定理2（极值第二判别法） 设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x,)=0,f"(x)≠0 (I)若f"(x)<0,则f(x在点xo取极大值； (2)若f"(xo)>0,则f(x)在点xo取极小值 证：()f"(o)=1im）-f)=imf x→x0 x-X0 x-→>x0X-X0 由f"(x)<0知，存在8>0，当0<x-x<8时 f'<0 x-X0 故当x-6<x<x时，f'(x)>0 当x0<x<+δ时，f'(x)<0, x0δx0x8 由第一判别法知f(x)在x,取极大值 (2)类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解：1)求导数 f'(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-1)5x2-1) 2)求驻点 令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 3)判别 因f"(0)=6>0,故f(0)=0为极小值； 又f"(-1)=f"(1)=0,故需用第一判别法判别 由于f'(x)在x=±1左右邻域内不变号， .f(x)在x=±1没有极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 1, 0, 1 x1 = − x2 = x3 = 3) 判别 因 f (0) = 6 0, 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束