2004年强化班讲义 (清华大学数学科学系叶俊) 第一讲随机事件与概率 内容提要 (1)事件间的关系与运算(四种关系,三种运算 (2)概率及其简单性质(古典溉型,几何溉型,求逆公式,加法公式,减法公 式 (3)条件概率及三大公式(乘法公式,全概率公式, Bayes公式) (4)事件独立性与 Bernoulli概型(独立性的实质及应用, Bernoulli概型的 三个模型) 典型问题 问题1:事件的表示与运算 问题2:概率的基本公式及应用 问题3:古典概型与几何概型的直接计算 问题4:事件的独立性及其实质 问题5:乘法公式与交事件的计算 问题6:全概率公式与 Bayes公式 问题7: Bernoul I i试验序列的相关结论 典型例题 例1.1.选择题: (1)已知0<P(B)<1且P(A1∪A2)B)=P(41|B)+P(A2|B),则下列选项成 立的是 (A) P((A, UA2)IB)=P(A IB)+P(A2 IB) (B) P(A BUA, B)=P(A, B)+P(A, B) (C)P(A1∪A2)=P(41B)+P(A2|B) (D)P(B)=P(A)P(B A)+P(A2)(B A2 (2)已知P(A)=0.5,P(B)=06以及P(B|A)=0.8,则P(B|AUB)等于 (A) (B) (C) (C)
2004 年强化班讲义 （清华大学数学科学系 叶俊） 第一讲 随机事件与概率 内容提要 （1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算） （2）概率及其简单性质（古典溉型，几何溉型，求逆公式，加法公式，减法公 式） （3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （4）事件独立性与 Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的 三个模型） 典型问题 问题 1: 事件的表示与运算 问题 2: 概率的基本公式及应用 问题 3: 古典概型与几何概型的直接计算 问题 4: 事件的独立性及其实质 问题 5: 乘法公式与交事件的计算 问题 6: 全概率公式与 Bayes 公式 问题 7: Bernoulli 试验序列的相关结论 典型例题 例 1.1. 选择题： （1） 已知0 < P(B) < 1且 (( ) | ) ( | ) ( | ) P A1 U A2 B = P A1 B + P A2 B ，则下列选项成 立的是 （A） (( ) | ) ( | ) ( | ) P A1 U A2 B = P A1 B + P A2 B （B） ( ) ( ) ( ) P A1B U A2B = P A1B + P A2B （C） ( ) ( | ) ( | ) P A1 U A2 = P A1 B + P A2 B （D） ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B = P A1 P B A1 + P A2 P B A2 （2） 已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 以及 P(B | A) = 0.8，则 P(B | A U B)等于 （A） 5 4 （B） 11 6 （C） 4 3 （C） 7 6
(3)设A,B是两个随机事件,且0<P(A),P(B)<1,P(B|A)=P(B|A),则 定有 (A) P(AB)=P(AB) (B)P(AB)≠P(AB) (C) P(AB)=P(A)P(B) (C)P(AB)≠P(A)P(B) (4)一个班级中有8个男生和7个女生,今要选出3名学生参加比赛,则选出 的学生中,男生数多于女生数的概率为 8 1856 (5)在某一问卷调查中,有50%的被访者会立刻答完并上交问卷表,在没有 立刻上交问卷表的被访者中,有40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表 如果只有4个人参加这样的问卷调查,问至少有3个人没有任何回音的概率为 (A)(03)4+4(03)3(0.7) (B)4(0.3)(0.7) (C)4(0.3)3+(0.7)3 (D)(07)4+4(07)3(0.3) 例1.2.填空题 (1)已知P(A)=2,P(AB)=,则PAUB) (2)已知P(A)=0.7,P(B)=09,则P(AUB)-P(AB)的最大可能值为 (3)设两两独立的三事件A,B,C满足条件:ABC=p, P(A)=P(B)=P(C)<,且已知P(4UBUC、9则P(A)= 16 4)两个相互独立的事件A、B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概 率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)= (5)袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球.今有两人依次随机地 从袋中各取一球,取后不放回,问第二人取得黄球的概率是 例1.3.一袋中装有N一1只黑球和一只白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换 入一只黑球,这样继续下去,问第k次摸球时摸到黑球地概率是多少。 例14.一个随机数发生器只能从1,2,3…,9这九个整数中选取一个,并且选那 个都是等可能的。求在n次选择之后所得的n个数的乘积能被10整除的概率。 例1.5.取一长为l的棒,将其折成三段,求此三段能构成一个三角形的概率 习题参考答案 1.1.(1)B;(2)C;(3)C;(4)A:(5)A 1.2.(1) (2)04;(3)-;(4)-;(5)
（3） 设 A , B 是两个随机事件，且0 < P(A),P(B) < 1, P(B | A) = P(B | A)，则一 定有 （A） P(A B) = P(A B) （B） P(A B) ≠ P(A B) （C） P(AB) = P(A)P(B) （C） P(AB) ≠ P(A)P(B) （4） 一个班级中有 8 个男生和 7 个女生，今要选出 3 名学生参加比赛，则选出 的学生中，男生数多于女生数的概率为 (A) 65 36 (B) 65 25 (C) 15 8 (D) 3375 1856 （5） 在某一问卷调查中, 有 50%的被访者会立刻答完并上交问卷表, 在没有 立刻上交问卷表的被访者中,有 40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表. 如果只有 4 个人参加这样的问卷调查, 问至少有 3 个人没有任何回音的概率为 (A) (0.3) 4(0.3) (0.7) (B) 4 3 + 4(0.3) (0.7) 3 (C) (D) 3 3 4(0.3) + (0.7) (0.7) 4(0.7) (0.3) 4 3 + 例 1.2. 填空题： （1） 已知 4 1 ( ) , ( ) 5 5 P A = P AB = ，则 P(A U B) = . （2） 已知 P(A) = 0.7, P(B) = 0.9，则 P(A U B) − P(AB)的最大可能值为 . （3） 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件： ABC = φ , , 2 1 P(A) = P(B) = P(C) < 且已知 16 9 P(AU B U C) = , 则 P(A) = . （4） 两个相互独立的事件 A、B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概 率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P (A) = . （5） 袋中有 50 个乒乓球, 其中 20 个黄球, 30 个白球. 今有两人依次随机地 从袋中各取一球, 取后不放回, 问第二人取得黄球的概率是_________. 例 1.3. 一袋中装有 N－1 只黑球和一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换 入一只黑球，这样继续下去，问第 k 次摸球时摸到黑球地概率是多少。 例 1.4. 一个随机数发生器只能从1 2 这九个整数中选取一个，并且选那一 个都是等可能的。求在 n 次选择之后所得的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率。 , ,3,L,9 例 1.5. 取一长为 l 的棒，将其折成三段，求此三段能构成一个三角形的概率. 习题参考答案 1.1. （1）B；（2）C；（3）C；（4）A；（5）A 1.2. （1） 5 2 ；（2）0.4；（3） 4 1 ；（4） 3 2 ；（5） 5 2
1.3.1-(1 8″+5″-4 9 1.5 内容提要 (1)事件间的关系与运算(四种关系,三种运算) (2)概率及其简单性质(古典溉型,几何溉型,求逆公式,加法公式,减法公 式 (3)条件概率及三大公式(乘法公式,全概率公式, Bayes公式) (4)事件独立性与 Bernoul i概型(独立性的实质及应用, Bernoul i概型的 三个模型 典型问题 问题1:事件的表示与运算 问题2:概率的基本公式及应用 问题3:古典概型与几何概型的直接计算 问题4:事件的独立性及其实质 问题5:乘法公式与交事件的计算 问题6:全概率公式与 Bayes公式 问题7: Bernoul l i试验序列的相关结论 典型例题 例16.若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求 (1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率; (2)已知取出的两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率 (3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 例1.7.掷三颗骰子,若已知没有两个相同的点数,试求至少有一个一点的概率 例1.8.在空战训练中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙机未被 击落,就进行还击,击落甲机的概率是0.3:若甲机也没被击落,则再进攻乙机 此时击落乙机的概率是0.4,求这几个回合中 (1)甲机被击落的概率;(2)乙机被击落的概率. 例1.9.有枪8支,其中的5支经过试射校正,3支未经试射校正,校正过的枪, 击中靶的概率为0.8,未经校正的枪,击中靶的概率为0.3,今任取一支枪射击 结果击中靶,问此枪为校正过的概率是多少? 例1.10.一道考题同时列出m个答案,要求学生把其中的一个正确答案选择出来, 某考生可能知道哪个是正确答案,也可能乱猜一个,假设他知道正确答案的概率 为p,而乱猜的概率为1-p,设他乱猜答案猜对的概率为-一,如果已知他答对 了,问他确实知道哪个是正确答案的概率是多少 例1.11.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次 品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件放入乙箱后,求
1.3. N N k 1 ) 1 1 (1 −1 − − 1.4. n n n n 9 8 5 4 1 + − − 1.5. 4 1 内容提要 （1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算） （2）概率及其简单性质（古典溉型，几何溉型，求逆公式，加法公式，减法公 式） （3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （4）事件独立性与 Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的 三个模型） 典型问题 问题 1: 事件的表示与运算 问题 2: 概率的基本公式及应用 问题 3: 古典概型与几何概型的直接计算 问题 4: 事件的独立性及其实质 问题 5: 乘法公式与交事件的计算 问题 6: 全概率公式与 Bayes 公式 问题 7: Bernoulli 试验序列的相关结论 典型例题 例 1.6. 若 M 件产品中包含 m 件废品，今在其中任取两件，求 （1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率； （2）已知取出的两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率； （3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 例 1.7. 掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率。 例 1.8. 在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被 击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机也没被击落，则再进攻乙机， 此时击落乙机的概率是 0.4，求这几个回合中： （1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率. 例 1.9. 有枪 8 支，其中的 5 支经过试射校正，3 支未经试射校正，校正过的枪， 击中靶的概率为 0.8，未经校正的枪，击中靶的概率为 0.3，今任取一支枪射击， 结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？ 例1.10. 一道考题同时列出m个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来， 某考生可能知道哪个是正确答案，也可能乱猜一个，假设他知道正确答案的概率 为 p，而乱猜的概率为1− p ，设他乱猜答案猜对的概率为 m 1 ，如果已知他答对 了，问他确实知道哪个是正确答案的概率是多少。 例 1.11. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次 品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件放入乙箱后，求：
(1)乙箱中次品件数X的数学期望 (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 例1.12.设甲有赌本(≥1)元,其对手乙有赌本a-1>0元,每赌一次甲以概率p 赢一元,而以概率q=1-p输一元.假定不欠不借,赌博一直到甲乙中有一人输 光才结束.因此,两个人中的赢者最终有总赌资a元.求甲输光的概率. 习题参考答案 2m;(3)M(M-1) m(2M-m-1) 2M-m M+m-1 1.7 18.(1)0.24;(2)0424 1.9 1.10 mp 1+(m-1)p 1.12.当p>0且P≠(即p≠q时,甲输光的概率为 当P=q=,甲输光的概率为1-2 例1.13.r个人相互传球,从甲开始,每次传球时,传球者等可能地把球传给其 余r-1个人中的任意一个,求第n次传球时仍由甲传出的概率(发球那一次算作 第0次)? 例1.14.甲、乙、丙三人在一次射击中击中靶子的概率分别为,,,他们 同时各打一发,结果有2弹击中靶子,求丙脱靶的概率? 例1.15.某售货员同时出售两包各N本的同样的书,每次售书,他等可能地任选 包,从中取出一本,问第一次售完一包时(不是发现),另一包中尚余r(≤N) 本书的概率p为多少? 例1.16.已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为0.96,问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 例1.17.甲、乙两选手进行比赛,假定每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率 为0.4,问采用3局2胜制还是5局3胜制,对甲有利?
（1）乙箱中次品件数 X 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 例 1.12. 设甲有赌本i i( ≥ 1)元, 其对手乙有赌本a i − > 0元．每赌一次甲以概率 赢一元, 而以概率q p = −1 p输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输 光才结束．因此，两个人中的赢者最终有总赌资a 元. 求甲输光的概率． 习题参考答案 1.6. （1） 2 1 1 − − − M m m ；（2） 1 2 M + m − m ；（3） ( 1) (2 1) − − − M M m M m 1.7. 2 1 1.8. （1）0.24；（2）0.424 1.9. 49 40 1.10. m p mp 1+ ( −1) 1.11. （1） 2 3 ；（2） 4 1 1.12. 当 p > 0 且 p ≠ 1 2 (即 p ≠ q )时，甲输光的概率为 q p q p q p i a a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ 1 ⎟ ； 当 p q = = 1 2 ，甲输光的概率为 a i 1− 例 1.13. r 个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其 余r −1个人中的任意一个，求第 n 次传球时仍由甲传出的概率（发球那一次算作 第 0 次）？ 例 1.14. 甲、乙、丙三人在一次射击中击中靶子的概率分别为 3 2 4 3 5 4 , , ，他们 同时各打一发，结果有 2 弹击中靶子，求丙脱靶的概率？ 例 1.15. 某售货员同时出售两包各N本的同样的书，每次售书，他等可能地任选 一包，从中取出一本，问第一次售完一包时（不是发现），另一包中尚余r(≤N) 本书的概率pr为多少? 例 1.16. 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为 0.96，问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999. 例 1.17. 甲、乙两选手进行比赛，假定每局比赛甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率 为 0.4，问采用 3 局 2 胜制还是 5 局 3 胜制，对甲有利？
习题参考答案 1.12.当p>0且p≠(即p≠q)时,甲输光的概率为 当 甲输光的概率为 1.13.pn 1.14.6 1.15.C2-,()2N- 1.16.3 1.17.5局3胜制对甲更有利
习题参考答案 1.12. 当 p > 0 且 p ≠ 1 2 (即 p ≠ q )时，甲输光的概率为 q p q p q p i a a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ 1 ⎟ ； 当 p q = = 1 2 ，甲输光的概率为 a i 1− 1.13. ) ] 1 1 [1 ( 1 −1 − = − n n r r p 1.14. 13 6 1.15. N N r C N r − − 2 2 ) 2 1 ( 1.16. 3 1.17. 5 局 3 胜制对甲更有利