《应用随机过程教程》教学资源（参考资料）与在算法和智能计算中的应用——第17章 Poisson随机分析简介与典型的点过程

龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第17章 Poisson随机分析简介与典型的点过程 1.非时齐的 Poisson过程与非时齐的复合 Poisson过程与特征泛函 1.1数值函数对 Poisson过程的积分 定义17.1设N是一个强度为的 Poisson过程,对应的更新流为{n}, Tn=tn-rn1~Exp2.定义[0,∞)上的函数f(1)关于N,的积分为 ∫(s)dN ∑fr,)(N,≥D) (17.1) (N1=0) 在t给定时,它是一个随机变量其含义为∫(s)在到时刻t为止的指数流上的函数值之和 如果把∫(s)看成在时刻s发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻t为止,由指数流描 述的事故流所付出的总代价.由定义显见有1dN,=N 1.2 Poisson过程的特征泛函 定义172对于 Poisson过程N,及定义在[Q,刀]上的函数f(),我们把f(s)N的 特征函数在1处的值记为Φ(f),即 于是对于给定一个函数∫,就有一个数Φ(∫)与之对应,这种从函数∫到(的映射称 为泛函,又因为此泛函是通过 Poisson过程的积分生成的,所以称为 Poisson过程的特征泛 例17.3当f(s)≡9·lon(s)时, Poisson过程的特征泛函就简化为 Poisson过程在时 刻的特征函数Ee…,而当f()=91loan()+92:l()时,特征泛函就简化为 Poisson过程在时刻1与时刻t2的联合特征函数Ee+M 设1<l2≤T.那么利用 Poisson过程的独立增量性与时齐性,对于

449 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 17 章 Poisson 随机分析简介与典型的点过程 1. 非时齐的 Poisson 过程与非时齐的复合 Poisson 过程与特征泛函 １．１ 数值函数对 Poisson 过程的积分 定义 17. 1 设Nt 是一个强度为l 的 Poisson 过程, 对应的更新流为{ }n t , l Tn = t n - t n-1 ~ Exp ． 定义[0,¥) 上的函数 f (t) 关于 Nt 的积分为 ï î ï í ì = ³ = å ò = 0 ( 0) ( ) ( 1)) ( ) 1 0 t n t N n s t N f N f s dN t t . (17. 1) 在t 给定时, 它是一个随机变量, 其含义为 f (s) 在到时刻t 为止的指数流上的函数值之和． 如果把 f (s) 看成在时刻 s 发生事故的代价, 那么这个积分就表示到时刻t 为止, 由指数流描 述的事故流所付出的总代价．由定义显见有 s t t ò １dN = N 0 ． １．２ Poisson 过程的特征泛函 定义 17.2 对于 Poisson 过程Nt 及定义在[0,T ]上的函数 f (t) , 我们把 s T f (s)dN 0 ò 的 特征函数在 1 处的值记为 ( f ) FN ，即 s T i f s dN N ( f Ee ( ) 0 ) ò F = ． 于是对于给定一个函数 f , 就有一个数 ( f ) FN 与之对应, 这种从函数 f 到F( f ) 的映射称 为泛函, 又因为此泛函是通过 Poisson 过程的积分生成的, 所以称为 Poisson 过程的特征泛 函． 例 17． 3 当 ( ) ( ) [0, ] f s I s t º J × 时, Poisson 过程的特征泛函就简化为 Poisson 过程在时 刻t 的特征函数 Nt i Ee q × ． 而当 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 (0 ] 1 2 f t I t I t t t ºJ × +J × 时, 特征泛函就简化为 Poisson 过程在时刻 1 t 与时刻 2 t 的联合特征函数 ( ) 2 2 1 1 Nt Nt i Ee q × +J ． 设t 1 < t 2 £ T . 那么利用 Poisson 过程的独立增量性与时齐性, 对于

f(1)=91·lon1(1)+92·o1(D),我们得到 d(=c(91·lp.1+92 再复杂一些对于0=10<1<…<≤T,及f()=∑cL,1(t),我们类似地可以 得到 这个公式对于任意连续函数,甚至更为一般的函数,可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确.于是我们得到如下的定理 定理17.4 Poisson过程的特征泛函的表达公式为 此定理是 Poisson随机变量的特征函数的自然推广 1.3非时齐 Poisson过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson过程N,它是非时齐的独立增量过程.它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数λ,而是一个依赖于时间的函数A(1),称 为非时齐的 Poisson过程的强度函数.即对于s<t,随机增量N1-N,服从参数为 λ(un)dlu的 Poisson分布.据此可以通过 Poisson分布,对非时齐的 Poisson过程作随机模 设N是一个强度为(1)的非时齐的 Poisson过程它是一种记录”事故”的计数过程 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为0=o<1<…<n<…它们间仍 由等式 {N≥n}={rn≤l 相联系.与时齐的 Poisson过程相比,{rn}不再是更新流(稍后将证明它是 Markov 定理17.5前n个发生时刻(r1…,rn)的联合分布密度gn(3,Sn)的表达式

450 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 ( , ] 1 1 2 f t I t I t t t t =J × +J × , 我们得到 F( f) = ( 1 × [0, ] + 2 × ( , ] ) = 1 1 2 t t t F J I J I ( ( ) 2 1 2 1 1 Nt Nt Nt i Ee q × +q - 2 2 2 1 1 t Nt t i N i Ee Ee - × = q q ( 1) 1 1 - = J l i t e e ( )( 1) 2 2 - 1 - J l i t t e e ` e dt t t t t I t I 1 i[ T e ( 1) ( )] ] 2 , 1 2 ( ( ) ] 1 [ 0 , 0 - + ò = q q l e dt if t T e ( 1) ( ) 0 - ò = l . 再复杂一些, 对于0 = t 0 < t 1 <L < t n £ T , 及 ( ) ( ) ( , ] 1 0 1 f t c I t k k k t t n k å + - = = , 我们类似地可以 得到 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l ． 这个公式对于任意连续函数, 甚至更为一般的函数, 可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确. 于是我们得到如下的定理. 定理 17. 4 Poisson 过程的特征泛函的表达公式为 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l . (17. 2) 此定理是 Poisson 随机变量的特征函数的自然推广. １．３ 非时齐 Poisson 过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson 过程Nt , 它是非时齐的独立增量过程．它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数l , 而是一个依赖于时间的函数l(t) , 称 为非时齐的 Poisson 过程的强度函数．即对于s < t , 随机增量Nt - Ns 服从参数为 u du t s l( ) ò 的 Poisson 分布．据此可以通过 Poisson 分布, 对非时齐的 Poisson 过程作随机模 拟． 设 Nt 是一个强度为l(t) 的非时齐的 Poisson 过程, 它是一种记录 ”事故” 的计数过程, 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为 0 = t 0 < t 1 < L < t n < L. 它们间仍 由等式 {N n} { t} t ³ = t n £ 相联系．与时齐的 Poisson 过程相比，{ }n t 不再是更新流 (稍后将证明它是 Markov 链)． 定理 17. ５ 前n 个发生时刻( , , ) 1 n t L t 的联合分布密度 ( , , ) 1 , , 1 n g s s t L t n L 的表达式 为

-∫(a)d 证明仿照时齐的 Poisson过程的情形便得 推论17.6发生时刻列{τn}是状态连续的非时齐的 Markov链. 证明在已知(τ1,…,Tn)=(S1…,Sn)的条件下,随机变量rn4的条件分布密度为 a(u)du a(s,ve 它只与τn的取值Sn有关 推论17.7在已知(τ1…,n)=(S1…,Sn)的条件下,第n+1个随机间隔 Tn1=rn+1-rn的条件分布密度为 g (|s13…,Sn)=λ(sn1) 定理17.8时刻t时的计数N与发生时刻的联合分布(注意这是混合型的随机向量) P(N1=n,r1≤S1,…,τn≤Sn)关于(s1…,Sn)的密度(称为 Poisson过程的样本分布)为 P,a…xs.(n,S,…,Sn)=[4(s1)…1(Sn)ns.<,m0+lmle·(17.5) 证明利用条件概率 P(N =nT ,Tn=Sn)=P(N1-N,=0) 及定理17.5即得 非时齐的 Poisson过程的时齐随机分流定理仍然成立即如果将强度函数为A(1)的非时 齐的 Poisson过程N的发生的各个事故以概率p和1-p与N独立地分别归入第1类和第 2类,那么,第1类发生时刻列是一个强度函数为p(1)的非时齐 Poisson过程N的事件发 生时刻列 同样,非时齐的 Poisson过程的非时齐分流定理也是成立的 定理17.9设n12…,nn是独立同分布的随机变量,其分布密度为

451 {0 } ( ) , , 1 1 1 0 1 ( , , ) ( ) ( ) n n s n s s u du n n g s s s s e I £ < < - ò L L = L L l t t l l ． （１７．３） 证明 仿照时齐的 Poisson 过程的情形便得． 推论 1 7. ６ 发生时刻列{ }n t 是状态连续的非时齐的 Markov 链． 证明 在已知( , , ) ( , , ) 1 n 1 n t L t = s L s 的条件下, 随机变量 n +1 t 的条件分布密度为 ( | , , ) 1 | 1 , , n 1 1 n g s s s t n+ t L t n + L = 1 1 ( ) 1 ( ) + + + < ò n n n s n S s s u du n s e I l l , 它只与 n t 的取值 n s 有关. 推 论 17. ７ 在已知 ( , , ) ( , , ) 1 n 1 n t L t = s L s 的条件下 , 第 n +1 个随机间隔 Tn n n = t -t +1 +1 的条件分布密度为 ( | , , ) T 1 | 1 , , 1 n g t s s n+ t L t n L 1 ( ) 1 ( ) + - + < ò = n n sn t n S s s u du n s e I l l ． （１７．４） 定理 17. ８ 时刻t 时的计数 Nt 与发生时刻的联合分布 (注意这是混合型的随机向量) ( , , , ) t 1 1 n n P N = n t £ s L t £ s 关于( , , ) 1 n s L s 的密度（称为 Poisson 过程的样本分布）为 ( , , , ) N , 1 , , 1 n p n s s Nt t t Lt L u du n s s n n t n s s I I e ( ) 1 {0 , 0} { 0} 0 1 [ ( ) ( ) ] l l l ò = + - L £ <L< > = ．（１７．５） 证明 利用条件概率 ( | , , ) t 1 1 n n P N = n t = s L t = s u du t s t n s n P N N e ( ) ( 0) l ò = - = = - 及定理 17. ５ 即得． 】 非时齐的 Poisson 过程的时齐随机分流定理仍然成立, 即如果将强度函数为l(t) 的非时 齐的 Poisson 过程Nt 的发生的各个事故以概率 p 和1- p 与 Nt 独立地分别归入第 1 类和第 2 类, 那么, 第 1 类发生时刻列是一个强度函数为 pl(t) 的非时齐 Poisson 过程 (1) Nt 的事件发 生时刻列． 同样, 非时齐的 Poisson 过程的非时齐分流定理也是成立的． 定理 17. ９ 设h hn , , 1 L 是独立同分布的随机变量, 其分布密度为

A(1) o=() (17.6) A(u)du 那么,在N=n的条件下,发生时刻(r1…,xn)的条件分布与(n,…,n’)同分布,其中 nh,…nn是n1,…,nn按由小到大排列后的次序随机变量列:n1<…<n 证明仿照时齐的 Poisson过程的相应定理的证明 定理17.9可以用以对给定强度的非时齐的 Poisson过程作计算机模拟 例17.10放射元发射的光子数目可以用强度为 入(t、a.B)=o.p-B (a,B>0) 的非时齐的 Poisson过程来建模.它模拟了放射强度的衰变情况.而在核医疗中使用的光脉 冲序列通常用强度为 A(,y,a1,…an,B1…B)=y+∑a,e(ak,B,y>0) 的非时齐的 Poisson过程来模拟并建模,而调幅,调相与调频为∫m的脉冲光源则可以分别 用强度为 λ(1,y,a,B)=y+aB|S(1)|2 a(t,r, a,B)=y+aS(t-B)l a(t, r, a,B, m)=y+a(1+ mcos[2T( +B)r]( mk1) 的非时齐的 Poisson过程模拟 1.4数值函数对非时齐 Poisson过程的积分及非时齐的 Poisson过程的特征泛函 我们仍可以定义[O∞)上的数值函数f()关于非时齐 Poisson过程N,的积分为 f(rn)(N≥1) (17.7) (N1=0) 同样,在t给定时它是一个随机变量.如果把∫(s)看成在时刻S发生事故所付出的代价,那 么这个随机积分仍表达到时刻t为止,由此非时齐的 Poisson过程所描述的事故流所付出的 总代价 定义17.11非时齐的 Poisson过程的特征泛函仍定义为

452 ( ) ( ) ) [0, ) 0 I t u du (t t ¥ ò l l ． （１７．６） 那么, 在Nt = n的条件下, 发生时刻( , , ) 1 n t L t 的条件分布与 , , ) * * 1 n (h L h 同分布, 其中 * * 1 , , h L hn 是h hn , , 1 L 按由小到大排列后的次序随机变量列: * * h1 < L <hn . 证明 仿照时齐的 Poisson 过程的相应定理的证明. 】 定理１７.９可以用以对给定强度的非时齐的 Poisson 过程作计算机模拟． 例１７．１０ 放射元发射的光子数目可以用强度为 ( , , ) = × ( , > 0) - × l a b a a b b t t e 的非时齐的 Poisson 过程来建模．它模拟了放射强度的衰变情况. 而在核医疗中使用的光脉 冲序列通常用强度为 ( , , , , , , , ) , , 0) 1 1 1 = + > - = l g a a b b g å a a b g b k k t i n k n n t e ( L L i 的非时齐的 Poisson 过程来模拟并建模. 而调幅, 调相与调频为 m f 的脉冲光源则可以分别 用强度为 2 l(t,g ,a, b ) = g +ab | S(t) | , 2 l(t,g ,a, b ) = g +a | S(t - b ) | 与 (t, , , ,m) = + (1+ mcos[2 ( f + )t]) (| m |< 1) l g a b g a p m b 的非时齐的 Poisson 过程模拟. １．４ 数值函数对非时齐 Poisson 过程的积分及非时齐的 Poisson 过程的特征泛函 我们仍可以定义[0,¥) 上的数值函数 f (t) 关于非时齐 Poisson 过程Nt 的积分为 ï î ï í ì = ³ = å ò = 0 ( 0) ( ) ( 1)) ( ) 1 0 t n t N n s t N f N f s dN t t ． （１７．７） 同样, 在t 给定时它是一个随机变量．如果把 f (s) 看成在时刻 s 发生事故所付出的代价, 那 么这个随机积分仍表达到时刻t 为止, 由此非时齐的 Poisson 过程所描述的事故流所付出的 总代价． 定义 17．１１ 非时齐的 Poisson 过程的特征泛函仍定义为 (f ) F N t T i f t dN Ee ( ) 0 ò = ．

特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广.由 于在s<t时有 「(m)dne"-1) Ee(-N,)= 于是对于f()=91lon()+92·l41就有 d()=9·lon+92lta1)= (61M1+62(N2-Nn) E ee 02(N2-Nn) (n)du-1)「(a)de2-1 「(e"1n1(10)-1)d ((e()-1)d 我们可以归纳为如下的定理 定理17.12对于连续函数∫(m)(或更为一般的有界Borl函数∫),非时齐的 Poisson过程的特征泛函在∫处的值为 f(r)dN a(new-l)dr (17.8) 在一些统计问题中常常用到在强度函数(1)中带有未知参数的非时齐的 Poisson过 程(参见例17.10),这时需要用实测数据来估计这些未知参数,例如用最大似然估计,于是 需将观测到的样本置入定理17.8的分布中去,为此我们要对定理17.8作如下的变形 定理17.8’对于非时齐的 Poisson过程,我们有(由过程的一个样本给出的似然函 数):在N,=0时 i(u)du P 而在N,>0时 4mMn∑mn,-a InA(u)dN P (17.9) [注]在用例17.10的参数模型建模时,需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数.而使(17.9)取得最大值的参数作为估计,就是最大似然估计 推论17.13 E(/(S)dN, )=/(s)X(s)ds (1 10) Var( f(s)dN,)= f(s)2(s)ds (17.11 证明由定理17.9,利用对称性,我们得到

453 特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广． 由 于在 s < t 时有 ( ) ( 1) ( ) - - ò = q l q i t t s s u du e i N N Ee e , 于是对于 f t I t I (t) 1 [0,t ] 2 (t ,t ] 1 1 2 ( ) =J × ( ) +J × 就有 F f = F( 1 × I [0,t ] + 2 × I (t ,t ] ) = 1 1 2 ( ) J J ( ( ) 2 1 2 1 1 Nt Nt Nt i Ee q × +q - ( ) 2 1 2 1 1 t Nt Nt i N i Ee Ee × - = q q ( ) ( 1) 1 1 0 - ò = J l i t u du e e ( ) ( 1) 2 2 1 - ò J l i t t u du e e ` t e dt t ) t t t I t i ( 1I T e ( )( 1) ( ) 2 ( 1 , 2 ] ( ) [ 0, 1] 0 - + ò = q q l t e dt if t T e ( )( 1) ( ) 0 - ò = l ． 我们可以归纳为如下的定理 定理１７．１２ 对于连续函数 f (t) (或更为一般的有界 Borel 函数 f ), 非时齐的 Poisson 过程的特征泛函在 f 处的值为 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò t e dt N if t T f e ( )( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l ． （１７．８） 在一些统计问题中常常用到在强度函数l(t) 中带有未知参数的非时齐的 Poisson 过 程 (参见例 17.10), 这时需要用实测数据来估计这些未知参数, 例如用最大似然估计, 于是 需将观测到的样本置入定理 17. ８的分布中去, 为此, 我们要对定理１７．８作如下的变形 定理 17. ８’ 对于非时齐的 Poisson 过程, 我们有(由过程的一个样本给出的似然函 数)：在 Nt = 0 时 u du N t n t Nt t p N e ( ) , , , 1 0 1 ( , , , ) l t t t t ò = - L L , 而在 Nt > 0 时 u t t k Nt k t Nt t u du u du u dN N t n p N e e ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) , , , 1 0 1 0 0 1 ( , , , ) l l t l l t t t t ò ò = ò å = - + - + L = L ． （１７．９） ［注］ 在用例１７.１０的参数模型建模时，需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数．而使（１７．９）取得最大值的参数作为估计，就是最大似然估计． 推论 １７．１３ ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN = f s s ds t ( ) ( ) 0 l ò ， （１７．１０） = ò ( ( ) ) 0 s t Var f s dN f s s ds t ( ) ( ) 2 0 l ò ． （１７．１１） 证明 由定理１７．９, 利用对称性, 我们得到