§4自由粒子系统 让我们应用以上各种系综的理论分析自由粒子系统的热力学 性质.用巨正则系综的配分函数很容易导出它们全部的热力学函 数及其关系式。这种自由粒子系统的量子理论，对天体物理、低 温和固体物理都有广泛的应用。 按粒子性质，可分为费米子和玻色子两种.至于这些气体的 详细力学性质，另由粒子物理去研究，我们只对这些已知的力学 性质进行统计， 由量子力学知，一个自由粒子的状态可以用它的动量P= nK和螺旋性2来描写.其中K是波数矢量.如果粒子自旋为j, 则无可以取的值为： λ=-j,-j+1,…,j-1,jy 共有2j+1个值. 由于粒子间没有相互作用，所以系统的总能量等于各个粒子 的能量之和（自此，我们不再讨论系综，总能量就是指一系统的 总能量)，即 E (4.1) 其中的α表示粒子的波数矢量K和螺旋性1.动能是 8a=cNh K:+mici-mc, (4.2) 其中的na对不同的粒子是不同的. 对费米子：na=0,1. (4.3) 对玻色子：a=0,1,2,3,…. （4.4) 由巨配分函数及易逸度的定义，得 乙naee T (4.5) 指数的求和可以化成求积.然后，对换求和与求积的次序，得到 25
=Ⅱ∑ze (4.6) 对费米-狄拉克统计(F-D),由于粒子受到泡利不相容原理 的限制，。只能取0或1，所以 2-。-T(1+2。舒). (4.7) 对玻色-爱因斯坦统计(B-E),因粒子不受泡利不相容原理限 制，故n。可取0,1,2,3，…，所以 (4.8) 由巨配分函数计算压强时，可取体积很大，以致可以略去界 面与粒子间的作用.所以有 k=in② (4.9) -2tn(1±ze舒）， “十”为费米子， 其中4一”为玻色子。 (4.10) 当V∞时，求和号可月积分来代替.其闻的关系式已在前面讨 论过，即 (4.11) 其中的0是简并度，为2j+1. 我们先讨论粒子质量不为零的情形.质量为零的粒子其简并 度不同，并且还与字称是否守恒有关.如j一1，无质量的光子⊙ 不是3，而是2.又如中微子()宇称不守桓，口不是2,0=1有质量 粒予，当j-合时，0一.于是 品=±a紧n(土e舒) (4.12) 26
只要将关系式ea=c√h2K+m2c2一mc2代入(4.12)式进行 积分，即可求出适应于非相对论或相对论的热力学函数、 由关系式(3.41)与(4.9)式得到 -品（品） d ze kT =0 8z寸 e 1±ze [dK 1 8r3 (4.13) xteT±1 -Mata 由于巨配分函数②中每一项z"aeT, 表示某-·模式（α= K,)具有n。粒了的相对几率.因此，可以求na的平均值<na>, 对费米子，na只取0或1值， na〉 0十1·2eT 一尼色 1+2e学 -Ea 之e南T (4.14) “8a 1+se 对玻色子，。可取任意值： >2t 1+×+x2+… =dx la(1+) d d 1 二为d 1n1一￥ -Ea 2e7 (4.15) -Ea 1-zekT 27
其中x=e子 将2=eT代入，可写为 器-±是rK*)宽 “十”为费米子 (4.16) “+”为费米了， w。 (4.17) +1 {4-”为玻色子. 显然 “n>=8品rrK》 (4.18) dK e- (4.19) ekT±1 E-d'K (n.)e. (4.20) 有了这些公式，我们可以讨论有趣的物理问题。 我们知道当粒子的静止质量比动能大得多时，即为非相对论 情形，有 h'K 动能e= 2m) dKcc√ede. (4.21) 当粒子动能远比静止质量为大时，即为极相对论情形，有 动能e=hclK, d Koce'de. (4.22) 在分子运动论中，我们知道单原子理想气体的压强和能量之 间存在以下关系： l= 2E (4.23} 28
在量子统计中，以上的关系是否成立呢？应该指出在分子运 动论中，两个相同的粒子（如电子）认为是完全可以区分的；在 量子统计中，由于它们是全同粒子，故是完全不可区分的.对求 解(4.18)，(4.20)的积分，往往用到下面类型的积分.因此，先 来讨论这类型的积分，对求解是有帮助的. ±ean(±e学)-±n(±a)水 4一e e kT Jon+1 e Tde, (4.24) 1±ekT 其中有简单对应关系 ede→dK. (4.25) 对非相对论情形n一2，对极相对论情形m=2. 将(4.25)左、右乘以n千1， 即有对应关系 n+ie→dK.e “十1 (4.26) 于是，立即可以求得能量与压强的关系：在非相对论情形下 pl= E, 2 (4.27) 在极相对论情形下 (4.28) (4.27)和(4.28)式，对费米子和玻色子皆成立. 先来讨论低温情形下的费米气：由(4.17)式知，T→0K时， 当e>4,.=0,即每个模式中均无粒子.当e<4,n。=1,即每 29