3)-(√2
第二讲 随机变量及其概率分布 内容提要 （1）随机变量及其分布函数（分布函数的性质） （2）离散型随机变量的分布律 （3）连续型随机变量的密度函数及概率计算 （4）重要分布的定义及背景（二项分布，超几何分布，几何分布，负二项分布， Poisson 分布，均匀分布，指数分布，Gamma 分布，正态分布） （5）随机变量函数的分布（离散场合，连续场合） 典型问题 问题 1: 分布律分布函数以及概率密度的基本问题 问题 2: 分布列密度函数以及分布函数之间的关系 问题 3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数) 问题 4: 已知事件发生的概率, 求事件或分布中的未知参数 问题 5: 利用常见分布求相关事件的概率 问题 6: 求随机变量函数的分布 典型例题 例 2.1. 选择题： （1）设函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ < < = 1 1 0 1 2 0 0 ( ) x x x x F x ，则 F(x) （A）是随机变量的分布函数 （B）不是随机变量的分布函数 （C）是离散型随机变量的分布函数 （D）是连续型随机变量的分布函数 （2）已知随机变量 X 的分布列为： , 0,1,2,L ! 2 ( = ) = k = k C P X k k ，则常数 C 等 于 （A） （B） （C） （D） −1 e −2 e −3 e −4 e （3） 设随机变量 X 服从参数为λ > 0 的泊松分布, 设 P(X = 1X ≤ 1) = 0.8，则λ 等于 （A） 0.8 （B） 2 （C） 4 （D） 0.25 （4） 已知 X 3 ~ N(1,72 ) ，则 P(1 < X < 2)等于 . （A）Φ(2) − Φ(1) （B） ( 2) (1) 3 Φ − Φ （C）Φ(1) −1 2 （D） ( 3) ( 2) 3 3 Φ − Φ
(5)设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min{x,2}的分布函数 (A)是连续函数 (B)至少有两个间断点 (C)是阶梯函数 (D)恰好有一个间断点 例22.填空题 (1)设X服从二项分布B(n,p),且已知P(X=1)=P(X=2), P(X=2)=2P(X=3),则P(X=4)= (2)若随机变量X服从正态分布N(y,2)(G>0),且二次方程y2+4y+X=0无 实根的概率是,则= 「0≤x≤1 (3)设随机变量X的概率密度函数为f(x)={3≤x≤6;若k使得 其它 P(X≥k)=3,则k的取值范围是 2x0<x<1 (4)设随机变量X的概率密度函数为f(x) 0其它,用表示对 X的3次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数,则P(Y=2) (5)已知随机变量X服从正态分布N(3,4),则Y=lnX的概率密度f(y)= 例23.设随机变量X只取正整数值,且概率P(X=k)与k(k+1)成反比,求 X的概率分布 例24.一袋中装有4个球,球上分别记有号码1,2,3,4。从中任意取2个球,以X 记取出的球中小的号码。求X的分布列与分布函数 例25.已知离散型随机变量X的可能取值为-2,0,2,√5,相应的概率依次为, 3,5,7,求P(x2|x≥0 4a8 例26已知随机变量ⅹ服从正态分布N(080032),试求 (1)P(X<0.8036)(2)P(X-0.8k0.006)(3)满足P(X≤C)≤0.95的C 例27.使用了t小时的计算机,在以后M小时内损坏的概率等于M+o(△n),其 中λ为不依赖于t的常数,假设在不相重叠的时间内,计算机损坏与否相互独立
（5） 设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y = min{X ,2}的分布函数 （A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点 例 2.2. 填空题： (1) 设 X 服从二项分布 B(n, p) ，且已知 P(X = 1) = P(X = 2) ， P(X = 2) = 2P(X = 3) ，则 P(X = 4)＝ . (2) 若随机变量 X 服从正态分布 ，且二次方程 无 实根的概率是 ( , )( 0) 2 N µ σ σ > 4 0 2 y + y + X = 2 1 ，则µ = . (3) 设随机变量 X 的概率密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = 0 其它 3 6 0 1 ( ) 9 2 3 1 x x f x ; 若 k 使 得 3 2 P(X ≥ k) = ，则 k 的取值范围是 . (4) 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，用 Y 表示对 ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 其它 2 0 1 ( ) x x f x X 的 3 次独立重复观察中事件 } 2 1 {X ≤ 出现的次数，则 P(Y = 2)= . (5) 已知随机变量 X 服从正态分布 N（3，4），则Y = ln X 的概率密度 f ( y) ＝ Y . 例2.3. 设随机变量 X 只取正整数值，且概率 P(X = k) 与 k(k+1)成反比，求 X 的概率分布. 例 2.4. 一袋中装有 4 个球，球上分别记有号码 1,2,3,4。从中任意取 2 个球，以 X 记取出的球中小的号码。求 X 的分布列与分布函数. 例 2.5. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为− 2，0，2， 5 ，相应的概率依次为 a 1 ， 2a 3 ， 4a 5 ，8a 7 ，求 P(| X |≤ 2 | X ≥ 0). 例 2.6.已知随机变量 X 服从正态分布 N(0.8,0.0032 )，试求： （1） P(X < 0.8036) （2） P(| X − 0.8 |< 0.006) （3）满足 P(X ≤ C) ≤ 0.95 的 C. 例 2.7. 使用了 t 小时的计算机，在以后∆t 小时内损坏的概率等于λt + o(∆t) ，其 中λ 为不依赖于 t 的常数，假设在不相重叠的时间内，计算机损坏与否相互独立
求计算机在T小时内损坏的概率 例28.设随机变量t服从数学期望为-的指数分布,求方程x2+x+4=0有实根 的概率 例29连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Arctan x 0<x<00 试求:(1)常数A、B;(2)P(-1<X<1);(3)随机变量X的概率密度 例2.10.设随机变量Ⅹ具有对称的密度函数,即f(-x)=f(x),证明对任意的 >0,有 (1)F(-a)=1-F(a)=-「f(x)dt (2)P(Xka)=2F(a) (3)P(Xpa)=2(1-F(a)) 例2.11.设随机变量X的概率密度函数为 f(x) 试求:(1)常数C:(2)在对X进行的5次独立观察中,X的取值都小于1的概 例212.实验器皿中产生甲、乙两类细菌的机会是均等的,且产生的细菌数X服 从参数为λ的泊松分布,试求 (1)产生了甲类细菌但没有产生乙类细菌的概率; (2)在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下,有两个乙类细菌的概率。 例2.13设随机变量X的可能取值为1,2,…,k,…,且P(X=k)=,k=1,2,…,令 如果X是偶数 1如果X是奇数 试求Y的分布列 例24.过平面上一点(0,1)任作一直线L与x轴的夹角为a,设a服从区间(0,) 上的均匀分布,求 (1)此直线在ⅹ轴上的截距Z的概率密度 (2)截距Z在1到2之间的概率 例215.设电压V= Asin h,其中A是一个正常数,相角H是一个随机变量, 服从(-,)上的均匀分布,试求电压V的概率密度 例2.16.设随机变量X的概率密度为
求计算机在 T 小时内损坏的概率. 例 2.8. 设随机变量 t 服从数学期望为 2 1 的指数分布，求方程 有实根 的概率. 4 0 2 x + tx + = 例 2.9.连续型随机变量 X 的分布函数为： F(x) = A + Barctan x ，− ∞ < x < ∞ 试求：（1）常数 A、B；（2） P(−1 < X < 1) ；（3）随机变量 X 的概率密度. 例 2.10. 设随机变量 X 具有对称的密度函数，即 f (−x) = f (x) ，证明对任意的 a > 0 ，有 （1） ∫ − = − = − a F a F a f x dx 0 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) （2） P(| X |< a) = 2F(a) −1 (3) P(| X |> a) = 2(1− F(a)) 例 2.11. 设随机变量 X 的概率密度函数为 x x e e C f x − + ( ) = 试求：（1）常数 C；（2）在对 X 进行的 5 次独立观察中，X 的取值都小于 1 的概 率。 例 2.12. 实验器皿中产生甲、乙两类细菌的机会是均等的，且产生的细菌数 X 服 从参数为λ 的泊松分布，试求： （1）产生了甲类细菌但没有产生乙类细菌的概率； （2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。 例 2.13.设随机变量 X 的可能取值为1,2,L, k,L，且 , 1,2,L 2 1 P(X = k) = k = k ，令 ⎩ ⎨ ⎧ − = 如果 是奇数 如果 是偶数 1 X 1 X Y 试求 Y 的分布列. 例 2.14. 过平面上一点(0,1) 任作一直线 L 与 x 轴的夹角为α ，设α 服从区间(0,π ) 上的均匀分布，求 （1）此直线在 x 轴上的截距 Z 的概率密度； （2）截距 Z 在 1 到 2 之间的概率. 例 2.15. 设电压 ，其中 A 是一个正常数，相角 H 是一个随机变量， 服从 V = Asin H ) 2 , 2 ( π π − 上的均匀分布，试求电压 V 的概率密度. 例 2.16. 设随机变量 X 的概率密度为
(x)=1 试求:(1)Y=X2的概率密度:(2)P(<X<1+√2) 例2.17.设随机变量X的概率密度函数为 1≤x≤8 f(x)=13x 0 其他 F(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X的分布函数
= − ∞ < < ∞ − + − f x e x x x , 1 ( ) 2 1 2 π 试求：（1） 2 Y = X 的概率密度；（2） P(1 < X < 1+ 2) 例 2.17. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = 0 其他 1 8 3 1 ( ) 3 2 x x f x F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y = F (X)的分布函数