3.3杜邦指标线一、杜邦指标线现在考虑通过曲面上一点的所有法截线的法曲率之间的关系为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为r,r它们构成了曲面在P点的切平面上的一个坐标系。在这个切平面上给定一个方向（d），并取PN长为√VKk，则对于切平面上所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线NP
3.3 杜邦指标线 一、杜邦指标线 现在考虑通过曲面上一点的所有法截线的法曲率之间的关系. 为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切方向为 它们构成了曲面在P点的切平面上的一个坐标系。在这个切平面 上给定一个方向（d），并取PN长为 ，则对于切平面上 所有方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。 u v r r , n k 1 P N
二、杜邦指标线的方程取（d）上的单位向量为ar，设N点在前面的坐标系下的坐标为(x,y),则dr（+月-风r,du +r,dvxr, + yr, Vk,i,du +r,dyl两边平方得+2x+y=k,-Edu? +2Fdudv +Gdy2Ex? +2Fxy+Gy?Ldu? + 2Mdudv + Ndy?Ex? +2Fxy+Gy?du : dv = x : y= Ex? +2Fxy+Gy?Lx? +2Mxy+ Ny2Ldu2 +2Mdudv + Ndv2 = ±1
二、杜邦指标线的方程 取（d）上的单位向量为 ，设N点在前面的坐标系下 的坐标为(x,y),则 dr dr k r du r dv r du r dv xr yr dr dr PN xr yr n u v u v u v u v kn + + + = = + = 1 两边平方得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Ldu Mdudv Ndv Edu Fdudv Gdv Ex Fxy Gy k x r r x yr r y r r n u u u v v v + + + + + + = = = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 : : 2 Lx Mxy Ny Ex Fxy G y du dv x y Ex Fxy G y + + + + = + + = 2 1 2 2 Ldu + Mdudv + Ndv =
三、曲面上的点的分类按曲面上的点的杜邦指标线进行分类1）若LN-M2>0，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标线是一椭圆。2）若LN-M2<0，则点P称为曲面的双曲点，杜邦指标线为一对共轭的双曲线。3）若LN-M2=0，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一对平行直线。4）若L=M=N=0，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线不存在。例：平面上的点为平点。因为平面方程为 =r+ua+vb它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零
三、曲面上的点的分类 按曲面上的点的杜邦指标线进行分类 1）若 ，则点P称为曲面的椭圆点，这时杜邦指标 线是一椭圆。 2）若 ，则点P称为曲面的双曲点，杜邦指标线为 一对共轭的双曲线。 3）若 ，则称P为曲面的抛物点，杜邦指标线为一 对平行直线。 4）若 ，则称P为曲面的平点，这时杜邦指标线 不存在。 0 2 LN − M 0 2 LN − M L = M = N = 0 0 2 LN − M = 例：平面上的点为平点。 因为平面方程为 它的二阶微商全为零，因此第二类基本量全为零。 r r ua vb = 0 + +
3、4曲面上的渐近方向与共轭方向一、曲面的渐近方向与渐近线1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。设L，M，N在P点的值为Lo，Mo，No，则由解析几何知，这两个方向满足方程Lodu? + 2M.dudv + Nody? = 0也就是使得法曲率为零的方向。2、渐近曲线曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是Ldu?+2Mdudv+Ndv?=0
3、4 曲面上的渐近方向与共轭方向 一、曲面的渐近方向与渐近线 1、定义：如果P是曲面的双曲点，则它们的杜邦指标线有一对 渐近线，我们把沿渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向。 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这 两个方向满足方程 也就是使得法曲率为零的方向。 2 0 2 0 0 2 L0 du + M dudv + N dv = 2、渐近曲线 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方向， 则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是 2 0 2 2 Ldu + Mdudv + Ndv =