从(3),(4)中分别消去参数u可得 (r-rir2-rigr3-r1=0 (5) x-x x2-x1 x3-XI 与卩y-yy2-yy3-y|=0(6) 或 =0(7) (5)(6)(7)都有叫做平面的三点式方程
从（3），（4）中分别消去参数u,v可得： （r-r1 ,r2-r1 ,r3-r1 )=0 （5） 与 0 (6) 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 = − − − − − − − − − z z z z z z y y y y y y x x x x x x 或 0 (7) 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = x y z x y z x y z x y z （5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程
特别地,若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a0,0 M2(O,b0)M3O.0,c)其中ab≠0,则平面的方程为 x y +,+-=1(8) b 称为平面的截距式方程。 其中ab,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1 (a,0,0) M2 (0,b,0),M3 (0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为 + + =1 (8) c z b y a x 称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。 x z M y 1 M2 M3 o
二、平面的点法式方程 1.法向量 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 注:1°对平面,法向量n不唯 2°平面Ⅱ的法向量n与Ⅱ上任一向量垂直
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． n 二、平面的点法式方程 1. 法向量: 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直
2.平面的点法式方程 设平面时过定点Mx02y02=0,且有法向量n={A,B,C} 对于平面上任一点M(x,y,z) 向量MM与n垂直 n·MoM=0 M 而MM={x-x0,y-y,z-20}, 得 A(x-x)+B(y-y)+C(z-=0)=0(1) 称方程(1)为平面的点法式方程
2. 平面的点法式方程 设平面过定点 M0 (x0 , y0 , z0 ), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. y x z M0 M n O n M0 M = 0 而M0 M ={x − x0 , y − y0 , z − z0}, 得: A(x − x0 ) +B( y − y0 ) +C( z − z0 ) = 0 称方程(1) 为平面的点法式方程. (1)
例1:求过点(2,-3,0)且以n={1,-2,3}为法向量 的平面的方程 解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为 1·(x-2)-2·(y+3)+3.(x-0)=0 x-2y+3z-8=0
例1: 求过点(2, −3, 0)且以 n = {1, −2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x − 2) − 2 (y + 3) + 3 (z − 0) = 0 即: x − 2y + 3z − 8 = 0