龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第13章金融证券未定权益的定价 1 Black- Scholes模型的欧式未定权益的定价 1.1术语与基本假定 概念13.1(可行市场)研究金融市场有一个基本的假定,就是无套利原则,也 称套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.(套利的粗略含义是,在开 始时无资本,经过资本的市场运作后,变成有非负的(随机)资金,而且有正资金的概率为 正).因为在出现套利机会时,大量的投机者就会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短 的时期的“混乱〃后,市场就会重返〃正常〃,即回复到无套利状态.在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期,因此,在研究中,普遍地设置无套利假定,这样的市场也 称为可行市场 概念13.2(套期)粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险,称为套期,这种套期事实上是完全套期.如果只抵销了部分风险,则称为部 分套期 定义13.3(欧式期权,欧式未定权益)设某种风险金融证券每份在t时刻的价格 为S,并设它满足以下的 Black- Scholes模型: S, (udt+odB,) 其中μ,σ(>0分别为证券的收益率与波动率.假定当前的银行利率为r,而且不随时间变 化.以这种证券为标的变量( Underlying variable)的欧式看涨期权( European cal l option),是指在=0时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约,按此合约规定乙方有 个权利,能在时刻T以价格K(它称为敲定价格, str iking pr ice)从甲方买进一批(一般 为100份)这种证券.如果时间T时的市场价格Sr低于K,乙方可以不买,而只要时间T时 的市场价格S高于K,乙方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得随机收益为 xr=(Sr-K)+.这种合约(它的数学表示就是Xr=(Sr-K))称为期权.又因为乙 方只能在最终时刻T作出选择,称为欧式期权.此外,乙方希望S尽量大,以便有更多的 获利.也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为看涨期权,或者买权.由于这个合约 能给乙方带来Xr的随机收益,就需要乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0 时刻的价格,称为它的贴水或保证金( premi um).问题是如何确定这个合约在时刻t<T的 价格(包括贴水) 另一种相反的情况是,如果t=0时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约,此合 约规定乙方有一个权利,即能在时刻T以价格为K卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券 如果时刻T时的市场价格Sr高于K,乙方可以不卖.只要时间T时的市场价格S低于K
373 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 13 章 金融证券未定权益的定价 1 Black-Scholes 模型的欧式未定权益的定价 1. 1 术语与基本假定 概念１３．１ （可行市场） 研究金融市场有一个基本的假定, 就是无套利原则, 也 称套利原则, 这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.（套利的粗略含义是，在开 始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为 正）．因为在出现套利机会时, 大量的投机者就会涌向市场进行套利, 于是经过一个相对短 的时期的”混乱”后, 市场就会重返”正常”, 即回复到无套利状态. 在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期, 因此，在研究中, 普遍地设置无套利假定, 这样的市场也 称为可行市场. 概念１３．２（套期） 粗略地说, 以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险, 称为套期, 这种套期事实上是完全套期. 如果只抵销了部分风险, 则称为部 分套期. 定义１３．３（欧式期权，欧式未定权益） 设某种风险金融证券每份在t 时刻的价格 为 St , 并设它满足以下的 Black-Scholes 模型: ( ) dSt = St mdt +sdBt , (13. 1) 其中 m,s (> 0) 分别为证券的收益率与波动率. 假定当前的银行利率为r , 而且不随时间变 化. 以这种证券为标的变量(Underlying Variable)的欧式看涨期权（European call option），是指在t = 0 时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一 个权利，能在时刻T 以价格 K (它称为敲定价格, striking price) 从甲方买进一批(一般 为 100 份)这种证券. 如果时间T 时的市场价格 ST 低于 K ，乙方可以不买, 而只要时间T 时 的市场价格 ST 高于 K ，乙方就得利. 综合起来, 乙方在时刻 T 净得随机收益为 + X = (S - K) T T . 这种合约 (它的数学表示就是 + X = (S - K) T T ) 称为期权. 又因为乙 方只能在最终时刻T 作出选择, 称为欧式期权. 此外, 乙方希望ST 尽量大, 以便有更多的 获利. 也就是有选择权的乙方盼望股票上涨, 所以称为看涨期权, 或者买权. 由于这个合约 能给乙方带来 XT 的随机收益，就需要乙方在t = 0 时刻用钱从甲方购买. 这个合约在t = 0 时刻的价格, 称为它的贴水或保证金(premium). 问题是如何确定这个合约在时刻 t < T 的 价格(包括贴水). 另一种相反的情况是, 如果 t = 0 时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约，此合 约规定乙方有一个权利，即能在时刻T 以价格为 K 卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券. 如果时刻T 时的市场价格 ST 高于 K ，乙方可以不卖. 只要时间T 时的市场价格 ST 低于 K
卖方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得为随机收益Xx=(K-Sr)*.这也是一种欧式 期权,此时乙方盼望Sr尽量小,以便有更多的获利.也就是,乙方盼望股票下跌,所以称为 看跌期权,或者卖权( put option)同样由于这个合约也能给乙方带来Xr的收益,也就需要 乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0时刻的价格,也称为它的贴水或保证 比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是:甲方卖给乙方一个由证券组合组成的 一个合约,此合约能在T时刻给乙方带来随机收益∫(S)(称为欧式未定权益)同样要给出 这个合约在时刻t<T的价格(贴水) 基本假定为了讨论简单,通常假定市场是无摩擦的,即无税收,无交易费,可以卖空, 银行的存贷利率是一样的又假定此未定权益的持有人是小投资者,并且是自融资的,即在 整个过程中,持有人既没有添入资金也没有抽走资金 再则,存银行的钱是无风险的.由银行利率为r(在时变情形为r(t),这在数学处理上 并未增加任何困难),时刻t=0的存款S0元到时刻t的价值应为 S=S0e",即dS=rsdt 13.2) 无套利下的看涨与看跌平权关系 定义13.4(远期合约)未定权益为S的欧式权益,称为在时刻T成熟的远期合约 显见远期合约在时刻(<T)的价格就应该为证券的即时价格S 命题13.5(平权关系)将把看涨期权,看跌期权,远期合约在时刻I(<T)的价格分 别记为C1,P2F于是在无套利假定下有 K (13.3) 这个关系式称为欧式看涨-看跌期权的平权关系 Call-Put parity).有了这个关系,欧式看涨 期权与看跌期权中只要知道一个的价格,就立刻可以得到另一个的价格. (平权关系的得到,是基于未定权益有如下的等式 S-K=(K-S)=Sr-k 这说明买进一张在金融中称为多头一张)在T到期的执行价格为K的看涨期权与卖出一张 (在金融中称为空头一张)相应的看跌期权,就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻T 到期的额度为K的银行存款 1.2定价的套期方法 1. Black- Scholes偏微分方程的推导 满足 Black- Scholes模型(13.1)的风险标的资产S,是随机微分方程的解,因此是 374
374 卖方就得利. 综合起来, 乙方在时刻T 净得为随机收益 + = ( - ) XT K ST . 这也是一种欧式 期权, 此时乙方盼望 ST 尽量小, 以便有更多的获利. 也就是, 乙方盼望股票下跌, 所以称为 看跌期权, 或者卖权 (put option). 同样由于这个合约也能给乙方带来 XT 的收益，也就需要 乙方在 t = 0 时刻用钱从甲方购买. 这个合约在 t = 0 时刻的价格, 也称为它的贴水或保证 金. 比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是: 甲方卖给乙方一个由证券组合组成的 一个合约, 此合约能在T 时刻给乙方带来随机收益 ( ) ST f (称为欧式未定权益), 同样要给出 这个合约在时刻t < T 的价格(贴水). 基本假定 为了讨论简单, 通常假定市场是无摩擦的, 即无税收, 无交易费, 可以卖空, 银行的存贷利率是一样的. 又假定此未定权益的持有人是小投资者, 并且是自融资的, 即在 整个过程中, 持有人既没有添入资金, 也没有抽走资金. 再则, 存银行的钱是无风险的. 由银行利率为 r (在时变情形为 r(t) , 这在数学处理上 并未增加任何困难), 时刻t = 0 的存款 0 0 S 元到时刻t 的价值应为 rt t S S e 0 0 0 = , 即dS rS dt t t 0 0 = . (13. 2) 无套利下的看涨与看跌平权关系 定义１３.４（远期合约） 未定权益为ST 的欧式权益, 称为在时刻T 成熟的远期合约. 显见远期合约在时刻t(< T ) 的价格就应该为证券的即时价格 St . 命题１３.５（平权关系）将把看涨期权, 看跌期权, 远期合约在时刻t(< T ) 的价格分 别记为Ct Pt Ft , , . 于是在无套利假定下有 rt Ct Pt Ft Ke- - = - . (13. 3) 这个关系式称为欧式看涨-看跌期权的平权关系(Call-Put parity). 有了这个关系, 欧式看涨 期权与看跌期权中只要知道一个的价格, 就立刻可以得到另一个的价格. (平权关系的得到, 是基于未定权益有如下的等式: ST - K - K - ST = ST - K + + ( ) ( ) . 这说明买进一张(在金融中称为多头一张)在T 到期的执行价格为 K 的看涨期权与卖出一张 (在金融中称为空头一张)相应的看跌期权, 就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻T 到期的额度为 K 的银行存款. 1. 2 定价的套期方法 １．Black-Scholes 偏微分方程的推导 满足 Black-Scholes 模型（１３．１）的风险标的资产 St 是随机微分方程的解, 因此是
Markov过程.从而,欧式未定权益∫(Sr)在时刻t<T的价格只依赖S,于是可以将此价 格随机过程记为(,S,).下面我们将按 Black-Scholes在1973年的经典论文中的套期思想, 来推导价格函数V=(t,x)满足的微分方程.首先由Ito公式有 dv(S,)= ao. s, dB,+(ok+u.S av 1 a2v 假定在时刻t甲方为了保护卖出未定权益的风险,虚拟地待定购进△份标的证券.那么 将卖出的未定权益合约得到的价格V与购进的标的证券化费的△·S合起来考虑,甲方共 计得资产 N,=V,-A·S, 由自融资原则,到了时刻1+d,这个获利就变为Nd=V1d-△.S,d dN=d-△dS,=(-△·S+k a2v S(-4)+2S22)d]=s 我们只要取 △=(1,S) (13.4) dt (13.5) 再由无套利假定可知,N必须是无风险资产,即 (事实上,如果dN>rN,dt,则甲可以在时刻t从银行借贷并投资于上述组合N1在t+d时刻得 dN,后立刻偿还银行rN,dt,从而净得dN1-rN,dt.在另一种情形,如果dN1<rNdt,则甲可以 在时刻t卖空上述组合N,将钱存入银行,到t+dt时刻得rN,dt,还去购回卖空的组合,由此也净得 rNd-dN1所以,这两种情形都发生了套利,与无套利假定矛盾.可见只能有dN=rNd).把 (13.5)式中的N,的表达式代入(13.6)式就得到V(t,x)应满足的Back- Scholes偏微分方 程: 375
375 Markov 过程. 从而, 欧式未定权益 ( ) ST f 在时刻t < T 的价格只依赖 St , 于是可以将此价 格随机过程记为 ( , ) St V t . 下面我们将按 Black-Scholes 在 1973 年的经典论文中的套期思想, 来推导价格函数V V(t, x) t D = 满足的微分方程. 首先, 由 Ito 公式有 x St t t t t t dt x V S x V S t V S dB x V dV t S = ¶ ¶ + ¶ ¶ + × ¶ ¶ × + ¶ ¶ = ) ] 2 1 ( , ) [ ( 2 2 2 2 s m s . 假定在时刻t 甲方为了保护卖出未定权益的风险, 虚拟地待定购进 D 份标的证券. 那么, 将卖出的未定权益合约得到的价格Vt 与购进的标的证券化费的 St D × 合起来考虑, 甲方共 计得资产 t t t N =V - D × S D . 由自融资原则, 到了时刻t + dt ,这个获利就变为 t dt t dt t dt N V S + + D + = - D× . 即 dNt dV dSt = - D × x St t t t t dt x V S x V S t V S dB x V = ¶ ¶ - D + ¶ ¶ + × ¶ ¶ - D × + ¶ ¶ = ) ] 2 1 [( ) ( ( ) 2 2 2 2 s m s . 我们只要取 ( , ) t t S x V ¶ ¶ D = , (13. 4) 便得到 dNt = dt x V S t V x St t = ¶ ¶ + ¶ ¶ ) 2 1 ( 2 2 2 2 s . (13. 5) 再由无套利假定可知, Nt 必须是无风险资产, 即 dN rN dt t = t . (13. 6) (事实上, 如果 dN rN dt t > t , 则甲可以在时刻 t 从银行借贷并投资于上述组合 Nt , 在 t + dt 时刻得 dNt 后立刻偿还银行 rN dt t , 从而净得 dN rN dt t - t . 在另一种情形，如果 dN rN dt t < t , 则甲可以 在时刻 t 卖空上述组合 Nt , 将钱存入银行, 到 t + dt 时刻得 rN dt t , 还去购回卖空的组合, 由此也净得 tdt dNt rN - . 所以, 这两种情形都发生了套利, 与无套利假定矛盾. 可见只能有 dN rN dt t = t ). 把 (13. 5)式中的Nt 的表达式代入(13. 6)式, 就得到V(t, x)应满足的 Black-Scholes 偏微分方 程:
rV=0 (13.7) t 外加终端条件 V(T,x)=f(x),(因为(T,S)=f(S)) (13.8) 只要求得此方程的解(1,x),就得到了未定权益∫(S)在时刻t<T的价格V(t,S) 而在时刻t=0贴水为F(0,S0) 2. Black-Scholes微分方程的求解 先令=T一t将终值问题化成初值问题,再令x'=logx,(t',x)=V(t,x),并利用 Vr=xkVrr'=(xVr=x(xD=xvx+xv, v 把方程(13.7)化为 Vr-rv=0 (13.9 (0.,x)=(V(T,x)=f(x)=)f(e2) (13.10) 此方程的系数不依赖x,是常系数偏微分方程然后作变换 ar'+B-1 (13.11) 只要在此变换中选取合适的常数α,B,就可以消灭方程中含U和含Ux的项即 (1)置U的系数为0,得到 (2)再置U的系数为0,得到 (13.13) 这时(13.9),(13.10)就简化为传热方程的初值问题 (13 U(0,x (13.15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法,即用 Gauss核( Brown运动的转移密度函数也称 为 Gauss核)的积分给出其解U(r,x") 376
376 0 2 1 2 2 2 2 - = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ rV x V rx x V S t V s t , (13. 7) 外加终端条件 V(T , x) = f (x) ，（因为 ( , ) ( ) T ST V T S = f ）． (13. 8) 只要求得此方程的解V(t, x), 就得到了未定权益 ( ) ST f 在时刻 t < T 的价格 ( , ) St V t . 而在时刻t = 0 贴水为 (0, ) V S0 . ２． Black-Scholes 微分方程的求解 先令t'= T -t 将终值问题化成初值问题, 再令x'= log x , ( ', ') ( , ) ~ V t x =V t x ， 并利用 x x x xx x x x x V x = xV V = xV = x xV = x V + xV 2 ' ' ' ~ ' ~ , ( ) ( ) , t V t ' = -V ~ , 把方程（１３．７）化为 ) 0 2 ( 2 1 ~ ' 2 ~ ' ' ~ 2 ~ -Vt' + V x x + r - V x - rV = s s , (13. 9) (0, ') ( ( , ) ( ) ) ( ) ' ~ x V x = V T x = f x = f e ． (13. 10) 此方程的系数不依赖 x' , 是常系数偏微分方程. 然后作变换 ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x e U t x x + ×t = a b . (13. 11) 只要在此变换中选取合适的常数a, b , 就可以消灭方程中含U 和含U x'的项,即 （１）置U x'的系数为 0, 得到 2 2 2 2 2 1 s s s a r r = - - = - , (13. 12) （２）再置U 的系数为 0, 得到 ) 2 1 ( 2 2 b = - s a + r . (13. 13) 这时（１３．９），（１３．１０）就简化为传热方程的初值问题 ' ' 2 ' 2 Ut U x x s = (13. 14) (0, ') ( ) x' x' U x e f e -a = . (13. 15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法，即用 Gauss 核 (Brown 运动的转移密度函数也称 为 Gauss 核) 的积分给出其解U (t', x')
(y-x)2 U(G,x) U(0, y)e e-f(e )e 2r@ dy 再作变换y-x=y,便得 (t,x)= to](+)e zro'e-atdy'=ex f(xe )e 注意积分号内指数项的分子为(y+to3a)2-t2oa2,作变换y+to2a=,就得 --Ia-a f( (B4+r) f∫( √T--(7-g De 2 d= 最后用V(,x)=(r,x)=ea+pU(t,x),得到(t,x)的明显表达式如下面定理所述 定理13.6 2 (t,x) 于是欧式未定权益∫(Sx)在时刻(<T)的价格为v(t,S,),而在合约开始时刻的贴水为 (0.s)=」fs (13.17) 而用以套期标的证券的数量,则由(13.4)式给出 定义13.7( Black-Scholes中性模型)从(13.16)可以看出,欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率μ.而代替它的则是银行利率r.这就启示我们,在利用 Black-Scholes模型求未定权益的定价时,风险证券的价格模型应该改用 dS, =S, (rdt +dB,) (13.18) 这样的模型称为 Black- Scholes风险中性模型.由于它与收益率为μ时的模型不一样,我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为P'(相应的期望记为E),称为风险中性概率 在金融中,“一称为风险的市场价格 1.3风险中性概率方法 设在风险中性模型下,风险证券在t时刻的价格记为S.它对于银行利率r的折现价 377
377 U y e dy t U t x t y x 2 2 2 ' ( ') (0, ) 2 ' 1 ( ', ') s p s - - ò × = e f e e dy t t y x y y 2 2 2 ' ( ') ( ) 2 ' 1 a s p s - - - ò × = ． 再作变换 y - x' = y' , 便得 U (t', x') ( ) ' 2 ' 1 ( ' ') 2 ' ' ' ' 2 2 f e e e dy t t x y y y x - + - + ò × = s a p s ( ) ' 2 ' 2 2 2 2 ' ' 2 ' ' ' ' f xe e dy t e t y t y y x s s a a p s + - - ò × = . 注意积分号内指数项的分子为 2 2 2 4 2 (y'+t's a) - t' s a , 作变换 z t y t = + ' ' ' 2 s s a , 就得 f xe e e dz e U t x z t t z t x 2 ' 2 ' ' ' 2 2 2 2 ( ) 2 ( ' , ') s a s s a a p - - - ò = f xe e dz e e z T tz T t x t rt 2 ( ) ' ( ' ') 2 2 ( ) 2 - - - - - - × + ò = s s a a b p ． 最后用 ( , ) ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x V t x e U t x x + ×t = = a b ，得到V(t, x) 的明显表达式如下面定理所述. 定理１３．６ f xe e dz e V t x z T tz T t r r T t 2 ) 2 ( ) ( ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( , ) - - - - - - - ò = s s s p ． (13. 16) 于是欧式未定权益 ( ) S N f 在时刻t(< T ) 的价格为 ( , ) St V t , 而在合约开始时刻的贴水为 f S e e dz e V S z T z T r rT 2 ) 2 ( 0 0 2 2 2 ( ) 2 (0, ) - - - - ò = s s s p ． (13. 17) 而用以套期标的证券的数量, 则由(13. 4)式给出． 定义１３．７ （Black-Scholes 中性模型） 从(13. 16)可以看出, 欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率 m . 而代替它的则是银行利率 r . 这就启示我们，在利用 Black-Scholes 模型求未定权益的定价时, 风险证券的价格模型应该改用 ( ) t t dBt dS = S rdt + . (13. 18) 这样的模型称为 Black-Scholes 风险中性模型. 由于它与收益率为m 时的模型不一样, 我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为 * P (相应的期望记为 * E ), 称为风险中性概率. 在金融中， s m - r 称为风险的市场价格． １．３ 风险中性概率方法 设在风险中性模型下, 风险证券在 t 时刻的价格记为 St . 它对于银行利率 r 的折现价