例1n维向量组 〔10,…,0)y,e2=(,1,…,0)y,…,en=1(0,…,1) 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性. 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 e1 15℃29” en) 是n阶单位矩阵.由I=1≠0,及定理2的推论知, An维单位坐标向量组线性无关。 或r(=,得线性无关。 上或
n 维向量组 ( ) ( ) ( ) T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 = 2 = ， = 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n I e e e n = n 由 I = 1 0， 例１ 及定理 2的推论知， n维单位坐标向量组线性无关。 或r(I)=n，得线性无关
例2已知 0 2 1,a2=2,a3=4 试讨论向量组a1,a2,a3及a1,a2的线性相关性 解分析 牛“对矩阵(a,a2,a),施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵可同时看出矩阵(a,a,a 庄及(a,a)的秩,利用定理2即可得出结论 上或
， ， ， = = = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1 2 3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 2 . , 1 2 1 2 3 1 2 3 及（ ， ）的秩，利用定理 即可得出结论 成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变 例２ 已知 分析
102)n2(-1)(102 192 )=124~022 157)n1(-1)(055 5、(102 23 2|022 00 可见a1424)=2故向量组aa线性相关 r(a1,a2)=2,故向量组a1,a2线性无关 上或
= 1 5 7 1 2 4 1 0 2 ( , , ) 1 2 3 ~ ) 2 5 ( r23 − ， 0 0 0 0 2 2 1 0 2 ( , ) 2, , . ( , , ) 2 , , 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 故向量组 线性无关 可见 ，故向量组 线性相关； = = r r ~ ( 1) ( 1) 12 13 − − r r 0 5 5 0 2 2 1 0 2
3 5 3 例3设向量组a1=|2,a2=4,a3 问取何值时,向量组线性无关取何值时, 向量组线性相关 353 解:因为aa,a1=241l=2t-3 0-1t 所以当≠时向量组a线性无关 王2时向量组4线性相关 上或
. , ; , 1 , 3 , 1 4 5 , 0 2 3 3 : 1 2 3 向量组线性相关 问 取何值时向量组线性无关 取何值时 例 设向量组 t t t = − = = 2 3 0 1 2 4 1 3 5 3 1 2 3 = − − = t t 解：因为 , . 2 3 , ; 2 3 , 1 2 3 1 2 3 时 向量组 线性相关 所 以 当 时 向量组 线性无关 = t t
王例4已知向量组a,a1a线性无关b=a+a, b2=a2+ax2b3=a3+a1,试证b,b2,b线性无关 证法1设有x1,x2,x3使 x b,+xb+x 即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(ax3+a1)=0, 中亦即(x1+xx1+(x1+x)2+(x2+x)3=0, 上因a1,a2a线性无关,故系数必需全为零,即有 x1+x3=0, x1+x2= 0 C +x 2 3 =0 上或
, , , , . , , , , 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 试 证 线性无关 已知向量组 线性无关 b b b b b b = + = + 例 4 = + 0 , , 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x b + x b + x b = 设有x x x 使 ( ) ( ) 0, 即 x（1 1 + 2）+ x2 2 + 3 + x3 3 + 1 = ) ( ) ( ) 0, 亦即（x1 + x3 1 + x1 + x2 2 + x2 + x3 3 = 因1，2，3线性无关，故系数必需全为零，即有 + = + = + = 0. 0, 0, 2 3 1 2 1 3 x x x x x x 证法1