3、2曲面上曲线的曲率曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线1、给定类C2 的曲面S: =r(u,v),(u,v)eG,PS.(c) : u=u(s),v=v(s)或 =r(u(s),v(s) =r(s)是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为α,β则=α=kβ设P点的法向量n与主法向量β的夹角为，则β.nB.ncOsO
3、2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快 慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面 在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲 面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯 曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线） 来求得，这条曲线就是法截线。 一、法截面与法截线 1、给定类 的曲面S： （c）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 则 2 C r = r(u,v),(u,v)G, PS. r r(u(s), v(s)) r(s) = = , r = = n 设 P 点的法向量 与主法向量 的夹角为 ，则 n n n = = cos
.n=xβ.n=kcos0所以d?rn.dr II7但r.n=nds?ds?1IILdu? + 2 Mdudv + Ndy2(1)K cosO1Edu? +2Fdudv+Gdy?2、定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P点沿方向(d)法截线
所以 r n = n = cos = = = 2 2 2 2 ds n d r ds d r r n n Ⅱ 但 2、定义：给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv ，于是方 向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方 向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P 点沿方 向(d)法截线。 2 2 2 2 2 2 cos Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv + + + + = = Ⅱ (1)
二、法曲率设方向（d）所确定的法截线为（co），它在P点的曲率为ko，对于(co)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量β。为s在P点的法向量或它的反向量，即β=土n，所以θ=0或元由公式（1）得K=±llKg cosQ=即(2)11其中n和β。的方向相同时取正号，此时（co）往n的正侧弯曲，取负号，反向弯曲。uEd(C)
二、法曲率 设方向（d）所确定的法截线为 (c0 )，它在 P点的曲率为 k0，对于 (c0 )，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量 为s在P点的法向量 或它的反向量，即 ，所以 由公式（1）得 0 n 0 = = 0 或 = 0 = 0 cos ,即 Ⅱ (2) Ⅱ 其中 和 的方向相同时取正号，此时（c0）往 的正侧弯曲， . . 取负号， . 反向弯曲。 n n 0
定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为K。,法截线向n的正向弯曲Kn =-Ko,法截曲向n的反向弯曲。IILdu? +2Mdudv + Ndy2(3)K./1-Edu? + 2Fdudv+Gdy?注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（co）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以设曲面上一曲线（c）和法截线（co）切于P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得Kn=KcosO利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论
定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为 − = n 。 n n 法截曲向 的反向弯曲 法截线向 的正向弯曲 , , 0 0 2 2 2 2 2 2 Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv n + + + + = = Ⅱ (3) 注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时 du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c） 的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了， 因为它们此时的切方向相同了。所以 设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相 同的切方向（d）= du:dv，则（1）和（3）得 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。 n = cos
三、梅尼埃定理设R=1/k，即R为曲线（c)的曲率半径，R，=1/kn，称R为曲线（co)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式 ,=cos，可写为 R=R,cos由于R在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上，(Co)Rn在（Co）.故这个公式的几何意义为：R为R,在（C）的密切平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法曲率中心Co，因此几何意义可叙述成：梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（Co）上同一个点P的曲率中心Co在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面
三、梅尼埃定理 设 R = 1/k，即 R 为曲线（c) 的曲率半径 ， Rn = 1/kn ，称R为曲线（c0 )的曲率半径，也称为法曲率半径。 则公式 n = cos ， 可写为 R = Rn cos 梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲 线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中 心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。 由于R 在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上， Rn 在（C0） . ， （C0） . 故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切 平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：