s1.4晶体的宏观对称性25 2.正四面体对称的对称素和对称操作 对称操作(24) 名称 每个对称元素的操作 数目 三条4次旋转反演轴4(10)0旋转受再反演转 四条3次轴(111 旋转33 六条2次旋转反演轴2(110) 旋转丌再反演 不动 可以采用与立方对称对比的方法,来研究正四面体的对称素和对称操作如 图1.4.5所示,把立方体相间的四个顶点ABCD连 接起来就构成正四面体.显然正四面体的所有对称 素和对称操作包含于立方体之中,由于正四面体不 具有对称中心,立方对称的4次轴和对称心i退化 D文 为四次旋转反演轴4;同理,3+i→3;2+i→2;E+ i→E.于是,正四面体只保留了立方体的12个纯旋 转操作和12个非纯旋转操作.显然立方对称性高于图1.4.5ABCD构成正四面体 正四面体对称性 晶体的宏观耐称惟与宏观物理性质 晶体的宏观物理性质与宏观对称性有着密切的关系,以晶体的介电函数为 例,它一般地可表示为一个二阶张量 E E23 (1.4.14) 如果能量守恒,它是一个厄米张量,即6=晶体中的电位移矢量D与 电场强度矢量E满足 EE即D。 (1.4.15 设晶体有对称操作A,满足A=A,对晶体施行操作A有 E′=AE,D'=AD (1.4.16) 由式(1.4.15)和式(1.4.16),有
章晶体的结构及其对称性 D'= AEE E=AE=AE (1.4.17) 于是 E (1.4.18) 其中e'=AeA',它是操作之后晶体的介电常数张量,将操作之后的电位移矢量 D’与电场强度矢量联系起来但是,A是晶体的一个对称操作,介电函数张量在 操作前后应不变,因此有 对于具有立方对称的晶体,有三条4次轴,设某一条沿z轴方向,则变换矩 阵为 cos -sin e 0 A= sin 0 cos0 0=0-10 (1.4.20) 01)(001 其中θ=,代入式(1.4.19)得到 00 0-10 001 001 (1.4.21) 由式(1.4.21)必有 E1=E2=e3=E=0 (1.4.22) 类似沿x轴方向旋转π有 00 0 代入式(1.4.19)有 0 E E2( E 00 则 0 进一步选择沿(1)向旋转2,最终可以得到 即具有立方对称的晶体的介电函数退化为一个标量
§1.5品体点阵和结构的分类27 值得注意的是,以上推论并未用到立方对称性的全部对称操作 利用同样的论证方法,可以证明具有正四面体对称的品体,介电函数也是 个标量;而具有六角对称的晶体介电函数张量可写为 00 (E)=0 0 (1.4.24) 其中E表示沿六角轴方向,E表示它的垂直平面内,于是 (1.4.25) D E 介电函数在平行和垂直六次轴方向的差别,正是这种晶体具有双折射现象的 原因 §1.5晶体点阵和结构的分类 本节我们将按照对称性将晶体进行分类这就是晶体学中的点群和空问间群 理论,它是一个十分繁琐的课题这里不可能系统、严格地阐述这些理论,而只能 给出一些基本的概念、语言和主要的晶体类型 、群的概念 l.群的定义 在数学上,定义一组元素(有限或无限)的集合G=E,g1,g2,…{,并赋予 这些元素一定的乘法运算规则gg,如果元素相乘满足下列群规则,则集合G构 成一个群: (1)群的闭合性 若g,∈G,则8=gg∈G (2)乘法的结合律 g(884)=(g8)g (3)存在单位元素E,使得所有元素满足EB=g (4)对于任意元素g,存在逆元素g;,满足gg;1=E 一般地,除了阿贝尔群外,群元素不满足乘法交换律,即g,g;≠B,, 2.对称操作群—一点群,空间群 个晶体具有的所有对称操作满足上述群的定义,构成一个操作群,这时, 乘法运算就是连续操作;单位元素为不动作(转鱼为0的旋姑而亚珍在 515晶体点阵和结构的分类29 也就是说,点阵按照宏观对称性可分为7类.任何一种晶体结构分属7个晶系之
28第一章品体的结构及其对称性 的逆元素还是中心反演 很容易验证,立方体的48个宏观对称操作, 满足上述群的定义及其群规则,构成一个群G(E, g1,2,…,8n)例如假定群元素g,和8分别表5 示绕OA和OC旋转,如图1.5.1所示操作g B 使顶点S→S",而操作B又使S"→S,操作g,使 7→T,而操作g使T→T·可见连续操作gg,OS 未动,仅仅使T→T,这相当于绕OS轴旋转2T/3,图1.5.1连续旋转操作 它也是立方体48个对称操作中的一个对称操作, 记为g4,于是 gA=gB1,g,8,84∈G 晶体的所有对称操作包括平移对称操作和点群对称操作,以及它们的组合 因此,晶体的一般对称操作可写为 = gr= D tr= Dr+r (1.5.1) 其中D表示点对称操作,表示平移 (1)由一般操作{Dt(平移+旋转)组合构成的群称为空间群,它是晶体 的完全对称群 (2)当t=0时,由非平移操作D10组合构成的群称为点群,它是空间群 的一个子群 (3)当D=E时,由纯平移操作组合的群称为平移群,它也是空间群的 子群 二、7个晶集和14种点阵 下面我们将根据对称群的观点来对晶体进行分类.如果一些晶体具有相同 的一组群元素那么就对称性而言,它们将属于同一类晶体,为了简单起见,首先 忽略结构中基元的对称性、考虑点阵的分类.此时,对称操作包括通过点阵平移 矢量R4的平移和固定一个结点不动的点群对称操作(纯或非纯旋转操作)以及 它们的组合操作,即 1D|R1} (1.5.2 这种对称操作构成点阵的空间群 1.7个晶系 在式(1.5.2)所示的操作中,如果取R1=0,即不考查平移对称,那么操作 D|O便构成点阵的点群.由于点阵的宏观对称操作数和对称素的组合受到平 移对称性的严格限制,群论严格证明,仅仅存在7种不同的点群,称为7个晶系
51.5晶体点阵和结构的分类29 也就是说,点阵按照宏观对称性可分为7类.任何一种晶体结构分属7个晶系之 它决定于这种结构所对应的点阵的点群 在本章第一节中已经谈到,点阵的惯用单胞能 直接反映点阵的宏观对称性,因此7个晶系中的每 种点群对称性,必定反映到它的单胞晶轴a、b、c 的大小a、b、c及其它们之间的夹角a、B、y的特殊关 系,如图1.5.2所示.下面,从最低对称性出发,逐步 提高对称性,给出7个晶系的名称及其单胞晶轴之图1.5.2单胞晶轴的 间的关系 大小及夹角 (1)三斜晶系 这一晶系,除了对称元素E(1)和i(1)外,无任何旋转对称轴(注意反演对 称i是点阵的属性),因此,对a、b、c无任何限制,即 ≠b≠c,a≠B≠y 该晶系对应的点群称C.群因为它只具有对称素E和i,所以仅包括两个群元 素,即两个对称操作 (2)单斜晶系 如果存在一条2次轴,并选择这条2次轴沿c 2次轴 方向·从图1.5.3可以清楚地看到,通过绕c轴旋 转180°得到-a,为了使-a通过反演得到a,a轴 必定垂直于c.否则,由a旋转得到a’,反演得到另 外的-a轴同理,b轴也必定垂直于c,于是有 a≠b≠ B ≠ 图1.5.3关于c轴的二次旋 该晶系对应的点群记为Cx,它具有一条2次轴和转操作要求a、b垂直于c i,因此包含4个群元素 (3)正交晶系 如果有两条2次轴,分别沿b、c方向,则由前面的分析,a一定垂直于c和 b,它也一定是2次轴,所以 ≠b≠ T 该晶系对应的点群记为D2,它具有三条2次轴和i因此包含8个群元素 (4)四方晶系 如果有一条4次轴,沿c方向,它肯定也是2次轴,所以a=B=,由于c为