第五讲大数定律与中心极限定理 内容提要 1)依概率收敛(定义及判断 (2) Chebyshev不等式(计算及应用) (3)大数定律( hebyshev大数定律, Bernoul Ii大数定律 Khinchine大数定 律 (4)中心极限定理( Lindeberg-Levy中心极限定理, De Moivre- Laplace中心 极限定理,近似计算) 典型问题 问题1: Chebyshev不等式与大数定律的相关问题 问题2:中心极限定理及其应用题 典型例题 例5.1选择题: (1)设随机变量X的方差为2,则根据切贝雪夫不等式有估计P{XEX22}≤ (A) (B) (C) (D) (2)设随机变量x1X2…,xn…独立同分布,其分布函数为 <x<∞,b≠0 则辛钦大数定律对此序列 (A)适用(B)当常数a和b取适当数值十适用 (C)不适用(D)无法判别 3)设随机变量X1,H2…Xn相互独立,Sn=X1+X2+…+Xn,则根据列维 林德伯格(Lewy- Lindeberg)中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布, 只要X1X2…Xn (A)有相同的数学期望, (B)有相同的方差, (C)服从同一指数分布, (D)服从同一离散型分布 (5)设X1,X2…,Xn…为独立同分布的随机变量序列,且X,(i=1,2,…)服从参数 为A≠1的指数分布,则 ∑X X (A)limP(≤x)=小(x)(B)imP( ≤x)=Φ(x)
第五讲 大数定律与中心极限定理 内容提要 （1）依概率收敛（定义及判断） （2）Chebyshev 不等式（计算及应用） （3）大数定律（Chebyshev 大数定律，Bernoulli 大数定律,Khinchine 大数定 律） （4）中心极限定理（Lindeberg-Levy 中心极限定理, De Moivre-Laplace 中心 极限定理,近似计算） 典型问题 问题 1: Chebyshev 不等式与大数定律的相关问题 问题 2: 中心极限定理及其应用题 典型例题 例 5.1.选择题： （1）设随机变量 X 的方差为 2, 则根据切贝雪夫不等式有估计 P{|X-EX|≥2} ≤ （A） 2 1 （B） 3 1 （C） 4 1 （D） 8 1 （2）设随机变量 X1 , X 2 ,L, X n，L独立同分布，其分布函数为 = + − ∞ < x < ∞ b x F x a arctan , 1 ( ) π ，b ≠ 0 则辛钦大数定律对此序列 （A）适用 （B）当常数 a 和 b 取适当数值十适用 （C）不适用 （D）无法判别 (3) 设随机变量 相互独立, X X X n , , , 1 2 L Sn = X1 + X 2 +L+ X n , 则根据列维- 林德伯格(Levy-Lindeberg)中心极限定理, 当 n 充分大时, 近似服从正态分布, 只要 Sn X X X n , , , 1 2 L (A)有相同的数学期望, (B)有相同的方差, (C)服从同一指数分布, (D)服从同一离散型分布. (5) 设 X1 , X 2 ,L, X n，L为独立同分布的随机变量序列，且 X (i = 1,2,L) i 服从参数 为λ ≠ 1的指数分布，则 （A） lim ( ) ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ （B） lim ( ) ( ) 1 x x n X n P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞
X-2 X-a (C) lim P( ≤x)=Φ(x)(D)limP( ≤x)=Φ(x) n2 例5.2.填空题: (1)随机变量X和Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 -0.5,则根据切比雪夫不等式P(X+Y6)≤ (2)已知随机变量X的数学期望为10,方差DX存在且P(-20<X<40)≤0.9, 则DX≥ (3)设X12…,X…为独立同分布的随机变量序列,且X(=1,2,…)服从参数 为2的指数分布,则n→∞当时,H=∑X2依概率收敛于 (4)设X1X2…,Xn…为独立同分布的随机变量序列,且X(=1,2,…)服从参数 为λ>0的泊松分布,若F X,则对任意实数x,有P(X<x) 例53.设随机变量X的数学期望为4,方差为a2 (1)利用切比雪夫不等式估计:X落在以4为中心,30为半径的区间 内的概率不小于多少? (2)如果已知X~N(,a2),对上述概率,你是否可得到更好的估计? 例54.利用切比雪夫不等式来确定,当抛掷一枚均匀硬币时,需抛多少次,才 能保证正面出现的频率在04至06之间的概率不小于90%,并用正态逼近去估 计同一问题 例55.设X1,X2,…,Xn…为独立同分布的随机变量序列,且 EX=,DX1=a2,i=1,2,…,令Y 2 i;,试证明:Yn→H n(n+1)i= 例56.设{Xn}为一列独立同分布的随机变量序列,其概率密度函数为
（C） lim ( ) ( ) 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ λ （D） lim ( ) ( ) 1 x x n X P n i i n ≤ = Φ ∑ − = →+∞ λ λ 例 5.2. 填空题： (1) 随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2, 方差分别为 1 和 4, 而相关系数为 -0.5, 则根据切比雪夫不等式 P(| X + Y |≥ 6) ≤ . (2) 已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P(−20 < X < 40) ≤ 0.9 ， 则 DX ≥ . (3) 设 X1 , X 2 ,L, X n，L为独立同分布的随机变量序列，且 X (i = 1,2,L) i 服从参数 为 2 的指数分布，则n → ∞当时， ∑= = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 . (4) 设 X1 , X 2 ,L, X n，L为独立同分布的随机变量序列，且 X (i = 1,2,L) i 服从参数 为λ > 0 的泊松分布，若 ∑= = n i Xi n X 1 1 ，则对任意实数 x，有 P(X < x) ≈ . 例 5.3. 设随机变量 X 的数学期望为µ ，方差为σ2 ， (1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以µ 为中心，3σ 为半径的区间 内的概率不小于多少？ (2)如果已知 X ~ N(µ,σ2 )，对上述概率，你是否可得到更好的估计？ 例 5.4. 利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才 能保证正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%，并用正态逼近去估 计同一问题。 例 5.5. 设 为独立同分布的随机变量序列，且 ，令 X1 , X 2 ,L, X n，L EXi = µ, DXi = σ2 , i = 1,2,L ∑ + = = n i n i iX n n Y 1 ( 1) 2 ，试证明： µ P Yn → 例 5.6. 设{Xn }为一列独立同分布的随机变量序列，其概率密度函数为
x≥a x< a 令Mn=min{X1,X2…,Xn},试证:Mn→a 例57.在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在 年内一个人死亡的概率为0006,死亡时,其家属可向保险公司领取1000元的赔 偿费。试求 (1)保险公司没有利润的概率为多大? (2)保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大? 例58.已知生男孩的概率近似地等于0.515,求在10000个婴孩中,男孩不多于 女孩的概率 例59.某药厂断言,该工厂生产的某种药品对于医治一种疑难的疾病的治愈率 为0.8,某医院试用了这种药品进行治疗,该医院任意抽查了100个服用此药品 的病人,如果其中多于75人治愈,医院就接受药厂的这一断言,否则就拒绝这 断言。问 (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8,那么,医院接受这 一断言的概率是多少? (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7,那么,医院接受这 断言的概率是多少? 例5.10.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重 50kg,标准差为5kg若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理 说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977(Φ(2)=0.977) 例5.11.一家有800间客房的大宾馆的每间客房内装有一台2kW(千瓦)的空调 机,若该宾馆的开房率为70%,试问应供应多少千瓦的电力才能以99%的概率 保证有充足的电力开动空调机? 例512.设有30个电子器件,他们的使用寿命(单位:小时)T1,T2,…,T0均服 从平均寿命为10小时的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用, 第二个损坏第三个立即使用等等.令T为30个器件使用的总计时间,求T超过 350小时的概率
⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − − x a e x a f x x a 0 ( ) ( ) 令 min{ , , , }，试证： . M n = X1 X 2 L X n M a P n → 例 5.7. 在一家保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一 年内一个人死亡的概率为 0.006，死亡时，其家属可向保险公司领取 1000 元的赔 偿费。试求： （1）保险公司没有利润的概率为多大？ （2）保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？ 例 5.8. 已知生男孩的概率近似地等于 0.515，求在 10000 个婴孩中，男孩不多于 女孩的概率. 例 5.9. 某药厂断言，该工厂生产的某种药品对于医治一种疑难的疾病的治愈率 为 0.8，某医院试用了这种药品进行治疗，该医院任意抽查了 100 个服用此药品 的病人，如果其中多于 75 人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝这 一断言。问： （1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为 0.8，那么，医院接受这 一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为 0.7，那么，医院接受这 一断言的概率是多少？ 例 5.10. 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重 50kg, 标准差为 5kg. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理 说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于 0.977.(Φ(2) = 0.977 ). 例 5.11. 一家有 800 间客房的大宾馆的每间客房内装有一台 2kW（千瓦）的空调 机，若该宾馆的开房率为 70%，试问应供应多少千瓦的电力才能以 99%的概率 保证有充足的电力开动空调机？ 例 5.12. 设有 30 个电子器件，他们的使用寿命（单位：小时） 均服 从平均寿命为 10 小时的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用， 第二个损坏第三个立即使用等等. 令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率. 1 2 30 T ,T ,L,T