由于此方程组的系数行列式 101 110=2≠0 011 故方程组只有零解x1=x2=x3=0,所以向量组 b1,b2,b线性无关 证法2由b=a1+a2,b=a2+3=+B, 「101 即有,(b1,b2,b3)=(a1 (a1,a2,a3)110 可对应记作B=AC. 01 上或
2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = 由于此方程组的系数行列式 , , . 0 1 2 3 1 2 3 线性无关 故方程组只有零解 ，所以向量组 b b b x = x = x = 证法2 = 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ( , , ) ( , , ) 即有， b1 b2 b3 a1 a2 a3 可对应记作 B = AC. , , , 1 =1 +2 2 =2 +3 3 =3 +1 由b b b
由 101 C=110=2≠0 知r(B)=r(A)而利用定理2,知r(A)=3,进而知 向量组,b2,b线性无关 接下来,我们给出常用的线性相关判定的几 个性质: 上或
2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 C = = 由 知 r(B) = r(A). , , . 向量组b1 b2 b3线性无关 而利用定理 2，知r(A) = 3,进而知 接下来，我们给出常用的线性相关判定的几 个性质：
生四向量组的线性相关性质 性质1:若向量组A:a1,ax2,…,an线性相关,则 生向量组2a2也线性相关反言之若向 LB线性无 组A也线 证明记4=(a4,…,am),B=(a,…,amm)则有 中(B)≤r4)+1若向量组A线性相关则根据定理 王2,有r(<m,从而(B)≤r(4)+1<m+1因此, 午根据定理2知向量组B线性相关 上或
, . : , , , . , , , , , 1 1 1 2 量组 线性无关 则向量组 也线性无关 向量组 也线性相关 反言之 若向 若向量组 ： 线性相关 则 B A B A m m m + 性质1： 四、向量组的线性相关性质 2 . 2 ( ) ( ) ( ) 1 1, , ( ) ( ) 1. , ( , , ), ( , , , ) 1 1 1 根据定理 知向量组 线性相关 ，有 ，从而 因此 若向量组 线性相关 则根据定理 记 ，则有 B r A m r B r A m r B r A A A a am B a am am + + + 证明 = = +
说明:性质1可推广为:一个向量组若有线性 相关的部分组,则该向量组线性相关.特别地, 含有零向量的向量组必线性相关.反之,若一个 向量组线性无关,则它的任何部分组都线性无关 上或
. . . 1 : 向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关 含有零向量的向量组必线性相关 反之，若一个 相关的部分组，则该向量组线性相关 特别地， 说明： 性质 可推广为 一个向量组若有线性
性质2:设 anj b j=1,2,…,m), +1, 王即a添上一个分量后得向量b,若向量组4:a1a2 王…,a线性无关则向量组B:b,b,…,n也线性无 关反言之,若向量组B线性相关则向量组4也线 性相关 上或
设 , , ( 1,2, , ), 1, 2 1 2 1 j m a a a a b a a a r j r j j j j r j j j j = = = + 性质2： . . , , , , , , . , , 1 2 1 2 性相关 关 反言之，若向量组 线性相关 则向量组 也线 线性无关 则向量组 ： 也线性无 即 添上 一 个分量后得向量 若向量组 ： B A B b b b b A m m j j