龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第14章在精算与风险模型中的应用 1基本概念 1.1保险中的利率概念 定义14.1(利率,名义利率与连续利率) 设实际年利率为r1,则折现系数定义为v 把与年利率r相等价的一年计 1+F 息m次的名义利率( nominal interest rate记为rm,则它满足 (14.1) r=lim 则就是第13章中的无风险银行利率,称为连续利率,在保险学中则称为利息强度( force of 定义14.2(贴现率与名义贴现率) 对于一年一次计息的利率,在年终计算利息时就应该用年利率r1.但是如果在年初预付 利息,则就要用贴现率,即预付利率d,它就是利率的贴现率,即 这个公式等价于 1+d+d2+…=1+r (14.3) 即:本利和=1(元本金)+预付率+预付率的预付率+预付率的预付率的预付率+ 对于与年利率r1等价的一年m次计息的名义利率rn,其相应的名义贴现率(预付利 率)dm同样满足 由此也可得名义贴现率的公式 1.2生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿 405
405 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 14 章 在精算与风险模型中的应用 1 基本概念 １．１ 保险中的利率概念 定义１４．１ （利率，名义利率与连续利率） 设实际年利率为 1 r , 则折现系数定义为 1 1 1 r v + = D . 把与年利率 1 r 相等价的一年计 息m 次的名义利率 (nominal interest rate)记为 m r , 则它满足 1 1 (1 ) r m rm m + = + . (14. 1) 而 m m r r = ®¥ lim 则就是第 13 章中的无风险银行利率, 称为连续利率, 在保险学中则称为利息强度(force of interest). 定义１４.２ （贴现率与名义贴现率） 对于一年一次计息的利率, 在年终计算利息时就应该用年利率 1 r . 但是如果在年初预付 利息, 则就要用贴现率, 即预付利率 d , 它就是利率的贴现率, 即 1 1 1 r r d + = . (14. 2) 这个公式等价于 1 2 1+ d + d +L = 1+ r , (14.3) 即：本利和＝1(元本金) + 预付率 + 预付率的预付率 + 预付率的预付率的预付率 +L. 对于与年利率 1 r 等价的一年 m 次计息的名义利率 m r , 其相应的名义贴现率(预付利 率) d m同样满足 m r m d m dm m m 1+ + ( ) + =1+ 2 L . (14. 3)’ 由此也可得名义贴现率的公式 m m m m r r d + = . (14. 2)’ １．２ 生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿
考察失效可有两种不同的角度.研究部件的失效时间和生物体的死亡时间,随着目的的 不同,考虑的方式也会不同.例如,要知道某种药物对于动物死亡的影响时,我们往往不去 追究被试验的动物的年龄.然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别.在精算界,人们把 后一类归入所谓”有选择模型”,其意思是其对象是有选择的,例如,要考虑年龄的差别 定义14.3(寿命分布,生存概率与失效率) 寿命是一个取非负值的随机变量X,记其分布密度为p(),分布函数为F(),那 么存活到时刻t生存函数(生存概率)为 S(1)=1-F() (14.4) 而时刻t的失效率(死亡率)定义为 n(0)=lim hs0 P(xsI+ hlx>t= p(o) (14.5) p(u)du 显见我们有 (14.6) 典型的寿命分布,除常用的指数分布(由于它是无记忆的分布,在理论上不应直接应用 于有选择模型),对数正态分布外,还有 (1) Weibul分布W(a, P(1)=λ.a·r"-ep oao()(a,>0) 其中a为形状参数,数学期望为Ar(1+-),方差为A[r(1+-)-(I(+-)2]又 若5~expx,则有n=5a~W(λ,a) (2)广义m分布P)0” r() (3)半边正态分布F()=20(0)-)102(),其中d(O)为N0.D)的分布 函数 寿命的对数的分布还有 I-A (1)极值分布F(1)=1-e° (2) Logistic分布F(1) 数学期望μ,方差 1+e 其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss分布等. 精算中的死亡力度 如前所述,在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑.设年龄x的人的余寿T 具有分布密度P2(1),其分布函数为F(1).那么,他在年龄x+t时的危险率(死亡率,相 406
406 考察失效可有两种不同的角度．研究部件的失效时间和生物体的死亡时间, 随着目的的 不同, 考虑的方式也会不同. 例如, 要知道某种药物对于动物死亡的影响时, 我们往往不去 追究被试验的动物的年龄. 然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别. 在精算界, 人们把 后一类归入所谓”有选择模型”, 其意思是其对象是有选择的，例如，要考虑年龄的差别． 定义１４．３ （寿命分布, 生存概率与失效率） 寿命是一个取非负值的随机变量 X , 记其分布密度为 p(t) , 分布函数为F(t) , 那 么存活到时刻t 生存函数(生存概率)为 S(t)=1- F(t) D , (14. 4) 而时刻t 的失效率（死亡率）定义为 ò ® ¥ D = £ + > = t h p u du p t t P X t h X t ( ) ( ) ( ) lim ( | ) l 0 . (14. 5) 显见我们有 ò = - t u du S t e 0 ( ) ( ) l . (14. 6) 典型的寿命分布，除常用的指数分布(由于它是无记忆的分布, 在理论上不应直接应用 于有选择模型), 对数正态分布外，还有 （１）Weibull 分布 W (a,l) ( ) ( ),( , 0) [0, ) 1 = × × ¥ > - - × l l l p t a t e I t a a a t ， 其中a 为形状参数，数学期望为 ) 1 (1 1 a aG + - l , 方差为 )) ] 1 ) ( (1 2 [ (1 2 2 a a a G + - G + - l ． 又 若 l x ~ exp ， 则有 ~ ( ,, ) 1 W a a h = x l ． （２）广义 Gamma 分布 ( ) ( ) ( ) [0, ) ( ) 1 p t t e I t t ¥ - - × - × - G = b b g b g s s g b . （３）半边正态分布 ) ( ) 2 1 ( ) ( ( ) [0, ) F t t I t =２F - ¥ , 其中F(t) 为 N(0,1) 的分布 函数． 寿命的对数的分布还有 （１）极值分布 s - m - = - t e F(t) 1 e （２）Logistic 分布 s -m -× + = t e F t 1 1 ( ) ， 数学期望 m , 方差 2 2 3 1 s p ． 其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss 分布等． 精算中的死亡力度 如前所述, 在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑. 设年龄x 的人的余寿T 具有分布密度 p (t) x , 其分布函数为F (t) x ． 那么, 他在年龄x + t 时的危险率 (死亡率，相
当于”顾及年龄”的部件的失效率)应理解成他在时刻t死亡的密度 A(t)=lim m-o P(TSt+A T>t) P2(t) (14.5) 1-F2() 同样,生存时间超过t的概率为S2(t)=e 2(u)du ,于是F2(t)=1-e 记号14.4在国际精算界λ(1)被称为死亡力度.在概率界常用记号λ2(),F2() 和S3(1)表示死亡力度,余寿分布和生存概率.而在精算界,则有他们专用的传统记号, 分别用2+,;q2,和;p2 典型的死亡力度模型有 (1) gompertz的指数死亡力度 1() (2) Makeham死亡力度 1(D)=C1+C2 (3) Weibull|的幂死亡力度(余寿遵从 Weibull分布) (4)线性指数死亡力度(余寿分布称为线性指数分布,或 Rayleigh分布) 1()=元+C(x+D) (5)阶梯形死亡力度 (6)盆状死亡力度,如 β 6·1,或(1) B (7)广义 Pareto死亡力度 入()=a+ 等等.以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外,即使数学期望的解析式都很难求.一 般需要用数值近似计算 概念12.5(生命表)年龄x的人在当年内死亡的概率用表列出,称为生命表.它 给出了在t为整数(以年为单位肘时的死亡概率,在实际制定时,这些概率都是用统计频率近 似得到的.而在t为非整数时,则可以用此生命表内插.生命表是人寿保险投保操作的基本 2风险模型与破产理论介绍 2.1盈余过程与永不破产的概率
407 当于 ”顾及年龄”的部件的失效率) 应理解成他在时刻t 死亡的密度： 1 ( ) ( ) ( ) lim ( | ) 0 F t p t t P T t t T t x x x t - l = D ® £ + D > = . (14. 5)’ 同样, 生存时间超过t 的概率为 ò = - t x u du x S t e 0 ( ) ( ) l , 于是 ò = - - t x u du x F t e 0 ( ) ( ) 1 l . 记号１４.４ 在国际精算界 (t) lx 被称为死亡力度．在概率界常用记号 (t) lx , F (t) x 和 S (t) x 表示死亡力度, 余寿分布和生存概率． 而在精算界, 则有他们专用的传统记号， 分别用 mx+t , t qx , 和 t px . 典型的死亡力度模型有 （1） Gompertz 的指数死亡力度 x t x t Ce + l ( ) = . （2） Makeham 死亡力度 x t x t C C e + = 1 + 2 l ( ) . （3） Weibull 的幂死亡力度 (余寿遵从 Weibull 分布) : l ( ) = ( + ) ,(g > 0) g t C x t x . （4）线性指数死亡力度 (余寿分布称为线性指数分布，或 Rayleigh 分布) (t) C(x t) lx = l + + . (5) 阶梯形死亡力度. (6) 盆状死亡力度, 如 t x t t x + × + + = d g b l ( ) ，或 b b a a a b l ( ) 1 ( ) ( ) x t x e x t t + + - = . (7) 广义 Pareto 死亡力度 g b l a + + = + x t t x ( ) 等等．以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外, 即使数学期望的解析式都很难求. 一 般需要用数值近似计算． 概念１２．５（生命表） 年龄x 的人在当年内死亡的概率用表列出, 称为生命表．它 给出了在 t 为整数(以年为单位)时的死亡概率, 在实际制定时，这些概率都是用统计频率近 似得到的．而在 t 为非整数时, 则可以用此生命表内插． 生命表是人寿保险投保操作的基本 依据． 2 风险模型与破产理论介绍 ２．１ 盈余过程与永不破产的概率
定义14.5(理赔次数为 Poisson过时的盈余过程)设N是 Poisson过程,它表示相 继的理赔时刻,而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{xn) 其中Xn(>0)表示第n次理赔金额.把时刻t前的累计索赔额记为S,即 S=X1+…+XM (14.7) 它是强度λ的复合 Poisson过程.假定单位时间的投保费为c,而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为x0.那么在时刻t公司在此项保险上的盈余为 U =xo +ct-S, (14.8) 它是一个随机过程,称为盈余过程 定义14.6令P=EX1.为了保证运行,保险公司必须要求c>2p.记 14. 它称为相对安全负荷 定义14.7(破产时刻,破产赤字,最终破产概率,永不破产的概率) 随机时刻 U,≤0} (14.10) 称为破产时刻,|Ur|称为破产赤字,它显然满足U7->0,U7≤0.而 < (14.11) 则是在U0=x0的条件下最终破产的概率,则简称为破产概率.类似地 v(x0,l)=P(T≤t|U=x0) 称为I前破产的概率.记永不破产的概率为R(x),则 R(x)=1-v(x)=P(U1≥0,V1)=P(S1-ct≤x,V1) P(sup 2o(S,-ct)sxo)=P(L Sxo) (14.13) 其中 L=supo ( s, -ct) 是保险公司的最大损失.可见永不破产的概率R(x0)正是最大损失的分布函数.类似地还 有t前不破产的概率
408 定义１４.５（理赔次数为 Poisson 过时的盈余过程） 设Nt 是 Poisson 过程, 它表示相 继的理赔时刻, 而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{ ) X n , 其中 (> 0) Xn 表示第n 次理赔金额. 把时刻t 前的累计索赔额记为St , 即 Nt St = X1 +L+ X . (14. 7) 它是强度l 的复合 Poisson 过程． 假定单位时间的投保费为c , 而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为 0 x . 那么在时刻t 公司在此项保险上的盈余为 t St U = x0 + ct - . (14. 8) 它是一个随机过程, 称为盈余过程. 定义１４.６ 令 p = EX1 . 为了保证运行, 保险公司必须要求 c > lp . 记 L = - 1 D p c l , (14. 9) 它称为相对安全负荷. 定义１４.７（破产时刻，破产赤字，最终破产概率，永不破产的概率） 随机时刻 = inf{ : £ 0} Ut T t (14. 10) 称为破产时刻, | | UT 称为破产赤字, 它显然满足UT - > 0,UT £ 0. 而 ( ) ( ) 0 0 0 y x = P T < ¥ | U = x (14. 11) 则是在 0 0 U = x 的条件下最终破产的概率, 则简称为破产概率． 类似地 ( ) ( ) 0 0 0 y x ,t = P T £ t |U = x (14. 12) 称为t 前破产的概率． 记永不破产的概率为 ( ) 0 R x , 则 ( ) 1 ( ) ( 0, ) ( , ) 0 0 0 R x x P U t P S ct x t = -y = t ³ " = t - £ " (sup ( ) ) ( ) 0 0 0 P S ct x P L x = t t - £ = £ D ³ , (14. 13) 其中 sup ( ) 0 L S ct = t³ t - D 是保险公司的最大损失． 可见永不破产的概率 ( ) 0 R x 正是最大损失的分布函数. 类似地还 有t 前不破产的概率
R(x0,1) (14.14) 显见有R(x0,∞)=R(x) 在本书中,如果不作特别声明,恒假设理赔额X是有分布密度Px(x)的随机变量.于 是累计理赔额S(它是复合 Poisson过程)的分布函数为Fs(x,1)具有密度函数,记为 Ps(x,1).从而盈余过程U,的分布函数为 F(x,D)=P(x+ct-S,≤x)=1-Fs(x0+ct-x,),(1415) 并有密度,记为Pu(x,1),表示准备金为x0时,盈余过程在时刻t的分布密度.显见有 Pu(x, t)=Ps(xo +Ct-x, t) (14.15) 2.2t前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义14.7随机变量序列{xn}称为可交换的随机序列,如果对于任意m及 12…,m}的任意一个排序{,l2,…,m},均有{xn,X2,…,X}与{X1,Xx2,…,Xm}同 分布.可交换的随机序列Xn的部分和Sn=x+X1+…+Xn,(S0=0)称为具可交换增量的 随机序列 例14.8独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列 例14.9设N是以{rn}为更新流的更新过程,而其独立同分布的更新间隔为 T1,…,Tn,…这时,在条件N,=n下,{m}msn对于条件概率P(*N1=n)而言,是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似,具可交换增量的随机序列也有对称原理,它是随机徘徊的对称原 理的推广 命题14·1◎(可交换增量的随机序列对称原理)设Sn为具可交换增量的随机序 列,且S=0,则有 P(S1>0,(<n),Sn∈[a,b])=P(S1<Sn、(i<n),Sn∈[a,b]).(14.16) (其证明几乎可以照搬第3章中随机徘徊的对称原理定理3.30)的证明) 命题14.11( Dass- Dinges定理) 设Sn为具可交换增量的随机序列Sn=x+X1+…+Xn,其中X取值于 {10.-1-2,…}.S0=x(整数).那么,在m>x时有 409
409 ( , ) 1 ( , ) 0 0 R x t = -y x t D ． (14. 14) 显见有 ( , ) ( ) 0 0 R x ¥ = R x ． 在本书中, 如果不作特别声明, 恒假设理赔额 Xi 是有分布密度 p (x) X 的随机变量． 于 是累计理赔额 St (它是复合 Poisson 过程) 的分布函数为 F (x,t) S 具有密度函数, 记为 p (x,t) S . 从而盈余过程Ut 的分布函数为 ( , ) ( ) 1 ( , ) 0 0 F x t P x ct S x F x ct x t U = + - t £ = - S + - , (14.15) 并有密度, 记为 p (x,t) U ，表示准备金为 0 x 时, 盈余过程在时刻t 的分布密度． 显见有 ( , ) ( , ) 0 p x t p x ct x t U = S + - . (14. 15)＇ ２．２ t 前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义１４.７ 随机变量序列 { } X n 称为可交换的随机序列 , 如果对于任意 m 及 {1,2,L,m}的任意一个排序{ , , , } 1 2 m i i L i , 均有{ , , , } i1 i2 im X X L X 与{ , , , } X1 X2 L X m 同 分布．可交换的随机序列 Xn 的部分和 ,( 0) = + 1 + + 0 = D S x X X S n L n 称为具可交换增量的 随机序列． 例１４．８ 独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列． 例１４．９ 设 Nt 是以{ }n t 为更新流的更新过程，而其独立同分布的更新间隔为 T1 ,L,Tn ,L．这时，在条件 Nt = n下, m m£n {t } 对于条件概率 P( | N n) * t = 而言，是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似，具可交换增量的随机序列也有对称原理，它是随机徘徊的对称原 理的推广． 命题１４．１０ (可交换增量的随机序列对称原理) 设Sn 为具可交换增量的随机序 列, 且S0 = 0 , 则有 P(S 0,(i n),S [a,b]) P(S S ,(i n),S [a,b]) i > < n Î = i < n < n Î . (14. 16) (其证明几乎可以照搬第 3 章中随机徘徊的对称原理(定理３．３０)的证明) 命题１４．１１ (Dwass –Dinges 定理) 设 Sn 为具可交换增量的随机序列 n X Xn S = x + 1 +L+ , 其 中 Xi 取值于 {1,0,-1,-2,L} . S = x 0 (整数). 那么, 在m > x时有