《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义）第一章 矩阵与行列式

A B=423 201 求(AB) 解法1因为 014-3 AB 423 017 (AB)=1413 解法2 142)(21 (AB)=BH2=72003|=1413 定义9设A为n阶方阵,如果满足A=A,即 则称A为对称矩阵.对称矩阵的特点是:关于主对角线对称的对应元素相等 定义10设A为n阶方阵,如果满足A=-A,即 a=-an,i,j=1,2,,n 则称A为反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:主对角线上的元素全为0,其余 关于主对角线对称的对应元素则互为相反数 习题1-1 1.设A=2-10,B=-1-24,求2AB-3A及AB 2.已知两个线性变换

11 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 2 0 1 1 3 2 A   − =     , 1 7 1 4 2 3 2 0 1 B   −   =       , 求 ( ) . T AB 解法 1 因为 1 7 1 2 0 1 0 14 3 4 2 3 1 3 2 17 13 10 2 0 1 AB   −     − −   = =               , 所以 ( ) 0 17 14 13 3 10 T AB     =       − . 解法 2 1 4 2 2 1 0 17 ( ) 7 2 0 0 3 14 13 1 3 1 1 2 3 10 T T T AB B A           = = =                − − − . 定义 9 设 A 为 n 阶方阵, 如果满足 T A A = , 即 , , 1,2, , . ij ji a a i j n = = 则称 A 为对称矩阵. 对称矩阵的特点是：关于主对角线对称的对应元素相等. 定义 10 设 A 为 n 阶方阵, 如果满足 T A A =− , 即 ij ji a a = − , i j n , 1,2, , . = 则称 A 为反对称矩阵. 反对称矩阵的特点是：主对角线上的元素全为 0, 其余 关于主对角线对称的对应元素则互为相反数. 习题 1-1 1. 设 1 1 1 2 1 0 1 1 1 A     = −       − , 1 2 0 1 2 4 0 5 1 B   −   = − −       , 求 2 3 AB A − 及 T AB . 2. 已知两个线性变换

线性[代数 x1=2y+y3 片=-31+=2, x2=-2y1+3y2+2y3, 求从,2,二3到x,x2,x3的线性变换 3.计算下列乘积 40-1)(4 (1)1-232 (2)(123)2 (3)2(123) (4)-210 4.设A (1)AB=BA吗? (2)(A+B)=+2AB+B2吗? (3)(A+B)(A-B)=A2-B2 5.举反例说明下列命题是错误的: (1)若A2=O,则A=O (2)若A2=A,则A=O或A=E (3)若AX=AY,且A≠O,则X=Y ,求(4B),fB2 第二节矩阵的初等变换与初等矩阵 、初等变换的概念 中学里,已经学过用加减消元法解二、三元线性方程组 例1解三元线性方程组 (1.2.1) 解为叙述方便,方程组的第个方程记为r(=12,3).厂表示对

12 线 性 代 数 1 1 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 , 2 3 2 , 4 5 . x y y x y y y x y y y  = +   = − + +   = + + 和 1 1 2 2 1 3 3 2 3 3 , 2 , . y z z y z z y z z  = − +   = +   = − + 求从 1 z , 2 z , 3 z 到 1 x , 2 x , 3 x 的线性变换. 3. 计算下列乘积： (1) 401 1 2 3 5 2 0   −   −       4 2 1           − ； (2) (1 2 3) 3 2 1           ； (3) 3 2 1           (1 2 3) ； (4) 1 2 1 2 3 2 1 0 1 1 1 0 3 2 4    −    − −          . 4. 设 A= 1 2 0 3   −     , B = 2 0 3 2       − , 问 (1) AB BA = 吗? (2) ( ) 2 A B + = 2 A + 2AB + 2 B 吗? (3) ( A B + ) ( A B − ) = 2 A 2 −B 吗? 5. 举反例说明下列命题是错误的： (1) 若 2 A O= , 则 A O= ； (2) 若 2 A A = , 则 A O= 或 A E= ； (3) 若 AX AY = , 且 A O , 则 X Y= . 6. 设 A= 1 1 1 1       − , 1 1 1 1 B   =     , 求 2 ( ) AB , 2 2 AB . 第二节 矩阵的初等变换与初等矩阵 一、初等变换的概念 中学里, 已经学过用加减消元法解二、三元线性方程组. 例 1 解三元线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 4, 2 3, 2 2 6 2. x x x x x x x x x − − + =   + − = −   + − = − (1.2.1) 解 为叙述方便, 方程组的第 i 个方程记为 ( 1,2,3) i r i = . i j r r  表示对