机地投掷一点，事件A就是所投掷的点落在Q中的可度量图形A中.这里我们研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型一几何概型，（从古典概型到几何概型，几何概型从一维到多维是一步一步演化来的。我们做任何事情都不能急于求成，只有打好基础，才能盖成高楼大厦。）例某路公共汽车每5min发出一辆车，求乘客到达站点后，等待时间不超过3min的概率如果记此事件为A，乘客到达站点的时刻t(0≤t≤5)可视为向时间段[0,5]投掷一随机点。从而向时间段内投点对应于向线段上投点教学事件A=(2≤t≤5)表示“等待时间不超过3min，流程而样本空间Q=Q=(0≤t≤5)，这里所投掷的点落在线段上任一点的可能性都一样或说具有等可能性.我们理解这种等可能性的含义，就是点落在时间段内的可能性与该线段的长度成正比，与该线段的位置无关.因此事件A的概率决定于线段[2,5]与[0,5]的长度L(A) _ 3比，即P(A)=乡L(S)5 .几何概率的定义：如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域Q任取一点，而所取的点落在Q中任意两个度量（长度、面积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域，ACQ，定义事件“任取一点落在区域A内”发生的概率为A的度量P(A)=2的度量例6甲乙二人相约定7：00-8：00在预定地点会面，先到的人
教 学 流 程 机地投掷一点,事件 A就是所投掷的点落在 中的可度量图形 A 中． 这里我们研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等 可能随机试验的概率模型—几何概型. （从古典概型到几何概型，几何概型从一维到多维是一步一步 演化来的。我们做任何事情都不能急于求成，只有打好基础，才能 盖成高楼大厦。） 例 某路公共汽车每5min 发出一辆车，求乘客到达站点后，等待时 间不超过3min 的概率． 如果记此事件为 A，乘客到达站点的时刻t (0 t 5) 可视为向 时间段0,5投掷一随机点．从而向时间段内投点对应于向线段上投 点． 事件 A 2 t 5表示“等待时间不超过3min ， 而样本空间Ω＝ {0 t 5}，这里所投掷的点落在线段上任 一点的可能性都一样或说具有等可能性．我们理解这种等可能性的 含义，就是点落在时间段内的可能性与该线段的长度成正比，与该 线段的位置无关．因此事件Ａ的概率决定于线段[2,5]与[0,5]的长度 比，即 ( ) 3 ( ) ( ) 5 L A P A L S . 几何概率的定义:如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某 一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量（长度、面 积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为 几何概型，对于任意有度量的子区域， A ，定义事件“任取一 点落在区域 A内”发生的概率为 ( ) A P A 的度量 的度量 例 6 甲乙二人相约定 7：00-8：00 在预定地点会面，先到的人
要等候另一人20分钟后，方可离开，假定他们在指定的一小时内任意时刻到达，求二人能会面的概率。解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y（分钟），则两人到达时间的一切可能结果对应于边长为60的正方形里所有点A=（二人会面） A=((x,J)| -<20)P(4) = 60°-40°_ 56029练习1某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台教报时，求他等待的时间不超过10分钟的概率。（1/6)学2在线段AD上任意取两个点B、C，在B、C处折断此线段流程而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率，解：设A=（三折线能构成三角形)设AD=l，AB=x，BC=y，CD=1-x-y则样本空间Q=(x,)|×≥0,≥0,x+1),0<y<A=(两边之和大于第三边)=(x,J)|0<x<,x+y>212P(A) =4小结：1.常见的古典概型的类型；2.一维、二维几何概型的计算教学后记
教 学 流 程 要等候另一人 20 分钟后，方可离开，假定他们在指定的一小时内任 意时刻到达.求二人能会面的概率。 解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则 两人到达时间的一切可能结果对应于边长为 60 的正方形里所有点 A＝｛二人会面｝ A {(x, y) x y 20} 2 2 2 60 40 5 ( ) 60 9 P A 练习 1 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电 台 报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的概率. (1/6) 2 在线段 AD 上任意取两个点 B、C ，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率. 解：设 A＝｛三折线能构成三角形｝设 AD 1，AB x ，BC y ， CD 1 x y . 则样本空间 {(x, y) x 0, y 0, x y 1} A＝｛两边之和大于第三边｝＝ 1 1 1 {( , ) 0 ,0 , } 2 2 2 x y x y x y 1 ( ) 4 P A 小结：1.常见的古典概型的类型； 2.一维、二维几何概型的计算. 教 学 后 记
章节（单元）教案要素内容教学2章节名称第一章随机事件与概率时数单元内容时间2021年9月7日第7、8节S1.3概率的性质掌握随机事件的性质；教学目标会应用随机变量的性质求随机事件的概率。对学生进行思政教育，让学生学会从别人的角度思考问题，从观念的相反角度思考问题，不要固化自己。思政目标让学生学会转换角度思考问题，特别是一个命题的逆否命题，教学重点：随机事件的性质；重点难点教学难点：随机事件的性质的证明。1.掌握随机事件的性质；教学要求2.会应用随机变量的性质求随机事件的概率；教学方法课堂讲授、课堂讨论、课堂练习等授课方式传统板书与多媒体课件辅助教学相结合练习习题1-3第1、2、16、17、18、19题。作业[1]陈希孺.概率论与数理统计.北京：科学出版社.2002.参考[2]李贤平.概率论基础.3版.北京：高等教育出版社.2010.资料[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.北京：高等教育出版.2008.注：一个教学单元是指一次理论课（2学时）或者一个完整实验
章节（单元）教案 要 素 内 容 章节名称 第一章 随机事件与概率 教学 时数 2 单元内容 §1.3 概率的性质 时间 2021 年 9 月 7 日第 7、8 节 教学目标 掌握随机事件的性质； 会应用随机变量的性质求随机事件的概率。 思政目标 对学生进行思政教育，让学生学会从别人的角度思考问题,从观 念的相反角度思考问题,不要固化自己。 让学生学会转换角度思考问题,特别是一个命题的逆否命题. 重点难点 教学重点：随机事件的性质； 教学难点：随机事件的性质的证明。 教学要求 1.掌握随机事件的性质； 2.会应用随机变量的性质求随机事件的概率； 教学方法 课堂讲授、课堂讨论、课堂练习等 授课方式 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 练 习 作 业 习题 1-3 第 1、2、16、17、18、19 题。 参 考 资 料 [1]陈希孺.概率论与数理统计.北京:科学出版社.2002. [2]李贤平.概率论基础.3 版.北京:高等教育出版社.2010. [3] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.北京:高等教育出 版.2008. 注：一个教学单元是指一次理论课（2 学时）或者一个完整实验
章节（单元）教案、概率的性质性质 1. P(O)=0 .性质2.有限可加性：设A,A，"",A,是两两互不相容的事件，则有即若 AA,=O (1≤i< j≤n)则 P(UA)=ZP(A).iel性质3.对任一随机事件A，有P(A)=1-P(A)（对学生进行思政教育，让学生学会从别人的角度思考问题，从观念的相反角度思考问题，不要固化自己）性质4. 设A,B是两个事件,若 AcB 则P(B-A)=P(B)-P(A),教学P(B) ≥ P(A)流程证明因为ACB，从而有B=AU(B-A)），且A(B-A)=Φ.由性质2得P(B)= P(A)+ P(B- A) 所以 P(B- A) = P(B)-P(A)由于 P(B-A)≥0，因此 P(B)≥P(A)性质5：对任意事件A，P(A)≤1.性质6(减法公式)：对事件A,B,则P(B-A)=P(B)-P(AB)证明由于B-A=B-AB，而ABCB根据性质4可得性质7:对任意两个事件A,B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)推广：P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)证明:因为AUB=AU(B-AB)且A(B-AB)=Φ,ABCB,由性质2及性质4得P(AU B) = P(A) + P(B - AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
章节（单元）教案 教 学 流 程 一、概率的性质 性质 1. P() 0 . 性质 2.有限可加性：设 1 2 , , , A A An 是两两互不相容的事件,则有 即若 Ai Aj (1 i j n) 则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A . 性质 3.对任一随机事件 A，有 P(A) 1 P(A) (对学生进行思政教育，让学生学会从别人的角度思考问题,从观念 的相反角度思考问题,不要固化自己) 性质 4.设 A,B 是两个事件,若 A B 则 P(B A) P(B) P(A) ， P(B) P(A) 证明 因为 A B ，从而有 B A (B A) ），且 A(B A) ．由 性质2得 P(B) P(A) P(B A) 所以 P(B A) P(B) P(A) 由于 P(B A) 0 ，因此 P(B) P(A) 性质 5：对任意事件 A，P(A) 1. 性质 6(减法公式)：对事件 A,B ,则 P(B A) P(B) P(AB) 证明 由于 B A B AB ，而 AB B 根据性质4可得 性质 7:对任意两个事件 A,B ，有 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 推广: P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 证明:因为 A B A (B AB) 且 A(B AB) , AB B ， 由性质2及性质4得 P(A B) P(A) P(B AB) P(A) P(B) P(AB)
般地，设A,A"A,为n个随机事件，则有P(U4)=ZP(4)- Z P(44,)+ ZP(4A,4)-+(-1)P(4A.-A. )Isiciisick此公式称为概率的一般加法公式。例1:设 P(A)=0.4, P(B)=0.25, P(A-B)=0.25 P(AUB)=0.6,求(1) P(AB);(2)P(AUB);(3)P(B-A);(4) P(AB)解：(1) P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.4-0.25=0.15(2) P(AU B)= P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5 ;(3) P(B- A)= P(B)- P(AB)= 0.25 - 0.15 = 0.1(4) P(AB)= P(AUB)=1- P(AU B)=1-0.5 =0.5（让学生学会转换角度思考问题，特别是一个命题的逆否命题.）教11学例 2: 设 P(A)= P(B)= P(C)=,P(AC)= P(BC) =P(AB)= 0-16'4流程求事件A,B,C全不发生的概率。解：P(ABC)=P(AUBUC)因为ABCCAB，所以P(ABC)PAB），而P(AB)=O所以P(ABC)= 0练习设事件A、B的概率分别为1/3、1/2，求在下列三种情况下P(BA)的值（1）A与B互不相容（2）AB（3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得P(BA)=P（B）=1/2(2)P(BA)=P（B)-P（A)=1/6(3) P(BA)=P (B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3/8教学后记
教 学 流 程 一般地,设 1 2 , , , A A An 为 n 个随机事件，则有 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 1 n n n i i i j i j k n i i i j n i j k n P A P A P A A P A A A P A A A 此公式称为概率的一般加法公式。 例 1：设 P(A) 0.4, P(B) 0.25, P(A B) 0.25 P(A B) 0.6, 求(1) P(AB) ; (2) P(A B) ; (3) P(B A) ; (4) P(AB) . 解: (1) P(AB) P(A) P(A B) 0.4 0.25 0.15 (2) P(A B) P( A)+P( B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5 ; (3) P(B A) P(B) P(AB) 0.25 0.15 0.1 (4) P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.5 0.5 (让学生学会转换角度思考问题,特别是一个命题的逆否命题.) 例 2：设 1 ( ) ( ) ( ) 4 P A P B P C ，P(AC) P(BC) 1 16 ， P(AB) 0 求事件 A,B,C 全不发生的概率。 解： P(ABC) ＝ P(A B C) 因 为 ABC AB , 所 以 P(ABC) PAB) , 而 P(AB) 0 所 以 P(ABC) 0 练习 设事件 A、B 的概率分别为 1/3、1/2，求在下列三种情况下 P(BA) 的值 （1）A 与 B 互不相容 （2）A B （3）P（AB）=1/8 解：（1）由已知得P(BA) =P（B）=1/2 （2）P(BA) =P（B）-P（A）=1/6 （3）P(BA) =P（B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3/8 教 学 后 记