(2)平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0, 它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量 i={1,0,0}垂直,所以 ni=A1+B0+C:0=A=0 于是: 平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0 平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0 平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0 特别:D=0时,平面过坐标轴
(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴
(3)平行于坐标面的平面方程 平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0 平行于xOz面的平面方程是By+D=0; 平行于yO=面的平面方程是AX+D=0
(3) 平行于坐标面的平面方程 平行于xOy 面的平面方程是 平行于xOz 面的平面方程是 平行于yOz 面的平面方程是. Cz + D = 0; By + D = 0; Ax + D = 0
例3:求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程 解:由于平面过x轴,所以A=D=0 设所求平面的方程是By+Cz=0 又点(4,-3,-1)在平面上,所以 3B-C=0 C=-3B 所求平面方程为By-3Bz=0 y-3z=0
例3: 求通过x 轴和点(4, −3, −1)的平面方程. 解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0 又点(4, −3, −1)在平面上, 所以 −3B − C = 0 C = − 3B 所求平面方程为 By − 3Bz = 0 即: y − 3z = 0
例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0) Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程 解:设所求平面的方程为 Ax By+ cztd=o 因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(O,0,c) R 点都在这平面上,于是 aA+D=0 6B+D=o CC+D=O 解得:A B=D C=_D b
例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程. 解: 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是 aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0 解得: c D C b D B a D A = − = − = − o y P x z Q R
所求平面的方程为 +D=0 b +-+=1 (3) a b
所求平面的方程为: − − − z + D = 0 c D y b D x a D 即: + + =1 c z b y a x (3)