龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具,即随机微积分.还要介绍一种最常见的连 续状态连续时间的 Markov过程,称为扩散过程.由于这部分内容涉及较多的数学内容,要 真正表达清楚,测度论与概率基础等工具是必不可少的.这样就大大超出了本书大部分读者 现有的数学基础.因此,在本章中我们并不求给出一般的定义与定理的精确叙述,而是只从 些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓 3.Ito积分一对 Brown运动的积分 对于函数的研究,函数的微积分是其精髓.而对于一个随机过程的函数这样的特殊随机 函数而言,其微积分也具有同样的重要性.函数的微分与积分是一对互逆的运算.对于 初等函数,我们常从其导数入手,进而得到微分与积分:但是对非常复杂的一般函数,积分 却比导数更容易理解与处理,也易于作近似计算.因此,人们也常以积分作为微积分的核 心.在本节中,我们将考虑对 Brown运动的随机积分,作为随机微积分的核心 对 Brown运动的积分与其特殊性 对 Brown运动的积分的特殊性 设在概率空间(,,P)上有 Brown运动{B}(B,=B1()O∈9)及另一个轨道(样 本函数)连续的随机过程Φ=Φ,(O)(回忆起它是依赖于参数的随机变量族,在O固定 时,Φ(o)作为t的函数,即为随机过程Φ,的一个样本函数,或轨道).我们能不能对于 固定的O,定义样本函数Φ()对于 Brown运动的样本函数B,(O)的积分 Φ,()dB(o)为积分和的极限呢?更具体地,如果我们考虑区间[a,b]的一组划分 a=10”<…<1)=b,△n= max-(-1m)→0 J(a)=∑Φ灬()B=2(0)-Bn() 那么能否定义∫Φ,o)B()为mn,Jn(o)呢?如果lmn,J()对每一个o都 存在,那么很自然地,这个极限就该是Φ,对B1的积分,但是不幸的是,一般 lim J() 并不存在,关于这一点,我们将在下面说明 另一方面,如果我们不要求lmnn,Jn(o)对每一个o都存在,而把
343 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具, 即随机微积分. 还要介绍一种最常见的连 续状态连续时间的 Markov 过程, 称为扩散过程. 由于这部分内容涉及较多的数学内容, 要 真正表达清楚，测度论与概率基础等工具是必不可少的. 这样就大大超出了本书大部分读者 现有的数学基础. 因此，在本章中我们并不求给出一般的定义与定理的精确叙述，而是只从 一些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓. 3. Ito 积分 － 对 Brown 运动的积分 对于函数的研究，函数的微积分是其精髓．而对于一个随机过程的函数这样的特殊随机 函数而言, 其微积分也具有同样的重要性. 函数的微分与积分是一对互逆的运算. 对于 初等函数，我们常从其导数入手，进而得到微分与积分；但是对非常复杂的一般函数，积分 却比导数更容易理解与处理，也易于作近似计算. 因此，人们也常以积分作为微积分的核 心. 在本节中, 我们将考虑对 Brown 运动的随机积分, 作为随机微积分的核心. 3. 1 对 Brown 运动的积分与其特殊性 对 Brown 运动的积分的特殊性 设在概率空间(W, F, P) 上有 Brown 运动{ } Bt ( Bt = Bt (w),w Î W )及另一个轨道(样 本函数)连续的随机过程 (w) Ft =Ft D (回忆起它是依赖于参数 t 的随机变量族, 在w 固定 时, (w) Ft 作为 t 的函数, 即为随机过程 Ft 的一个样本函数, 或轨道). 我们能不能对于 固定的 w , 定义样本函数 F (w) t 对 于 Brown 运动的样本函数 (w) Bt 的积分 (w) (w) t t b a F dB ò 为积分和的极限呢 ? 更具体地，如果我们考虑区间[a, b]的一组划分: a t t b n l n n = < < = ( ) ( ) 0 L , max ( ) 0 ( ) ( ) D = 0£ £ -1 +1 - ® D n k n n k l k t t n , 令 ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 1 ( ) 1 0 w w w n w k n k n k n t t t l k J n = F B - B å + - = , (12. 24) 那么能否定义 (w) (w) t t b a F dB ò 为lim (w) n n J ®¥ 呢 ? 如果 lim (w) n n J ®¥ 对每一个ω都 存在，那么很自然地，这个极限就该是Ft 对 Bt 的积分，但是不幸的是，一般lim (w) n n J ®¥ 并不存在, 关于这一点, 我们将在下面说明. 另一方面 , 如果我们不要求 lim (w) n n J ®¥ 对每一个 ω 都存在 ， 而 把
Jn=Jn(ω)O∈Ω视为随机变量,而且把“极限〃的含义要求得弱一些:如果随机过程 Φ;只依赖 Brown运动的过去{B:l≤l},即Φ,为(B,)可知的,则可以证明随机列Jn是 按概率收敛的.Ito就把这个概率收敛的极限随机变量,定义为随机过程Φ,对Brow运动 B,的积分.这就是Ito积分的基本思想即若对于任意E>0有 lm m P(J(o-no)ba)=0, 则我们就定义 Φ,(o)dB,(o)=n(o) 并把它简记为∫aB=n,或更简单地记为∫MB 需要指出:和数Jn在每个小区间(,t(]上,我们需要限定取作为@在此小区 间上的近似,而不能象在普通函数的积分中那样,可以取Φ在此小区间上任意的一点的值为 近似其原因是:这里相应于普通积分中的差分的项是:AB,=B2-B,它们是随机 变量.虽然mn+△AB(O)=0,但是对于不同的ω,它们趋于0的速度很不一致,而粗 略地说,平均地有(△B)2~E(△B()=△1().也就是说,平均地△BC趋于0的速度 为√△rm),它大地慢于M.从而在区间(),门上取不同的点作为中的近似,所得 的近似和之间的差别是不可忽略的 定义(命题)12.44(Ito(随机)积分的定义) 若随机过程Φ,是(B)可知的,且 E|Φ,(o) (12.25) 则对于区间[0,7]的任意一组划分 0 =t(n) =T,△n= max osks 和数 J=∑Φm(B 必然按概率收敛到某个随机变量,则这个极限随机变量就定义为」Φ(O)dB,称为|to积
344 = Î W D J n J n (w),w 视为随机变量, 而且把 ”极限” 的含义要求得弱一些: 如果随机过程 Φt 只依赖 Brown 运动的过去{B : u t} u £ ，即Φt 为( ) Bt 可知的, 则可以证明随机列 n J 是 按概率收敛的. Ito 就把这个概率收敛的极限随机变量, 定义为随机过程Φt 对 Brown 运动 Bt 的积分. 这就是 Ito 积分的基本思想. 即若对于任意e > 0有 lim n®¥ P(| J n (w) -h(w) |> e ) = 0, 则我们就定义 D F = ò (w) (w) t t b a dB η(ω)． 并把它简记为 F = ò t b a (t)dB h , 或更简单地记为 dB b a ò F . 需要指出：和数 n J 在每个小区间( , ] ( ) (n ) k n k t t 上，我们需要限定取Φ (n) k t 作为Φ在此小区 间上的近似，而不能象在普通函数的积分中那样, 可以取Φ在此小区间上任意的一点的值为 近似. 其原因是：这里相应于普通积分中的差分的项是: ( ) ( ) 1 ( ) n k n k n k t t t DB = B - B + , 它们是随机 变量. 虽然lim ( ) 0 ( ) ®¥ D w = n n Bk ，但是对于不同的ω，它们趋于 0 的速度很不一致，而粗 略地说, 平均地有 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ~ ( ) n k n k n k DB E DB = Dt . 也就是说，平均地ΔB (n) k 趋于 0 的速度 为 (n ) k Dt , 它大大地慢于 (n ) k Dt . 从而在区间 ( , ] ( ) (n ) k n k t t 上取不同的点作为Φ的近似, 所得 的近似和之间的差别是不可忽略的. 定义（命题）１２.４４ （Ito(随机)积分的定义） 若随机过程Ft 是( ) Bt 可知的, 且 ò E Ft dt < ¥ T 2 0 | (w)| , (12. 25) 则对于区间[0,T ]的任意一组划分: t t T n l n n = < < = ( ) ( ) 0 0 L , max ( ) 0 ( ) ( ) D = 0£ £ -1 +1 - ® D n k n n k l k t t n , 和数 = åF - + ( ( ) ( ) ) 1 ( ) n k n k n k n t t t J B B 必然按概率收敛到某个随机变量, 则这个极限随机变量就定义为 t T (t)dB 0 ò F , 称为 Ito 积
分. 例12.45我们有 b dB B 这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处,是这里多了-t.下面我们来推导这一结 论,记AB=B-Bm),则 Jn=∑Bn(B2-Bn) 1∑12fnB2-2B12]=∑MBn)2-(△B) B2-∑(△Bn)2=B2-ln 而由 Brown运动的性质,我们有 E E(△B)=3(△")2 E(n-)2=∑E(AB)-△=∑EABn)-(△M) ∑(△)s△∑M"=2△,→0,(m 这说明 E|Jn-(B2-)12→0 用 Chebyshev不等式,便得J概率收敛到(B2-1) [注]以上论证实际上证明了以下的命题 命题12.46 ∑(△B)2-1|2→0 类似的推理可以证明下面的命题. 命题12.46 E∑f(BmM△B)2-f(B,)h→0 [注]如果我们在例12.45的积分和中,用B代替BA。,并记 Hn=∑ B.△B 那么 345
345 分. 例１２．４５ 我们有 B dB B t s s t t 2 1 2 1 2 0 = - ò . 这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处，是这里多了 t 2 1 . 下面我们来推导这一结 论. 记 ( ) ( ) 1 ( ) n k n k n k t t t DB = B - B + , 则 = å - + k t t t n n k n k n k J B (B ( ) B ( ) ) 1 ( ) = å - + k t t t n k n k n k [2B B 2B ] 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) = å D - D k t t n k n k [ (B ) ( B ) ] 2 1 2 2 ( ) ( ) = 2 2 ( ) 2 1 2 1 - å D ( ) k t t n k B B t n = B - I D 2 2 1 . 而由 Brown 运动的性质, 我们有 2 t EI n = , 4 ( ) 2 ( ( ) ) 3( ) n t k E B n t k D = D , 2 2 ( ) 2 [( ) ] 4 1 ) 2 ( ( ) n k t k n E B t t E I n k - = å D - D [( ) ( ) ] 4 1 4 ( ) 2 ( ) n k t k E B n t k = å D - D ( ) 2 ( ) 2 1 n k k = å Dt £ D åD = D ® k n n n k T t 0 2 2 1 ( ) , (n ® ¥) . 这说明 ) | 0 2 2 1 | ( - 2 - 2® t E J n Bt . 用 Chebyshev 不等式, 便得 n J 概率收敛到 ( ) 2 1 2 B t t - . [注] 以上论证实际上证明了以下的命题: 命题１２．４６ | ( ) | 0 2 2 E å DB ( ) - t ® k t n k . 类似的推理可以证明下面的命题. 命题１２.４６＇ | ( )( ) ( ) | 0 2 0 2 E å f B ( ) DB ( ) - ò f Bt dt ® T k t t n k n k . ［注］ 如果我们在例 12.45 的积分和中, 用 ( ) 1 n k t B + 代替 (n) k t B . 并记 =å D + k t t n n k n k H B ( ) B ( ) 1 . 那么
∑(2B ∑[AB2)+(△B)2]=+∑(△B) 于是有 E|Hn-(B2+)2→0 用 Chebyshev不等式,立得Hn按概率收敛到(B2+1) 特别地,我们有 B.+ ∑ B2|2 [注](B)可知的随机过程Φ,的可积条件(12.25)还可以减弱 定义12.47( Stratonovich(随机)积分)若∫为连续可微函数,则 f(Bm)+f(Ba) △Ba 的概率极限,称为 Stratonovich积分,记为∫f(B,)odB,又若5是一个(B,)可知 的连续随机过程,那么,类似地定义」f(5)odB 用与上面类似的推理,可以得到 Stratonovich积分与Ito积分的如下关系: 了(B)B=(8,AB+」(B (12.26) 但是f(,)20MB+2厂(地,在2段中,我们将给出其正确的 形式) 例12.48 B.。dB=-B2 例12.49如果函数∫有原函数F,则用积分和可以直接验证 I f(B,odB,=F(B,)-F(Bo) 346
346 å + + = - k t t t n n k n k n k H (2B 2B B ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 = å D + D = +å D + k t n k t t n k n k n k B B J B 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 . 于是有 ) | 0 2 2 1 | ( - 2 + 2® t E Hn Bt . 用 Chebyshev 不等式, 立得Hn 按概率收敛到 ( ) 2 1 2 B t t + . 特别地, 我们有 å D + + k t t t n k n k n k B B B E ( ) ( ) 1 ( ) 2 | | 0 2 - 1 Bt 2 2® . [注] ( ) Bt 可知的随机过程Ft 的可积条件(12. 25)还可以减弱. 定义１２.４７ （Stratonovich(随机)积分） 若 f 为连续可微函数, 则 å D + + k t t t n k n k n k B f B f B ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 的概率极限, 称为 Stratonowich 积分, 记为 t t T f (B )o dB 0 ò . 又若 t x 是一个 (Bt ) - 可知 的连续随机过程, 那么, 类似地定义 t t T f ( )o dB 0 x ò . 用与上面类似的推理，可以得到 Stratonowich 积分与 Ito 积分的如下关系: s s t f (B )o dB 0 ò 2 1 ( ) 0 = + ò s s t f B dB f B ds s t '( ) 0 ò . (12. 26) (但是 s s t f ( )o dB 0 x ò 2 1 ( ) 0 ¹ + ò s s t f x dB f ds s t '( ) 0 x ò , 在3.2段中, 我们将给出其正确的 形式). 例１２．４８ 2 0 2 1 t t t t B dB = B ò o . 例１２．４９ 如果函数 f 有原函数 F , 则用积分和可以直接验证 ( ) ( ) ( ) 0 0 f Bt dBt F Bt F B t = - ò o
这个结果与普通微积分中的结果是一致的,而Ito积分就没有这样简单的形式.这是 Stratonovich积分的优点.但是Ito-随机积分在计算中有其更为方便的优点,它便于利用 鞅论作理论推导的工具.所以在很多情况下,数学家更喜欢使用Ito积分,而物理学家则更 喜欢 Stratonovich积分. Ito积分有下面的一些基本性质: (1)线性性质 (+v)dB=ΦdB+|vdB, (c)dB=cΦdB. (对于一个只依赖于Bn:u≤a的随机时间η,也有 b (n①)dB=ndB) (2)可加性:对a<b<C有(对于a<b,定义 op dB opdB) dB (3)对任意(B,)有界停时τ,假定τ≤T,则可以定义 ∫B=」Φ,1 (0. (DdB,, 此外,作为“随机的”积分,它还有性质: (4)零期望性与鞅性:在1变化时,随机过程{中,dB,}是(B)鞅(这是Bowm 运动是鞅的推广),且 (5)协方差与平方可积鞅性质:对任意0≤u<t有 E(中,dB.里4)=E∫中里,d)(这是Bm运动平方可积鞅的推广) 从而随机过程(中,dB,)2-「d也是(B)鞅 347
347 这个结果与普通微积分中的结果是一致的, 而 Ito 积分就没有这样简单的形式. 这是 Stratonowich 积分的优点. 但是 Ito-随机积分在计算中有其更为方便的优点, 它便于利用 鞅论作理论推导的工具. 所以在很多情况下，数学家更喜欢使用 Ito 积分，而物理学家则更 喜欢 Stratonovich 积分． Ito 积分有下面的一些基本性质： (1) 线性性质 ò t 0 (Φ＋Ψ)dB = ò t 0 ΦdB＋ ò t 0 ΨdB, ò t 0 ( c Φ)dB = c ò t 0 ΦdB. ( 对于一个只依赖于{B u :u≤a}的随机时间h , 也有 ò b a (h Φ)dB = h ò b a ΦdB)． (2) 可加性：对a < b < c有（对于a < b, 定义 ò b a ΦdB = ò b 0 ΦdB - ò a 0 ΦdB） ò c a ΦdB = ò b a ΦdB + ò c b ΦdB. （３）对任意( ) Bt 有界停时τ, 假定t £ T , 则可以定义 t t T dB I(0, ] (t)dB 0 0 t t ò F = ò F D . 此外, 作为“随机的”积分，它还有性质： （４）零期望性与鞅性: 在t 变化时, 随机过程{ } 0 s s t F dB ò 是( ) Bt 鞅 （这是 Brown 运动是鞅的推广），且 ( ) 0 0 F = ò s s t E dB . （５）协方差与平方可积鞅性质: 对任意0 £ u < t 有 ( ) ( ) ò F ò Y = òF Y t u s s s t u s s t u E dB ds E ds （这是 Brown 运动平方可积鞅的推广）， 从而随机过程( ) } 2 0 2 0 dB ds s t s s t ò F - ò F 也是( ) Bt 鞅