第三讲多维随机变量及其概率分布 内容提要 (1)联合分布函数与边缘分布函数(关系与性质) (2)二维离散型随机变量(联合分布律及性质,边缘分布,条件分布,独立性 判断) (3〕二维连续型随机变量(联合密度函数及性质,概率计算,边缘密度,条件 分布及密度,独立性判断) (4)独立随机变量及相关性质(独立性判断,相关计算) (5)随机变量函数的分布(离散场合,连续场合,和、商、积与极值的分布) (6)常见的两个二维分布(二维均匀,二维正态以及它们的相关性质) 典型问题 问题1:二维随机变量及其分布的基本概念与性质 问题2:给定实际背景,求二维随机变量的分布律与分布函数(或密度函数) 问题3:利用已知分布,求相关事件的概率 问题4:计算由给定的事件或随机变量定义的新的二维随机变量的分布及概率 问题5:由已知分布独立性等计算相关事件的概率 问题6:计算二维随机变量的函数的分布与概率计算 问题7:随机变量独立性的相关问题 典型例题 例3.1.选择题: (1)设X1,X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度函数分别 为f(x),f2(x),分布函数分别为F(x),F2(x),则 (A)f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 (B)f1(x)2(x)必为某一随机变量的概率密度 (C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的概率分布函数 (D)F(x)F2(x)必为某一随机变量的概率分布函数 (2)设随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(X=1)=,则下列各 式中成立的是 (A) P(X=Y) (B)P(X=Y)=1 (C)P(x+Y=0)=(D)P(x=1)=1 (3)设随机变量X与Y相互独立且同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量
第三讲 多维随机变量及其概率分布 内容提要 （1）联合分布函数与边缘分布函数（关系与性质） （2）二维离散型随机变量（联合分布律及性质，边缘分布，条件分布，独立性 判断） （3）二维连续型随机变量（联合密度函数及性质，概率计算，边缘密度，条件 分布及密度，独立性判断） （4）独立随机变量及相关性质（独立性判断，相关计算） （5）随机变量函数的分布（离散场合，连续场合，和、商、积与极值的分布） （6）常见的两个二维分布（二维均匀，二维正态以及它们的相关性质） 典型问题 问题 1: 二维随机变量及其分布的基本概念与性质 问题 2: 给定实际背景, 求二维随机变量的分布律与分布函数(或密度函数) 问题 3: 利用已知分布，求相关事件的概率 问题 4: 计算由给定的事件或随机变量定义的新的二维随机变量的分布及概率 问题 5: 由已知分布独立性等计算相关事件的概率 问题 6: 计算二维随机变量的函数的分布与概率计算 问题 7: 随机变量独立性的相关问题 典型例题 例 3.1. 选择题： (1) 设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别 为 ，分布函数分别为 ，则 1 2 X , X ( ), ( ) 1 2 f x f x ( ), ( ) 1 2 F x F x （A） ( ) ( ) 1 2 f x + f x 必为某一随机变量的概率密度； （B） f1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度； （C） ( ) ( ) 1 2 F x + F x 必为某一随机变量的概率分布函数； （D） ( ) ( ) 必为某一随机变量的概率分布函数. 1 2 F x F x (2) 设随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布： 2 1 P(X = −1) = P(X = 1) = ，则下列各 式中成立的是 （A） 2 1 P(X = Y ) = （B） P(X = Y ) = 1 （C） 4 1 P(X + Y = 0) = （D） 4 1 P(XY = 1) = (3) 设随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，记U = X − Y,V = X + Y ，则随机变量
U与V (A)独立(B)不独立(C)相关系数不为0(D)相关系数为0 (4)设随机变量X与Y相互独立,且X~B(n2p),Y~B(n2,p),则X+Y (A)B(n1+n2,2p) (B)B(m1+n2,P) (C) BO n,+ n (D)B( n1+n2 ,2p) (5)设随机变量X,Y相互独立,且X~N(3,a2),Y~N(-1,a2),则 下列式子中正确的是 (A)P(X+y≤-2)=(B)P(X+}≤2)= (C)P(X-Y≤-2)=(D)P(X-Y≤2)= 例3.2.填空题 (1)设随机变量X与Y相互独立,X~B(2,p),Y~B(3,p),且P(X≥1)=,则 P(X+Y=1) (2)设平面区域D由曲线y=1及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量 (X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值 为 (3)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 6x0≤x≤y≤1 0 其它 则P(X+Y≤1) (4)设随机变量X(=1,2)均服从如下分布: X1=-1)=P(X=1)=,P(X1=0) 且满足P(X1X2=0)=1,则P(X1=X2)= (5)设X,Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为F(x),F1(y),则 Z=min(XY)-1的分布函数F2(z)
U 与 V （A）独立（B）不独立（C）相关系数不为 0（D）相关系数为 0 (4) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ B(n1 , p) ，Y ~ B(n2 , p)，则 X + Y ~ （A） B(n1 + n2 ,2 p) （B） ( , ) 1 2 B n + n p （C） , ) 2 ( 1 2 p n n B + （D） ,2 ) 2 ( 1 2 p n n B + (5) 设随机变量 X, Y 相互独立，且 X～ 2 N(3,σ )，Y ～ 2 N( 1− ,σ ) ，则 下列式子中正确的是 （A） 1 2 P X( + ≤ Y −2) = （B） 1 2 P X( 2 +Y ≤ ) = （C） 1 2 P X( − ≤ Y −2) = （D） 1 2 P X( 2 −Y ≤ ) = 例 3.2. 填空题： (1) 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X ~ B(2, p),Y ~ B(3, p)，且 9 5 P(X ≥ 1) = ，则 P(X + Y = 1) = . (2) 设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 所围成，二维随机变量 在区域 D 上服从均匀分布，则 关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值 为 2 y = 0, x = 1, x = e (X ,Y ) (X ,Y) 。 (3) 设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ = 0 其它 6 0 1 ( , ) x x y f x y ， 则 P(X + Y ≤ 1) = . (4) 设随机变量 Xi(i = 1,2) 均服从如下分布： , 1,2 2 1 , ( 0) 4 1 P(Xi = −1) = P(Xi = 1) = P Xi = = i = 且满足 P(X1X2 = 0) = 1，则 ( ) P X1 = X2 = . (5) 设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 ，则 的分布函数 ＝ F (x),F (y) X Y Z = min(X ,Y )－1 F (z) Z
例3.3.某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现 在随机抽取一件,令 X ∫1,若抽出等品 i=1.2.3 其它 (1)求X1和X2的联合分布;(2)求1和X2的相关系数 例34.设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量 lU≤1 X 1U>-1 1U>1 试求:(1)X和Y的联合概率分布;(2)H+Y的概率分布 例3.5.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y 在1~X中等可能地取整数值,求条件分布率P(Y=k|X= 例3.6.设随机变量X和Y的联合分布函数为 F(x,y)=250(20-x2y-xy2)0sxs50≤y≤5 0 其他 试求P(X>2) 例37.设二维随机变量(X,)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctan (C+arctan),-oo<x, y<+oo 试求系数A、B及C,并问X与Y是否相互独立,为什么? 例3.8.已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=Ae-a +by -g, -o0<x, y<+oo 问在什么条件下,X与y相互独立。 例3.9.设XY相互独立,下表为(X,Y)的分布律及边缘分布律的部分数值,又 知P(X+Y=2)=,试将其余值填入表中 0 P
例 3.3. 某箱装有 100 件产品, 其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现 在随机抽取一件，令 X = , i =1, 2, 3. i ⎩ ⎨ ⎧ 其它 若抽出 等品 0 1, i (1) 求 X 和 的联合分布; (2) 求 和 的相关系数. 1 X2 X1 X2 例 3.4. 设随机变量 U 在区间[-2,2]上服从均匀分布, 随机变量 ⎩ ⎨ ⎧ > − − ≤ − = 1 1 1 1 U U X , ⎩ ⎨ ⎧ > − ≤ = 1 1 1 1 U U Y 试求：(1) X 和 Y 的联合概率分布;(2) X+Y 的概率分布. 例 3.5. 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一随机变量 Y 在1 ~ X 中等可能地取整数值，求条件分布率 P(Y = k | X = i) . 例 3.6. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ≤ ≤ ≤ ≤ = 0 其他 (20 ) 0 5, 0 5 250 1 ( , ) 2 2 xy x y xy x y F x y 试求 P(X > 2) 例 3.7. 设二维随机变量（X,Y）的分布函数为 = + + − ∞ < x y < +∞ y C x F x y A B ), , 3 )( arctan 2 ( , ) ( arctan 试求系数 A、B 及 C，并问 X 与 Y 是否相互独立，为什么？ 例 3.8. 已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为 = − ∞ < < +∞ − + − f x y Ae x y ax bxy cy ( , ) , , 2 2 问在什么条件下，X 与 Y 相互独立。 例 3.9. 设 X,Y 相互独立，下表为（X, Y）的分布律及边缘分布律的部分数值，又 知 4 1 P(X + Y = 2) = ，试将其余值填入表中： Y X 0 1 2 p⋅ j
0 P
0 121 1pi ⋅ 41 1