那么线性方程组）有解，并且解是唯一的，解可以表为DX其中D是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即b,aii...ai.i-1a..j+...ainD,=an...an.j-b,a.j+i...a
. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的， 解可以表为 (1)
证明用D中第列元素的代数余子式AA2j·A依次乘方程组1的n个方程，得(aux,+ax,+...+ai.x,)A,=bA(a2x,+a22x,+...+a2.x.)A2)-b,A,)(a.x,+anx,+...+a.x.)A,=b.A.再把n个方程依次相加，得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 再把 n 个方程依次相加，得